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- Un anell trivial és un anell definit per un singletó, {r}. Les operacions de l'anell (× y +) són trivials: Aquest anell és clarament commutatiu. El seu únic element és l'element identitat per a ambdúes operacions. Un anell R és trivial si i només si 1 = 0, aquesta igualtat implica que per a tot r de R, r = r × 1 = r × 0 = 0. L'anell trivial també se l'anomena anell nul, ja que {0} és un anell amb les operacions estàndards de l'addició i la multiplicació. (ca)
- في نظرية الحلقات، فرعا من الرياضيات، حلقة منعدمة (بالإنجليزية: Zero ring) أو الحلقة البديهية هي الحلقة تحتوي على عنصر واحد. (ar)
- Der Nullring oder triviale Ring ist in der Mathematik der bis auf Isomorphie eindeutig bestimmte Ring, der nur aus dem Nullelement besteht. Das Nullelement ist damit zugleich das Einselement des Rings. Der Nullring besitzt eine Reihe besonderer Eigenschaften, so ist er beispielsweise der einzige Ring, in dem jedes Element eine Einheit ist, und der einzige Ring mit Eins, in dem es kein maximales Ideal gibt. In der Kategorie der Ringe mit Eins ist der Nullring terminales Objekt und in der Kategorie aller Ringe das Nullobjekt. (de)
- Un pseudo-anneau de carré nul est un pseudo-anneau sur lequel la multiplication est nulle. Le seul pseudo-anneau de carré nul unitaire est l'anneau nul, l'anneau à un seul élément. Tout groupe abélien peut être muni d'une façon et d'une seule d'une structure de pseudo-anneau de carré nul, la multiplication nulle vérifiant systématiquement les conditions d'associativité et de distributivité requises d'un pseudo-anneau. Ses idéaux en tant que pseudo-anneau sont ses sous-groupes additifs. Il en découle que les seuls pseudo-anneaux A de carré nul sans idéal autres que {0} et A lui-même sont les groupes abéliens sans sous-groupes non triviaux, c'est-à-dire les groupes cycliques de cardinal premier. Cette propriété permet de montrer la caractérisation suivante des idéaux maximaux d'un pseudo-anneau : Un idéal I d'un pseudo-anneau commutatif A est maximal si et seulement si l'anneau quotient de A par I est soit un corps, soit un pseudo-anneau de carré nul sur un groupe additif cyclique de cardinal premier. (fr)
- En mathématiques, on appelle anneau nul ou anneau trivial l'anneau A réduit au singleton . On a : . Cet anneau est commutatif. Son élément neutre pour la multiplication, noté habituellement 1A dans un anneau quelconque, est ici égal à 0A, l'élément neutre pour l'addition. Réciproquement, le seul anneau A vérifiant 1A = 0A est l'anneau nul puisqu'alors, pour tout élément de A, on a : . L'anneau nul est l'objet final dans la catégorie des anneaux unitaires (i.e. tout anneau admet un unique morphisme d'anneaux dans l'anneau nul), l'objet initial étant l'anneau des entiers. (fr)
- Un anillo trivial es un anillo definido por un singulete, {r}. Las operaciones del anillo (× y +) son triviales: Este anillo es claramente conmutativo. Su único elemento es el elemento identidad para ambas operaciones. Un anillo R es trivial si y solo si 1 = 0, esta igualdad implica que para todo r de R, r = r × 1 = r × 0 = 0. El anillo trivial también se le denomina anillo nulo, ya que {0} es un anillo con las operaciones estándares de la adición y la multiplicación. (es)
