In mathematical analysis, Korn's inequality is an inequality concerning the gradient of a vector field that generalizes the following classical theorem: if the gradient of a vector field is skew-symmetric at every point, then the gradient must be equal to a constant skew-symmetric matrix. Korn's theorem is a quantitative version of this statement, which intuitively says that if the gradient of a vector field is on average not far from the space of skew-symmetric matrices, then the gradient must not be far from a particular skew-symmetric matrix. The statement that Korn's inequality generalizes thus arises as a special case of rigidity.
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| - Inégalité de Korn (fr)
- Korn's inequality (en)
- コーンの不等式 (ja)
- Korns olikhet (sv)
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| - 解析学におけるコーンの不等式（コーンのふとうしき、英: Korn's inequality）はベクトル場の勾配に関する不等式で、次の古典的定理を一般化したものである：ベクトル場の勾配が任意の点で歪対称 （skew-symmetric）であれば、その歪対称行列は一定（定数成分行列）でなければいけない。 コーンの定理はこの命題を定量化したもので、直感的に言えば、ベクトル場の勾配が歪対称行列が張る空間から平均的には大きく離れていないとき、その勾配は「特定の」歪対称行列から大きく離れていてはならない。コーンの不等式による一般化は従って、（数学的）の特別なケースの一つとして現れる。 （線形）弾性理論において、弾性体が与えられたベクトル値関数による変形を受けたとき、変位勾配テンソルの対称部分はひずみの程度を表す。したがってこの不等式は、線形弾性理論における（a priori estimate）の道具として重要である。 (ja)
- En mathématiques, plus particulièrement en analyse fonctionnelle, l'inégalité de Korn est un résultat démontré pour la première fois en 1908 par le physicien allemand Arthur Korn. Ce résultat, issu des recherches de Korn en théorie de l'élasticité, a depuis été étendu et continue de jouer un rôle important dans cette théorie. Néanmoins, il s'agit d'abord d'un théorème mathématique portant sur la norme de la jacobienne d'une fonction assez régulière, dont l'utilisation déborde le seul cadre de la physique des matériaux. De fait, des généralisations de cette inégalité et d'inégalités du même type sont au cœur des recherches sur la stabilité des systèmes dynamiques continus et dans l'étude numérique des équations aux dérivées partielles elliptiques. (fr)
- Inom matematiken är Korns olikhet en olikhet gällande gradienten av ett vektorfält. Olikheten säger följande: låt Ω vara en öppen sammanhängande domän i Rn med n ≥ 2. Låt H1(Ω) vara av alla vektorfält v = (v1, ..., vn) över Ω som tillsammans med sina svaga derivator är i Lebesguerummet L2(Ω). Beteckna den partiella derivatan i förhållande till den i-te komponenten som ∂i och definiera normen över H1(Ω) som Då finns det en konstant C ≥ 0, känd som Kornkonstanten av Ω, så att för alla v ∈ H1(Ω) är där e är den symmetriserade gradienten definierad som Olikheten (1) är Korns olikhet. (sv)
- In mathematical analysis, Korn's inequality is an inequality concerning the gradient of a vector field that generalizes the following classical theorem: if the gradient of a vector field is skew-symmetric at every point, then the gradient must be equal to a constant skew-symmetric matrix. Korn's theorem is a quantitative version of this statement, which intuitively says that if the gradient of a vector field is on average not far from the space of skew-symmetric matrices, then the gradient must not be far from a particular skew-symmetric matrix. The statement that Korn's inequality generalizes thus arises as a special case of rigidity. (en)
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| - In mathematical analysis, Korn's inequality is an inequality concerning the gradient of a vector field that generalizes the following classical theorem: if the gradient of a vector field is skew-symmetric at every point, then the gradient must be equal to a constant skew-symmetric matrix. Korn's theorem is a quantitative version of this statement, which intuitively says that if the gradient of a vector field is on average not far from the space of skew-symmetric matrices, then the gradient must not be far from a particular skew-symmetric matrix. The statement that Korn's inequality generalizes thus arises as a special case of rigidity. In (linear) elasticity theory, the symmetric part of the gradient is a measure of the strain that an elastic body experiences when it is deformed by a given vector-valued function. The inequality is therefore an important tool as an a priori estimate in linear elasticity theory. (en)
- 解析学におけるコーンの不等式（コーンのふとうしき、英: Korn's inequality）はベクトル場の勾配に関する不等式で、次の古典的定理を一般化したものである：ベクトル場の勾配が任意の点で歪対称 （skew-symmetric）であれば、その歪対称行列は一定（定数成分行列）でなければいけない。 コーンの定理はこの命題を定量化したもので、直感的に言えば、ベクトル場の勾配が歪対称行列が張る空間から平均的には大きく離れていないとき、その勾配は「特定の」歪対称行列から大きく離れていてはならない。コーンの不等式による一般化は従って、（数学的）の特別なケースの一つとして現れる。 （線形）弾性理論において、弾性体が与えられたベクトル値関数による変形を受けたとき、変位勾配テンソルの対称部分はひずみの程度を表す。したがってこの不等式は、線形弾性理論における（a priori estimate）の道具として重要である。 (ja)
- En mathématiques, plus particulièrement en analyse fonctionnelle, l'inégalité de Korn est un résultat démontré pour la première fois en 1908 par le physicien allemand Arthur Korn. Ce résultat, issu des recherches de Korn en théorie de l'élasticité, a depuis été étendu et continue de jouer un rôle important dans cette théorie. Néanmoins, il s'agit d'abord d'un théorème mathématique portant sur la norme de la jacobienne d'une fonction assez régulière, dont l'utilisation déborde le seul cadre de la physique des matériaux. De fait, des généralisations de cette inégalité et d'inégalités du même type sont au cœur des recherches sur la stabilité des systèmes dynamiques continus et dans l'étude numérique des équations aux dérivées partielles elliptiques. (fr)
- Inom matematiken är Korns olikhet en olikhet gällande gradienten av ett vektorfält. Olikheten säger följande: låt Ω vara en öppen sammanhängande domän i Rn med n ≥ 2. Låt H1(Ω) vara av alla vektorfält v = (v1, ..., vn) över Ω som tillsammans med sina svaga derivator är i Lebesguerummet L2(Ω). Beteckna den partiella derivatan i förhållande till den i-te komponenten som ∂i och definiera normen över H1(Ω) som Då finns det en konstant C ≥ 0, känd som Kornkonstanten av Ω, så att för alla v ∈ H1(Ω) är där e är den symmetriserade gradienten definierad som Olikheten (1) är Korns olikhet. (sv)
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