Euler's factorization method is a technique for factoring a number by writing it as a sum of two squares in two different ways. For example the number can be written as or as and Euler's method gives the factorization .
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| - طريقة التعميل لأويلر (ar)
- Eulerova faktorizační metoda (cs)
- Método de factorización de Euler (es)
- Euler's factorization method (en)
- Méthode de factorisation d'Euler (fr)
- Metodo di fattorizzazione di Eulero (it)
- Метод разложения Эйлера (ru)
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| - في نظرية الأعداد، طريقة التعميل لأويلر (بالإنجليزية: Euler's factorization method) هي طريقة تمكن من تعميل عدد صحيح ما إلى جداء أعداد صحيحة. تتمثل هذه الطريقة في كتابة العدد المراد تعميله إلى مجموع مربعين اثنين بطريقتين اثنتين. على سبيل المثال، العدد يمكن أن يكتب على شكل وعلى شكل . طريقة أويلر تعطي النتيجة . سميت هذه الطريقة هكذا نسابة إلى ليونهارد أويلر. (ar)
- Метод разложения Эйлера — это техника факторизации числа путём записи его в виде суммы двух квадратов двумя разными путями. Например, число можно записать как или как и метод Эйлера даёт разложение . (ru)
- Eulerova faktorizační metoda, pojmenovaná po Leonhardu Eulerovi, je metoda hledání prvočíselného rozkladu založená na možnosti zapsat zkoumané přirozené číslo N jako součet dvou čtverců dvěma různými způsoby: Odečtením a od obou stran získáváme : a odtud plyne, že Bez újmy na obecnosti lze předpokládat, že a jsou buď obě sudá, nebo lichá, tedy že jejich rozdíl bude sudý. Nechť je největší společný dělitel a, tedy , a Dosadíme-li získaný vztah do rovnosti součinů výše, máme Protože jsou a nesoudělná, musí být dělitelné . Tato myšlenka dává: a (cs)
- Euler's factorization method is a technique for factoring a number by writing it as a sum of two squares in two different ways. For example the number can be written as or as and Euler's method gives the factorization . (en)
- El método de factorización de Euler es un método de factorización basado en la representación de un entero positivo como la suma de dos cuadrados de dos maneras distintas: Aunque la factorización algebraica de números binomiales no sirve para factorizar sumas de dos cuadrados (en efecto un número que se puede expresar de una forma como suma de dos cuadrados es un número primo) si se pueden hallar dos representaciones distintas de un número como suma de dos cuadrados se sigue de ahí una factorización: Partiendo de se resta a ambos lados de la igualdad para crear una diferencia de dos cuadrados: (es)
- La méthode de factorisation d'Euler est une technique de factorisation d'un nombre, du nom de Leonhard Euler, en l'écrivant comme une somme de deux carrés de deux manières différentes. Par exemple, le nombre 1 000 009 peut s'écrire 10002 + 32 ou 9722 + 2352 et la méthode de factorisation d'Euler donne 1 000 009 = 293 × 3413. (fr)
- Il metodo di fattorizzazione di Eulero è un algoritmo ideato da Eulero per fattorizzare dei numeri naturali in numeri primi. Si basa sulla rappresentazione del numero n (da fattorizzare) come somma di due quadrati in due modi distinti, e per questo non è applicabile né a numeri nella forma 4k+3, né a quelli in cui un numero primo di questa forma è presente ad un esponente dispari nella fattorizzazione di n. Questo ne riduce grandemente il campo di applicabilità, perché anche molti semiprimi nella forma 4k+1 sono prodotto di due primi del tipo 4k+3. (it)
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| - في نظرية الأعداد، طريقة التعميل لأويلر (بالإنجليزية: Euler's factorization method) هي طريقة تمكن من تعميل عدد صحيح ما إلى جداء أعداد صحيحة. تتمثل هذه الطريقة في كتابة العدد المراد تعميله إلى مجموع مربعين اثنين بطريقتين اثنتين. على سبيل المثال، العدد يمكن أن يكتب على شكل وعلى شكل . طريقة أويلر تعطي النتيجة . سميت هذه الطريقة هكذا نسابة إلى ليونهارد أويلر. (ar)
- Eulerova faktorizační metoda, pojmenovaná po Leonhardu Eulerovi, je metoda hledání prvočíselného rozkladu založená na možnosti zapsat zkoumané přirozené číslo N jako součet dvou čtverců dvěma různými způsoby: Odečtením a od obou stran získáváme : a odtud plyne, že Bez újmy na obecnosti lze předpokládat, že a jsou buď obě sudá, nebo lichá, tedy že jejich rozdíl bude sudý. Nechť je největší společný dělitel a, tedy , a Dosadíme-li získaný vztah do rovnosti součinů výše, máme Protože jsou a nesoudělná, musí být dělitelné . Tato myšlenka dává: a Ze získaných rovností plyne a , odkud po dosazení do původního zapsání máme: (cs)
