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- Die rational elliptischen Funktionen stellen in der Mathematik eine Reihe von rationalen Funktionen mit reellen Faktoren dar. Sie werden zum Entwurf von Übertragungsfunktionen bei Cauer-Filtern in der elektronischen Signalverarbeitung verwendet. Eine bestimmte rational elliptische Funktion wird durch ihre Ordnung und einen reellen Selektivfaktor charakterisiert. Formal sind die rational elliptischen Funktionen mit dem Parameter definiert als: , wobei die Funktion eine abgeleitete jacobische elliptische Funktion darstellt, bestehend aus den cosinus amplitudinis und den delta amplitudinis. steht für das elliptische Integral erster Art und stellt einen Diskriminierungsfaktor dar, welcher für gleich dem kleinsten Betragswert von ist. (de)
- In mathematics the elliptic rational functions are a sequence of rational functions with real coefficients. Elliptic rational functions are extensively used in the design of elliptic electronic filters. (These functions are sometimes called Chebyshev rational functions, not to be confused with certain other functions of the same name). Rational elliptic functions are identified by a positive integer order n and include a parameter ξ ≥ 1 called the selectivity factor. A rational elliptic function of degree n in x with selectivity factor ξ is generally defined as: where
* cd(u,k) is the Jacobi elliptic cosine function.
* K is a complete elliptic integral of the first kind.
* is the discrimination factor, equal to the minimum value of the magnitude of for . For many cases, in particular for orders of the form n = 2a3b where a and b are integers, the elliptic rational functions can be expressed using algebraic functions alone. Elliptic rational functions are closely related to the Chebyshev polynomials: Just as the circular trigonometric functions are special cases of the Jacobi elliptic functions, so the Chebyshev polynomials are special cases of the elliptic rational functions. (en)
- 楕円有理関数 (英: Elliptic rational functions)とは、実数係数を持つ 有理関数 の数列であり、フィルタ回路の一種である楕円フィルタの設計で利用される。楕円有理関数は、チェビシェフ有理関数 と呼ばれることもあるが、同名の別のチェビシェフ有理関数があるので注意が必要。楕円有理関数は正の次数nと選択係数と呼ばれるパラメータξ ≥ 1 を持つ。次数nで選択係数がで変数がxの楕円有理関数は、次のようなヤコビの楕円関数を用いた表示を持つ:
* この式で， は母数がの ヤコビの楕円余弦関数であり，はその逆関数、 は 母数がの第一種完全楕円積分を表わす。
* は 弁別係数と呼ばれ、における の最小値に等しい。
* この表示がn次の有理関数であるためには， とするとき、条件の成立が必要である。 つまり，ｎを与えたとき，との間には関係がある。その関係を最も一般的に解くには、たとえば楕円nome関数を用いるとその関係はと表せる。そうしてを与えてこの関係式の右辺を計算すれば、その値に対する楕円nome関数の逆関数の値としてが求まる（楕円nome関数の逆関数の値はのとき収束の早い級数展開を利用して近似計算ができる）。 多くの場合、特にnが = 2a3b、(a, bは整数)で表される時、楕円有理関数は代数的に表すことができる。楕円有理関数は、チェビシェフ多項式と密接な関係にあり、三角関数がヤコビの楕円関数の特殊な場合であるのと同様、チェビシェフ多項式は楕円有理関数の特殊な場合にあたる。 (ja)
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- Die rational elliptischen Funktionen stellen in der Mathematik eine Reihe von rationalen Funktionen mit reellen Faktoren dar. Sie werden zum Entwurf von Übertragungsfunktionen bei Cauer-Filtern in der elektronischen Signalverarbeitung verwendet. Eine bestimmte rational elliptische Funktion wird durch ihre Ordnung und einen reellen Selektivfaktor charakterisiert. Formal sind die rational elliptischen Funktionen mit dem Parameter definiert als: , (de)
- In mathematics the elliptic rational functions are a sequence of rational functions with real coefficients. Elliptic rational functions are extensively used in the design of elliptic electronic filters. (These functions are sometimes called Chebyshev rational functions, not to be confused with certain other functions of the same name). Rational elliptic functions are identified by a positive integer order n and include a parameter ξ ≥ 1 called the selectivity factor. A rational elliptic function of degree n in x with selectivity factor ξ is generally defined as: where (en)
- 楕円有理関数 (英: Elliptic rational functions)とは、実数係数を持つ 有理関数 の数列であり、フィルタ回路の一種である楕円フィルタの設計で利用される。楕円有理関数は、チェビシェフ有理関数 と呼ばれることもあるが、同名の別のチェビシェフ有理関数があるので注意が必要。楕円有理関数は正の次数nと選択係数と呼ばれるパラメータξ ≥ 1 を持つ。次数nで選択係数がで変数がxの楕円有理関数は、次のようなヤコビの楕円関数を用いた表示を持つ:
* この式で， は母数がの ヤコビの楕円余弦関数であり，はその逆関数、 は 母数がの第一種完全楕円積分を表わす。
* は 弁別係数と呼ばれ、における の最小値に等しい。
* この表示がn次の有理関数であるためには， とするとき、条件の成立が必要である。 つまり，ｎを与えたとき，との間には関係がある。その関係を最も一般的に解くには、たとえば楕円nome関数を用いるとその関係はと表せる。そうしてを与えてこの関係式の右辺を計算すれば、その値に対する楕円nome関数の逆関数の値としてが求まる（楕円nome関数の逆関数の値はのとき収束の早い級数展開を利用して近似計算ができる）。 (ja)
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- Rational elliptische Funktionen (de)
- Elliptic rational functions (en)
- 楕円有理関数 (ja)
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