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- In mathematics, Cartan's theorems A and B are two results proved by Henri Cartan around 1951, concerning a coherent sheaf F on a Stein manifold X. They are significant both as applied to several complex variables, and in the general development of sheaf cohomology. Theorem A — F is spanned by its global sections. Theorem B is stated in cohomological terms (a formulation that Cartan attributes to J.-P. Serre): Theorem B — Hp(X, F) = 0 for all p > 0. Analogous properties were established by Serre for coherent sheaves in algebraic geometry, when X is an affine scheme. The analogue of Theorem B in this context is as follows : Theorem B (Scheme theoretic analogue) — Let X be an affine scheme, F a quasi-coherent sheaf of OX-modules for the Zariski topology on X. Then Hp(X, F) = 0 for all p > 0. These theorems have many important applications. For instance, they imply that a holomorphic function on a closed complex submanifold, Z, of a Stein manifold X can be extended to a holomorphic function on all of X. At a deeper level, these theorems were used by Jean-Pierre Serre to prove the GAGA theorem. Theorem B is sharp in the sense that if H1(X, F) = 0 for all coherent sheaves F on a complex manifold X (resp. quasi-coherent sheaves F on a noetherian scheme X), then X is Stein (resp. affine); see (resp. and ). (en)
- 数学においてカルタンの定理（カルタンのていり、英: Cartan's theorem）とは、1951年頃にアンリ・カルタンによって証明された、シュタイン多様体 X 上のある連接層 F に関する定理で、A と B の二種類が存在する。それらはいずれも多変数複素函数論に対する応用や、層コホモロジーの一般的な発展に対して意義のあるものである。 カルタンの定理 A：F は大域切断によって張られる層である。 定理 B は、以下のようなコホモロジーにおける用語で表現される（これは Cartan (1953, p.51) が J.-P. Serre に帰するものとしている式である）： カルタンの定理 B：すべての p > 0 に対して H p(X, F) = 0 である。 代数幾何学における連接層に対する同様の性質は、X がアフィンスキームである場合に、Serre によって示されている。定理 B と類似のそのような定理は、以下のように記述される ： 定理 B（スキーム論的表現）：X をアフィンスキームとし、F を X 上のザリスキー位相に対する OX-加群の準連接層とする。このとき、すべての p > 0 に対して H p(X, F) = 0 である。 以上の定理は、多くの重要な場面で応用される。素朴に考えると、これらの定理は、シュタイン多様体 X の閉複素部分多様体 Z 上の正則函数は、X 全体上の正則函数に拡張可能であることを意味している。より深い段階では、これらの定理はGAGAの定理を証明するためにジャン＝ピエール・セールによって利用された。 カルタンの定理 B は、複素多様体 X 上のすべての連接層 F（resp. ネータースキーム X 上の準連接層 F）に対して H 1(X, F) = 0 であるなら、X はシュタイン多様体（resp. アフィン多様体）であるという明確な結果である。 (resp. and , Theorem III.3.7)) を参照されたい。 (ja)
- 복소기하학과 대수기하학에서 카르탕 정리(Cartan定理, 영어: Cartan’s theorems)는 슈타인 다양체 및 아핀 스킴 위의 연접층의 성질에 대한 두 개의 핵심적인 정리이다. (ko)
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- 복소기하학과 대수기하학에서 카르탕 정리(Cartan定理, 영어: Cartan’s theorems)는 슈타인 다양체 및 아핀 스킴 위의 연접층의 성질에 대한 두 개의 핵심적인 정리이다. (ko)
- In mathematics, Cartan's theorems A and B are two results proved by Henri Cartan around 1951, concerning a coherent sheaf F on a Stein manifold X. They are significant both as applied to several complex variables, and in the general development of sheaf cohomology. Theorem A — F is spanned by its global sections. Theorem B is stated in cohomological terms (a formulation that Cartan attributes to J.-P. Serre): Theorem B — Hp(X, F) = 0 for all p > 0. (en)
- 数学においてカルタンの定理（カルタンのていり、英: Cartan's theorem）とは、1951年頃にアンリ・カルタンによって証明された、シュタイン多様体 X 上のある連接層 F に関する定理で、A と B の二種類が存在する。それらはいずれも多変数複素函数論に対する応用や、層コホモロジーの一般的な発展に対して意義のあるものである。 カルタンの定理 A：F は大域切断によって張られる層である。 定理 B は、以下のようなコホモロジーにおける用語で表現される（これは Cartan (1953, p.51) が J.-P. Serre に帰するものとしている式である）： カルタンの定理 B：すべての p > 0 に対して H p(X, F) = 0 である。 代数幾何学における連接層に対する同様の性質は、X がアフィンスキームである場合に、Serre によって示されている。定理 B と類似のそのような定理は、以下のように記述される ： 定理 B（スキーム論的表現）：X をアフィンスキームとし、F を X 上のザリスキー位相に対する OX-加群の準連接層とする。このとき、すべての p > 0 に対して H p(X, F) = 0 である。 (ja)
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- Cartan's theorems A and B (en)
- カルタンの定理A, B (ja)
- 카르탕 정리 (ko)
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