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- In mathematics, Baire functions are functions obtained from continuous functions by transfinite iteration of the operation of forming pointwise limits of sequences of functions. They were introduced by René-Louis Baire in 1899. A Baire set is a set whose characteristic function is a Baire function. (There are other similar, but inequivalent definitions of Baire sets.) (en)
- Die baireschen Klassen stellen eine partielle Klassifizierung der reellen Funktionen dar. Sie ist zum ersten Mal von René Louis Baire in seiner Dissertation vom Jahre 1898 aufgestellt worden und als Antwort auf die zum ersten Mal von Dini (1878) gestellten Frage gedacht worden, ob jede Funktion eine analytische sprich durch Grenzübergang aus elementaren Funktionen gewonnene Darstellung hat. Inspiration für solche Untersuchungen ist die von Karl Weierstraß in seinem Approximationssatz formulierte Erkenntnis gewesen, dass jede stetige Funktion Limes von Polynomenfolgen ist. Baire setzt diese Idee fort, in dem er die Klasse aller Funktionen definiert, die Limes von stetigen Funktionenfolgen sind, und nennt diese Funktionen Funktionen der ersten Klasse. Limites von Funktionenfolgen aus der ersten Klasse bilden die zweite bairesche Klasse, aus der zweiten Klasse – die dritte Klasse usw. Die Untersuchung der baireschen Klassen ist später von Henri Léon Lebesgue, Émile Borel, Felix Hausdorff und William Henry Young aufgegriffen worden. Die Hoffnung, dass man durch Klassifizierung aller reellen Funktionen und aller Mengen von reellen Punkten die Kontinuumshypothese beweisen könnte, ist bei diesen Untersuchungen ein wichtiger Motivationsfaktor gewesen. Diese Hoffnung ist durch den von Hausdorff und Pawel Sergejewitsch Alexandrow im Jahre 1916 erbrachten Beweis der Kontinuumshypothese für borelsche Mengen, die mit den baireschen Klassen eng verbunden sind, noch verstärkt worden. Heutzutage wissen wir allerdings, dass eine vollständige analytische Klassifizierung der reellen Funktionen und Punktmengen genauso wie der Beweis der Kontinuumshypothese unlösbare Aufgaben sind. (de)
- En mathématiques, les fonctions de Baire sont des fonctions obtenues à partir des fonctions continues par répétition transfinie de l'opération consistant à effectuer des limites simples de suites de fonctions. Elles furent introduites par René Baire. Un (en) est un ensemble dont la fonction indicatrice est une fonction de Baire (de classe quelconque). (fr)
- 数学において、ベール関数（ベールかんすう、英: Baire function）とは、以下に記すある種の性質を有する関数を指し、実解析、位相幾何学等様々な数学の分野で研究されている。 (ja)
- Кла́ссы Бэ́ра — множества математических функций, определяемые согласно классификации, введённой французским математиком Рене-Луи Бэром в 1899 году. (ru)
- Класи Бера — множини дійснозначних функцій, означені індуктивно, введені в 1899 році. (uk)
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- We present two proofs.
# This can be seen by noting that for any finite collection of rationals, the characteristic function for this set is Baire 1: namely the function converges identically to the characteristic function of , where is the finite collection of rationals. Since the rationals are countable, we can look at the pointwise limit of these things over , where is an enumeration of the rationals. It is not Baire-1 by the theorem mentioned above: the set of discontinuities is the entire interval .
# The Dirichlet function can be constructed as the double pointwise limit of a sequence of continuous functions, as follows:
:::
:: for integer j and k. (en)
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- In mathematics, Baire functions are functions obtained from continuous functions by transfinite iteration of the operation of forming pointwise limits of sequences of functions. They were introduced by René-Louis Baire in 1899. A Baire set is a set whose characteristic function is a Baire function. (There are other similar, but inequivalent definitions of Baire sets.) (en)
- En mathématiques, les fonctions de Baire sont des fonctions obtenues à partir des fonctions continues par répétition transfinie de l'opération consistant à effectuer des limites simples de suites de fonctions. Elles furent introduites par René Baire. Un (en) est un ensemble dont la fonction indicatrice est une fonction de Baire (de classe quelconque). (fr)
- 数学において、ベール関数（ベールかんすう、英: Baire function）とは、以下に記すある種の性質を有する関数を指し、実解析、位相幾何学等様々な数学の分野で研究されている。 (ja)
- Кла́ссы Бэ́ра — множества математических функций, определяемые согласно классификации, введённой французским математиком Рене-Луи Бэром в 1899 году. (ru)
- Класи Бера — множини дійснозначних функцій, означені індуктивно, введені в 1899 році. (uk)
- Die baireschen Klassen stellen eine partielle Klassifizierung der reellen Funktionen dar. Sie ist zum ersten Mal von René Louis Baire in seiner Dissertation vom Jahre 1898 aufgestellt worden und als Antwort auf die zum ersten Mal von Dini (1878) gestellten Frage gedacht worden, ob jede Funktion eine analytische sprich durch Grenzübergang aus elementaren Funktionen gewonnene Darstellung hat. Inspiration für solche Untersuchungen ist die von Karl Weierstraß in seinem Approximationssatz formulierte Erkenntnis gewesen, dass jede stetige Funktion Limes von Polynomenfolgen ist. Baire setzt diese Idee fort, in dem er die Klasse aller Funktionen definiert, die Limes von stetigen Funktionenfolgen sind, und nennt diese Funktionen Funktionen der ersten Klasse. Limites von Funktionenfolgen aus der ers (de)
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- Bairesche Klasse (de)
- Baire function (en)
- Fonction de Baire (fr)
- ベール関数 (ja)
- Классы Бэра (ru)
- Класи Бера (uk)
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