| dbo:abstract
|
- In classical mechanics, action-angle coordinates are a set of canonical coordinates useful in solving many integrable systems. The method of action-angles is useful for obtaining the frequencies of oscillatory or rotational motion without solving the equations of motion. Action-angle coordinates are chiefly used when the Hamilton–Jacobi equations are completely separable. (Hence, the Hamiltonian does not depend explicitly on time, i.e., the energy is conserved.) Action-angle variables define an invariant torus, so called because holding the action constant defines the surface of a torus, while the angle variables parameterize the coordinates on the torus. The Bohr–Sommerfeld quantization conditions, used to develop quantum mechanics before the advent of wave mechanics, state that the action must be an integral multiple of Planck's constant; similarly, Einstein's insight into EBK quantization and the difficulty of quantizing non-integrable systems was expressed in terms of the invariant tori of action-angle coordinates. Action-angle coordinates are also useful in perturbation theory of Hamiltonian mechanics, especially in determining adiabatic invariants. One of the earliest results from chaos theory, for the non-linear perturbations of dynamical systems with a small number of degrees of freedom is the KAM theorem, which states that the invariant tori are stable under small perturbations. The use of action-angle variables was central to the solution of the Toda lattice, and to the definition of Lax pairs, or more generally, the idea of the isospectral evolution of a system. (en)
- Wirkungs-Winkelkoordinaten, auch Wirkungs-Winkelvariablen, sind ein Satz kanonisch-konjugierter Koordinaten, mit denen sich Dynamische Systeme vereinfachen lassen. Mit der Transformation zu Wirkungs-Winkelkoordinaten lassen sich Eigenfrequenzen von Oszillatoren bestimmen, ohne die Bewegungsgleichungen des Systems lösen zu müssen. Wirkungs-Winkelkoordinaten eignen sich besonders, wenn die Hamilton-Jacobi-Gleichungen separabel sind. Die Hamilton-Funktion hängt dann nicht explizit von der Zeit ab, sodass die Gesamtenergie des Systems erhalten ist. Die Wirkungs-Winkelkoordinaten definieren invariante Tori im Phasenraum. Ihre Oberflächen sind Flächen konstanter Wirkung. (de)
- En mecánica clásica, las coordenadas de acción-ángulo son un conjunto de coordenadas canónicas útiles en la resolución de muchos sistemas hamiltonianos integrables. El método de acciones-ángulos es útil para obtener las frecuencias de movimientos oscilatorios o rotacionales sin necesidad de resolver las ecuaciones del movimiento. Las coordenadas de acción-ángulo se utilizan principalmente cuando las ecuaciones de Hamilton-Jacobi son completamente separables (por tanto, el hamiltoniano no depende explícitamente del tiempo y por consiguiente la energía se conserva). Las variables de acción-ángulo definen un toro invariante, llamado así porque mantener la acción constante define la superficie de un toro, con las variables de ángulo parametrizando las coordenadas del toro. Las condiciones de cuantización de Bohr-Sommerfeld, usadas para desarrollar la mecánica cuántica antes del desarrollo de la mecánica ondulatoria, afirman que la acción debe ser un múltiplo entero de la constante de Planck. De forma similar, el trabajo de Einstein en la y la dificultad para cuantizar sistemas no integrables se expresa en términos de los toros invariantes de las coordenadas de acción-ángulo. Las coordenadas de acción-ángulo son también útiles en teoría de perturbaciones en mecánica hamiltoniana, especialmente para determinar . Uno de los primeros resultados de teoría del caos para las perturbaciones no lineales de sistemas dinámicos con pocos grados de libertad es el teorema KAM, que afirma que los toros invariantes son estables bajo perturbaciones pequeñas. El uso de variables de acción-ángulo fue fundamental en la resolución de la red de Toda y en la definición de los pares de Lax o, de forma más general, en la idea de evolución de un sistema. (es)
- 作用・角変数 (さよう・かくへんすう, action-angle variable) とは、解析力学において可積分な正準力学系に対して導入される、作用変数と角変数の組からなる正準変数のこと。 (ja)
- Змінні дія-кут — пара канонічно спряжених змінних класичної механічної системи, в якій роль імпульсу відіграє змінна дії — адіабатичний інваріант. Твірною функцією для канонічного перетворення до нових змінних є функція , де E — енергія, однозначно зв'язана з адіабатичним інваріантом I. Канонічно спряжена до змінної дії кутова змінна w визначається, як Рівняння руху в змінних дія-кут мають дуже простий вигляд: Таким чином, адіабатичний інваріант I є інтегралом руху, а кутова змінна зростає з часом за лінійним законом. За один період кутова змінна збільшується на . Вихідні змінні координата q та імпульса p є періодичними функціями кутової змінної. (uk)