- In ring theory, a branch of mathematics, the zero ring or trivial ring is the unique ring (up to isomorphism) consisting of one element. (Less commonly, the term "zero ring" is used to refer to any rng of square zero, i.e., a rng in which xy = 0 for all x and y. This article refers to the one-element ring.) In the category of rings, the zero ring is the terminal object, whereas the ring of integers Z is the initial object. (en)
- 환론에서 자명환(自明環, trivial ring)은 하나의 원소만을 가지는 환으로, 이 경우 덧셈에 대한 항등원과 곱셈에 대한 항등원이 같다. 즉, 이다. (ko)
- Een triviale ring is een ring die op een singleton, {r} is gedefinieerd. De ring bewerkingen (× en +) zijn triviaal: Deze ring is duidelijk commutatief. Het enige element is zowel het additieve en het multiplicatieve identiteitselement, dat wil zeggen, Een ring R is triviaal dan en slechts dan als 1 = 0, aangezien deze gelijkheid dit voor alle r impliceert, geldt binnen R Elke twee triviale ringen zijn isomorf, zodat men ook spreekt van de triviale ring. De triviale ring wordt soms ook de nulring genoemd, omdat {0} (waar 0 correspondeert met het getal 0) een ring is onder de standaard bewerkingen van optellen en vermenigvuldigen. (nl)
- 数学の分野である環論において、零環（英: the zero ring）または自明環 (trivial ring) は1つの元からなる（同型を除いて）唯一の環である。（あまり一般的ではないが、“零環 (zero ring)”という用語は任意の rng of square zero, すなわちすべての x と y に対して xy = 0 であるような rng を指すために使われることもある。この記事では1つの元からなる環の意味で使う。） 環の圏において、零環は終対象である。始対象は有理整数環 Z である。 (ja)
- 環論における積零環（せきれいかん、せきゼロかん、英: rng of square zero, 仏: pseudo-anneau de carré nul, 複積零の擬環）は、その任意の二元の積が零となるような擬環（非単位的環, rng）を言う。しばしば零環 (zero ring) などとも呼ばれる。 単位的な積零環は、ただ一つの元からなる零環のみである。特に、相異なる二元を含む積零環は、明らかに単位元を持たない。 任意のアーベル群は、ただ一つのやり方で、ただ一つの積零環構造を持たせることができる（これは加法的に記されたアーベル群 G が複零条件 G⋅G = {0} で定義される乗法を持つということである）。この零乗法が、擬環の満たすべき結合律および分配律を満たすことは機械的に確認できる。この積零環の、擬環としてのイデアルとは、加法群の部分群のことにほかならない。このことから、擬環 A が {0} および A 自身のみをイデアルとして持つならば、それは非自明な部分群を持たないアーベル群、すなわち素数位数の巡回群となることが従う。この性質は、擬環の極大イデアルを以下のように特徴付ける: 擬環の極大イデアルの特徴づけ可換擬環 A のイデアル I が極大であるための必要十分条件は、A の I による剰余擬環が、体となるか、または素数位数の巡回加法群上の積零環となることである。 (ja)
- Pierścień trywialny – pierścień określony na jednoelementowym zbiorze. (pl)
- Pierścień zerowy – pierścień, którego działanie multiplikatywne (mnożenie) daje zawsze w wyniku element neutralny działania addytywnego (zero). (pl)
- 在环论中，一个零环是一环（无乘单位元），其中任意两个元素的乘运算是0（即加运算单位元），也可以被称作带有零乘法的环。. （注：有些学者定义一个零环是一个单一的元素的环，即平凡环，这些学者要求有单位元，因此所有这种零环是无研究价值的，大陆教材都是这种定义）零环的另一个名字是，不要求有，零环理想也是零环，在这种情况下，它们被称为空理想。 定义的任何两个元素乘运算为0，任何阿贝尔群可以变成一个零环。这使证明任何阿贝尔群添加乘运算变成环更严格化了。 任何零环的加群的子群是一理想。因此，零环的加群若是素数阶循环群则一定是零单环。 (zh)
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- Un anell trivial és un anell definit per un singletó, {r}. Les operacions de l'anell (× y +) són trivials: Aquest anell és clarament commutatiu. El seu únic element és l'element identitat per a ambdúes operacions. Un anell R és trivial si i només si 1 = 0, aquesta igualtat implica que per a tot r de R, r = r × 1 = r × 0 = 0. L'anell trivial també se l'anomena anell nul, ja que {0} és un anell amb les operacions estàndards de l'addició i la multiplicació. (ca)
