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- In number theory, the Hasse norm theorem states that if L/K is a cyclic extension of number fields, then if a nonzero element of K is a local norm everywhere, then it is a global norm.Here to be a global norm means to be an element k of K such that there is an element l of L with ; in other words k is a relative norm of some element of the extension field L. To be a local norm means that for some prime p of K and some prime P of L lying over K, then k is a norm from LP; here the "prime" p can be an archimedean valuation, and the theorem is a statement about completions in all valuations, archimedean and non-archimedean. The theorem is no longer true in general if the extension is abelian but not cyclic. Hasse gave the counterexample that 3 is a local norm everywhere for the extension but is not a global norm. Serre and Tate showed that another counterexample is given by the field where every rational square is a local norm everywhere but is not a global norm. This is an example of a theorem stating a local-global principle. The full theorem is due to Hasse. The special case when the degree n of the extension is 2 was proved by , and the special case when n is prime was proved by . The Hasse norm theorem can be deduced from the theorem that an element of the Galois cohomology group H2(L/K) is trivial if it is trivial locally everywhere, which is in turn equivalent to the deep theorem that the first cohomology of the idele class group vanishes. This is true for all finite Galois extensions of number fields, not just cyclic ones. For cyclic extensions the group H2(L/K) is isomorphic to the Tate cohomology group H0(L/K) which describes which elements are norms, so for cyclic extensions it becomes Hasse's theorem that an element is a norm if it is a local norm everywhere. (en)
- En mathématiques et en théorie des nombres, le théorème de la norme de Hasse nous dit que si L/K est une extension cyclique de corps de nombres alors, tout élément non nul de K qui est une norme locale partout est une norme globale.Ici, une norme globale signifie être un élément k de K tel qu'il existe un élément l de L pour lequel NL/K(l)=k ; en d'autres termes k est une norme relative d'un certain élément de l'extension de corps L. Être une norme locale signifie que pour un certain p premier de K et un certain P premier de L au-dessus de p, alors k est une norme venant de LP ; ici, le p « premier » peut être une valuation archimédienne, et le théorème est un énoncé sur les complétés par rapport à toutes les valuations, archimédiennes et non archimédiennes.Le théorème n'est plus vrai si l'extension est abélienne mais non cyclique. Ceci est un exemple d'un théorème établissant un principe local-global et est dû à Helmut Hasse. (fr)
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- En mathématiques et en théorie des nombres, le théorème de la norme de Hasse nous dit que si L/K est une extension cyclique de corps de nombres alors, tout élément non nul de K qui est une norme locale partout est une norme globale.Ici, une norme globale signifie être un élément k de K tel qu'il existe un élément l de L pour lequel NL/K(l)=k ; en d'autres termes k est une norme relative d'un certain élément de l'extension de corps L. Être une norme locale signifie que pour un certain p premier de K et un certain P premier de L au-dessus de p, alors k est une norme venant de LP ; ici, le p « premier » peut être une valuation archimédienne, et le théorème est un énoncé sur les complétés par rapport à toutes les valuations, archimédiennes et non archimédiennes.Le théorème n'est plus vrai si l (fr)
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- Hasse norm theorem (en)
- Théorème de la norme de Hasse (fr)
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