| dbo:abstract
|
- Gaussian distribution on a locally compact Abelian group is a distribution on a secondcountable locally compact Abelian group which satisfies theconditions: (i) is an infinitely divisible distribution; (ii) if , where is the generalizedPoisson distribution, associated with a finite measure , and is an infinitely divisible distribution, then the measure is degenerated at zero. This definition of the Gaussian distribution for the group coincides with the classical one. The support ofa Gaussian distribution is a coset of a connected subgroup of . Let be the character group of the group . A distribution on is Gaussian if and only if itscharacteristic function can be represented in the form , where is thevalue of a character at an element , and is a continuous nonnegative function on satisfyingthe equation . A Gaussian distribution is called symmetric if . Denote by the set of Gaussian distributions on the group , and by the set of symmetric Gaussian distribution on. If , then is a continuoushomomorphic image of a Gaussian distribution in a real linear space.This space is either finite dimensional or infinite dimensional(the space of all sequences of real numbers in the producttopology). If a distribution can be embedded in a continuousone-parameter semigroup , of distributions on, then if and only if for any neighbourhood of zero in the group. Let be a connected group, and. If is not a locally connected, then is singular (with respect of a Haar distribution on ). If is a locally connected and has a finitedimension, then is either absolutely continuous orsingular. The question of the validity of a similar statement onlocally connected groups of infinite dimension is open, although onsuch groups it is possible to construct both absolutely continuousand singular Gaussian distributions. It is well known that two Gaussian distributions in a linear spaceare either mutually absolutely continuous or mutually singular. Thisalternative is true for Gaussian distributions on connected groupsof finite dimension. The following theorem is valid, which can be consideredas an analogue of Cramer's theorem on the decomposition of the normal distribution for locally compact Abelian groups. (en)
- Розподіл Гауса на локально компактній абелевій групі — розподіл на локально компактній сепарабельній метричній абелевій групі , який задовольняє наступним умовам: (i) — безмежно подільний розподіл; (ii) якщо , де — узагальнений розподіл Пуассона, асоційований з мірою , а — безмежно подільний розподіл, то міра вироджена в нулі. Для групи це визначення збігається з класичним. Носій розподілу Гауса — клас суміжності деякої зв'язної підгрупи групи . Нехай — група характерів групи . Розподіл на групі є розподілом Гауса тоді і лише тоді, коли його характеристична функція може бути представлена у вигляді , де — значення характеру на елементі , а — неперервна невід'ємна функція на , яка задовольняє рівнянню. Розподіл Гауса називається симетричним, якщо . Нехай — множина розподілів Гауса на групі , — множина симетричних розподілів Гауса на групі Розподіл є неперервним гомоморфним образом розподілу Гауса у лінійному просторі (скінченновимірному або нескінченновимірному — просторі всіх послідовностей з топологією покоординатної збіжності) . Якщо розподіл можна вкласти в неперервну однопараметричну півгрупу , розподілів на , то тоді і лише тоді, коли для будь-якого околу нуля групи. Нехай — зв'язна група, . Якщо група не локально зв'язна, то (відносно міри Хаара на ) . Якщо локально зв'язна і має скінчену розмірність, то або абсолютно неперервний, або сингулярний. Питання про справедливість аналогічного твердження на локально зв'язних групах нескінченої розмірності відкритий, хоча на таких групах можна побудувати як абсолютно неперервні, так і сингулярні розподіли Гауса. На зв'язних групах скінченої розмірності справедлива альтернатива, яка має місце для розподілів Гауса у векторному просторі — будь-які два розподіли Гауса або взаємно абсолютно неперервні, або взаємно сингулярні . Справедливою є наступна теорема, яку можна розглядати як аналог теореми Крамера про розклад нормального розподілу для локально компактних абепевих груп. (uk)
|
| rdfs:comment
|
- Gaussian distribution on a locally compact Abelian group is a distribution on a secondcountable locally compact Abelian group which satisfies theconditions: (i) is an infinitely divisible distribution; (ii) if , where is the generalizedPoisson distribution, associated with a finite measure , and is an infinitely divisible distribution, then the measure is degenerated at zero. This definition of the Gaussian distribution for the group coincides with the classical one. The support ofa Gaussian distribution is a coset of a connected subgroup of . , for any neighbourhood of zero in the group. (en)
- Розподіл Гауса на локально компактній абелевій групі — розподіл на локально компактній сепарабельній метричній абелевій групі , який задовольняє наступним умовам: (i) — безмежно подільний розподіл; (ii) якщо , де — узагальнений розподіл Пуассона, асоційований з мірою , а — безмежно подільний розподіл, то міра вироджена в нулі. Для групи це визначення збігається з класичним. Носій розподілу Гауса — клас суміжності деякої зв'язної підгрупи групи . , де — значення характеру на елементі , а — неперервна невід'ємна функція на , яка задовольняє рівнянню. для будь-якого околу нуля групи. (uk)
|