- Переменные действие — угол — пара канонически сопряженных переменных классической механической системы, в которой роль импульса играет переменная действия — адиабатический инвариант. Производящей функцией для канонического преобразования в новых переменных является функция , где — энергия — однозначно связана с адиабатическим инвариантом . Канонически сопряженная к переменной действия угловая переменная определяется как . Уравнения движения в переменных «действие — угол» имеют очень простой вид: ,. Таким образом, адиабатический инвариант является интегралом движения, а угловая переменная возрастает со временем по линейному закону. За один период угловая переменная увеличивается на . Переменные координата и импульс являются периодическими функциями угловой переменной. (ru)
- 在經典力學裏，作用量-角度坐標（action-angle coordinate）是一組正則坐標，通常在解析 (Integrable system) 時，有很大的用處。應用作用量-角度坐標的方法，不需要先解析運動方程式，就能夠求得振動或旋轉的頻率。作用量-角度坐標主要用於完全可分的 哈密頓-亞可比方程式（哈密頓量顯性地不含時間，也就是說，能量保持恆定）。作用量-角度變數可以用來定義一個環面不變量。因為，保持作用量的不變設定了環的曲面，而角度是環面的另外一個坐標，粒子依照著角度，捲繞於環面。 在量子力學早期，波動力學發展成功之前， (Bohr-Sommerfeld quantization) 是研究量子力學的利器。此條件闡明，作用量必須是普朗克常數常數的整數倍。愛因斯坦對於 Einstein-Brillouin-Keller action quantization 深刻的理解 與 非可積分系統 量子化的困難，都是以 作用量-角度坐標的環面不變量 來表達。 在哈密頓力學裏，作用量-角度坐標也可以應用於微擾理論，特別是在決定緩漸不變量。關於一個自由度很小的動力系統的非線形微擾，混沌理論研究的最早的一個結果是 KAM theorem 。這定理闡明，對於微小微擾，環面不變量是穩定的。 作用量-角度坐標，對於 (Toda field theory) 的解析，對於 Lax pairs 的定義，更廣義地，對於一個系統 (isospectral) 演化的構想，都佔有關鍵地位。 (zh)
|
| rdfs:comment
|
- 作用・角変数 (さよう・かくへんすう, action-angle variable) とは、解析力学において可積分な正準力学系に対して導入される、作用変数と角変数の組からなる正準変数のこと。 (ja)
- In classical mechanics, action-angle coordinates are a set of canonical coordinates useful in solving many integrable systems. The method of action-angles is useful for obtaining the frequencies of oscillatory or rotational motion without solving the equations of motion. Action-angle coordinates are chiefly used when the Hamilton–Jacobi equations are completely separable. (Hence, the Hamiltonian does not depend explicitly on time, i.e., the energy is conserved.) Action-angle variables define an invariant torus, so called because holding the action constant defines the surface of a torus, while the angle variables parameterize the coordinates on the torus. (en)
- Wirkungs-Winkelkoordinaten, auch Wirkungs-Winkelvariablen, sind ein Satz kanonisch-konjugierter Koordinaten, mit denen sich Dynamische Systeme vereinfachen lassen. Mit der Transformation zu Wirkungs-Winkelkoordinaten lassen sich Eigenfrequenzen von Oszillatoren bestimmen, ohne die Bewegungsgleichungen des Systems lösen zu müssen. Wirkungs-Winkelkoordinaten eignen sich besonders, wenn die Hamilton-Jacobi-Gleichungen separabel sind. Die Hamilton-Funktion hängt dann nicht explizit von der Zeit ab, sodass die Gesamtenergie des Systems erhalten ist. (de)
- En mecánica clásica, las coordenadas de acción-ángulo son un conjunto de coordenadas canónicas útiles en la resolución de muchos sistemas hamiltonianos integrables. El método de acciones-ángulos es útil para obtener las frecuencias de movimientos oscilatorios o rotacionales sin necesidad de resolver las ecuaciones del movimiento. Las coordenadas de acción-ángulo se utilizan principalmente cuando las ecuaciones de Hamilton-Jacobi son completamente separables (por tanto, el hamiltoniano no depende explícitamente del tiempo y por consiguiente la energía se conserva). Las variables de acción-ángulo definen un toro invariante, llamado así porque mantener la acción constante define la superficie de un toro, con las variables de ángulo parametrizando las coordenadas del toro. (es)
- Переменные действие — угол — пара канонически сопряженных переменных классической механической системы, в которой роль импульса играет переменная действия — адиабатический инвариант. Производящей функцией для канонического преобразования в новых переменных является функция , где — энергия — однозначно связана с адиабатическим инвариантом . Канонически сопряженная к переменной действия угловая переменная определяется как . Уравнения движения в переменных «действие — угол» имеют очень простой вид: ,. (ru)
- Змінні дія-кут — пара канонічно спряжених змінних класичної механічної системи, в якій роль імпульсу відіграє змінна дії — адіабатичний інваріант. Твірною функцією для канонічного перетворення до нових змінних є функція , де E — енергія, однозначно зв'язана з адіабатичним інваріантом I. Канонічно спряжена до змінної дії кутова змінна w визначається, як Рівняння руху в змінних дія-кут мають дуже простий вигляд: (uk)
- 在經典力學裏，作用量-角度坐標（action-angle coordinate）是一組正則坐標，通常在解析 (Integrable system) 時，有很大的用處。應用作用量-角度坐標的方法，不需要先解析運動方程式，就能夠求得振動或旋轉的頻率。作用量-角度坐標主要用於完全可分的 哈密頓-亞可比方程式（哈密頓量顯性地不含時間，也就是說，能量保持恆定）。作用量-角度變數可以用來定義一個環面不變量。因為，保持作用量的不變設定了環的曲面，而角度是環面的另外一個坐標，粒子依照著角度，捲繞於環面。 在量子力學早期，波動力學發展成功之前， (Bohr-Sommerfeld quantization) 是研究量子力學的利器。此條件闡明，作用量必須是普朗克常數常數的整數倍。愛因斯坦對於 Einstein-Brillouin-Keller action quantization 深刻的理解 與 非可積分系統 量子化的困難，都是以 作用量-角度坐標的環面不變量 來表達。 在哈密頓力學裏，作用量-角度坐標也可以應用於微擾理論，特別是在決定緩漸不變量。關於一個自由度很小的動力系統的非線形微擾，混沌理論研究的最早的一個結果是 KAM theorem 。這定理闡明，對於微小微擾，環面不變量是穩定的。 (zh)
|
