In mathematics, the Hilbert–Speiser theorem is a result on cyclotomic fields, characterising those with a normal integral basis. More generally, it applies to any finite abelian extension of Q, which by the Kronecker–Weber theorem are isomorphic to subfields of cyclotomic fields. Hilbert–Speiser Theorem. A finite abelian extension K/Q has a normal integral basis if and only if it is tamely ramified over Q. Cornelius Greither, Daniel R. Replogle, and Karl Rubin et al. proved a converse to the Hilbert–Speiser theorem:
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| - Hilbert–Speiser theorem (en)
- Théorème de Hilbert-Speiser (fr)
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| - In mathematics, the Hilbert–Speiser theorem is a result on cyclotomic fields, characterising those with a normal integral basis. More generally, it applies to any finite abelian extension of Q, which by the Kronecker–Weber theorem are isomorphic to subfields of cyclotomic fields. Hilbert–Speiser Theorem. A finite abelian extension K/Q has a normal integral basis if and only if it is tamely ramified over Q. Cornelius Greither, Daniel R. Replogle, and Karl Rubin et al. proved a converse to the Hilbert–Speiser theorem: (en)
- En mathématiques, le théorème de Hilbert-Speiser est un résultat sur les sous-corps des corps cyclotomiques, caractérisant ceux qui possèdent une base normale d'entiers. D'après le théorème de Kronecker-Weber, les extensions abéliennes du corps ℚ des rationnels sont exactement les sous-corps K d'un corps cyclotomique ℚ(ζn) (avec n entier quelconque et ζn = e2πi/n). Le théorème de Hilbert-Speiser affirme qu'un tel K possède une base normale d'entiers si et seulement si n est impair et sans carré (une condition équivalente plus abstraite est que l'extension K de ℚ soit modérément ramifiée). (fr)
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| - David Hilbert (en)
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| - Satz 132 (en)
- corollary to proposition 8.1 (en)
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| - In mathematics, the Hilbert–Speiser theorem is a result on cyclotomic fields, characterising those with a normal integral basis. More generally, it applies to any finite abelian extension of Q, which by the Kronecker–Weber theorem are isomorphic to subfields of cyclotomic fields. Hilbert–Speiser Theorem. A finite abelian extension K/Q has a normal integral basis if and only if it is tamely ramified over Q. This is the condition that it should be a subfield of Q(ζn) where n is a squarefree odd number. This result was introduced by Hilbert in his Zahlbericht and by Speiser . In cases where the theorem states that a normal integral basis does exist, such a basis may be constructed by means of Gaussian periods. For example if we take n a prime number p > 2, Q(ζp) has a normal integral basis consisting of all the p-th roots of unity other than 1. For a field K contained in it, the field trace can be used to construct such a basis in K also (see the article on Gaussian periods). Then in the case of n squarefree and odd, Q(ζn) is a compositum of subfields of this type for the primes p dividing n (this follows from a simple argument on ramification). This decomposition can be used to treat any of its subfields. Cornelius Greither, Daniel R. Replogle, and Karl Rubin et al. proved a converse to the Hilbert–Speiser theorem: Each finite tamely ramified abelian extension K of a fixed number field J has a relative normal integral basis if and only if J =Q. There is an elliptic analogue of the theorem proven by Anupam Srivastav and Martin J. Taylor. It is now called the Srivastav-Taylor theorem. (en)
- En mathématiques, le théorème de Hilbert-Speiser est un résultat sur les sous-corps des corps cyclotomiques, caractérisant ceux qui possèdent une base normale d'entiers. D'après le théorème de Kronecker-Weber, les extensions abéliennes du corps ℚ des rationnels sont exactement les sous-corps K d'un corps cyclotomique ℚ(ζn) (avec n entier quelconque et ζn = e2πi/n). Le théorème de Hilbert-Speiser affirme qu'un tel K possède une base normale d'entiers si et seulement si n est impair et sans carré (une condition équivalente plus abstraite est que l'extension K de ℚ soit modérément ramifiée). Lorsque cette condition est remplie, une base normale d'entiers peut être construite à l'aide des périodes de Gauss. Par exemple si p est un nombre premier > 2, ℚ(ζp) possède une base normale d'entiers constituée des p – 1 racines p-ièmes de l'unité différentes de 1, et une base normale d'entiers pour tout sous-corps s'en déduit en utilisant la forme trace. Lorsque n est impair et sans carré, ℚ(ζn) est le produit tensoriel de sous-corps de ce type pour les nombres premiers p divisant n (ceci découle d'un argument simple sur la ramification). Cette décomposition peut être utilisée pour traiter n'importe quel sous-corps. (fr)
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