- Euler's factorization method is a technique for factoring a number by writing it as a sum of two squares in two different ways. For example the number can be written as or as and Euler's method gives the factorization . The idea that two distinct representations of an odd positive integer may lead to a factorization was apparently first proposed by Marin Mersenne. However, it was not put to use extensively until one hundred years later by Euler. His most celebrated use of the method that now bears his name was to factor the number , which apparently was previously thought to be prime even though it is not a pseudoprime by any major primality test. Euler's factorization method is more effective than Fermat's for integers whose factors are not close together and potentially much more efficient than trial division if one can find representations of numbers as sums of two squares reasonably easily. Euler's development ultimately permitted much more efficient factoring of numbers and, by the 1910s, the development of large factor tables going up to about ten million. The methods used to find representations of numbers as sums of two squares are essentially the same as with finding differences of squares in Fermat's factorization method. (en)
- El método de factorización de Euler es un método de factorización basado en la representación de un entero positivo como la suma de dos cuadrados de dos maneras distintas: Aunque la factorización algebraica de números binomiales no sirve para factorizar sumas de dos cuadrados (en efecto un número que se puede expresar de una forma como suma de dos cuadrados es un número primo) si se pueden hallar dos representaciones distintas de un número como suma de dos cuadrados se sigue de ahí una factorización: Partiendo de se resta a ambos lados de la igualdad para crear una diferencia de dos cuadrados: y de ahí se sigue que: Supóngase sin pérdida de generalidad que y son ambos pares o bien ambos impares, de forma que su diferencia es par. Ahora se define una constante igual al máximo común divisor de y de forma que: y , con de forma que, tras sustituir en la expresión anterior quedaría la siguiente ecuación: Como y son primos entre sí, se supone que es divisible por , lo que nos daría como expresiones: y; La factorización del número original se puede mostrar que podría ser igual a: (es)
- La méthode de factorisation d'Euler est une technique de factorisation d'un nombre, du nom de Leonhard Euler, en l'écrivant comme une somme de deux carrés de deux manières différentes. Par exemple, le nombre 1 000 009 peut s'écrire 10002 + 32 ou 9722 + 2352 et la méthode de factorisation d'Euler donne 1 000 009 = 293 × 3413. L'idée que deux représentations distinctes d'un entier naturel impair peut conduire à une factorisation aurait été proposée par Marin Mersenne. Cependant, elle n'avait pas été exploitée, jusqu'à Euler, cent ans plus tard. L'utilisation la plus célèbre de la méthode, qui porte maintenant son nom, était de factoriser le nombre 1 000 009, qui était auparavant supposé premier. La méthode de factorisation d'Euler est plus efficace que celle de Fermat pour les entiers dont les facteurs ne sont pas proches, si l'on peut trouver raisonnablement facilement des représentations de nombres sous la forme de deux carrés. Le développement d'Euler a finalement permis une factorisation beaucoup plus efficace des nombres et, vers les années 1910, le développement de grandes tables allant jusqu'à environ dix millions[réf. nécessaire]. Les méthodes utilisées pour trouver des représentations de nombres sous la forme de sommes de deux carrés sont essentiellement les mêmes que pour trouver des différences de carrés dans la méthode de factorisation de Fermat. L'inconvénient de la méthode de factorisation d'Euler est qu'elle ne peut pas être appliquée à la factorisation d'un nombre entier n avec un facteur premier de la forme 4k + 3 à une puissance impaire dans la décomposition en facteurs premiers de n, car un tel nombre premier n'est jamais somme de deux carrés. (Voir le théorème des deux carrés de Fermat). Des nombres impairs de la forme 4k + 1 sont souvent le produit de deux nombres premiers de la forme 4k + 3 (par exemple 3053 = 43 × 71) et donc ne peuvent pas être factorisés par la méthode d'Euler. (fr)
- Il metodo di fattorizzazione di Eulero è un algoritmo ideato da Eulero per fattorizzare dei numeri naturali in numeri primi. Si basa sulla rappresentazione del numero n (da fattorizzare) come somma di due quadrati in due modi distinti, e per questo non è applicabile né a numeri nella forma 4k+3, né a quelli in cui un numero primo di questa forma è presente ad un esponente dispari nella fattorizzazione di n. Questo ne riduce grandemente il campo di applicabilità, perché anche molti semiprimi nella forma 4k+1 sono prodotto di due primi del tipo 4k+3. Per questo motivo non è spesso usato come metodo di fattorizzazione, perché non è possibile sapere a priori se un dato numero sia o meno fattorizzabile con quest'algoritmo. (it)
- Метод разложения Эйлера — это техника факторизации числа путём записи его в виде суммы двух квадратов двумя разными путями. Например, число можно записать как или как и метод Эйлера даёт разложение . (ru)
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