- في نظرية الحلقات، فرعا من الرياضيات، حلقة منعدمة (بالإنجليزية: Zero ring) أو الحلقة البديهية هي الحلقة تحتوي على عنصر واحد. (ar)
- Der Nullring oder triviale Ring ist in der Mathematik der bis auf Isomorphie eindeutig bestimmte Ring, der nur aus dem Nullelement besteht. Das Nullelement ist damit zugleich das Einselement des Rings. Der Nullring besitzt eine Reihe besonderer Eigenschaften, so ist er beispielsweise der einzige Ring, in dem jedes Element eine Einheit ist, und der einzige Ring mit Eins, in dem es kein maximales Ideal gibt. In der Kategorie der Ringe mit Eins ist der Nullring terminales Objekt und in der Kategorie aller Ringe das Nullobjekt. (de)
- En mathématiques, on appelle anneau nul ou anneau trivial l'anneau A réduit au singleton . On a : . Cet anneau est commutatif. Son élément neutre pour la multiplication, noté habituellement 1A dans un anneau quelconque, est ici égal à 0A, l'élément neutre pour l'addition. Réciproquement, le seul anneau A vérifiant 1A = 0A est l'anneau nul puisqu'alors, pour tout élément de A, on a : . L'anneau nul est l'objet final dans la catégorie des anneaux unitaires (i.e. tout anneau admet un unique morphisme d'anneaux dans l'anneau nul), l'objet initial étant l'anneau des entiers. (fr)
- Un anillo trivial es un anillo definido por un singulete, {r}. Las operaciones del anillo (× y +) son triviales: Este anillo es claramente conmutativo. Su único elemento es el elemento identidad para ambas operaciones. Un anillo R es trivial si y solo si 1 = 0, esta igualdad implica que para todo r de R, r = r × 1 = r × 0 = 0. El anillo trivial también se le denomina anillo nulo, ya que {0} es un anillo con las operaciones estándares de la adición y la multiplicación. (es)
- In ring theory, a branch of mathematics, the zero ring or trivial ring is the unique ring (up to isomorphism) consisting of one element. (Less commonly, the term "zero ring" is used to refer to any rng of square zero, i.e., a rng in which xy = 0 for all x and y. This article refers to the one-element ring.) In the category of rings, the zero ring is the terminal object, whereas the ring of integers Z is the initial object. (en)
- 환론에서 자명환(自明環, trivial ring)은 하나의 원소만을 가지는 환으로, 이 경우 덧셈에 대한 항등원과 곱셈에 대한 항등원이 같다. 즉, 이다. (ko)
- 数学の分野である環論において、零環（英: the zero ring）または自明環 (trivial ring) は1つの元からなる（同型を除いて）唯一の環である。（あまり一般的ではないが、“零環 (zero ring)”という用語は任意の rng of square zero, すなわちすべての x と y に対して xy = 0 であるような rng を指すために使われることもある。この記事では1つの元からなる環の意味で使う。） 環の圏において、零環は終対象である。始対象は有理整数環 Z である。 (ja)
- 環論における積零環（せきれいかん、せきゼロかん、英: rng of square zero, 仏: pseudo-anneau de carré nul, 複積零の擬環）は、その任意の二元の積が零となるような擬環（非単位的環, rng）を言う。しばしば零環 (zero ring) などとも呼ばれる。 単位的な積零環は、ただ一つの元からなる零環のみである。特に、相異なる二元を含む積零環は、明らかに単位元を持たない。 任意のアーベル群は、ただ一つのやり方で、ただ一つの積零環構造を持たせることができる（これは加法的に記されたアーベル群 G が複零条件 G⋅G = {0} で定義される乗法を持つということである）。この零乗法が、擬環の満たすべき結合律および分配律を満たすことは機械的に確認できる。この積零環の、擬環としてのイデアルとは、加法群の部分群のことにほかならない。このことから、擬環 A が {0} および A 自身のみをイデアルとして持つならば、それは非自明な部分群を持たないアーベル群、すなわち素数位数の巡回群となることが従う。この性質は、擬環の極大イデアルを以下のように特徴付ける: 擬環の極大イデアルの特徴づけ可換擬環 A のイデアル I が極大であるための必要十分条件は、A の I による剰余擬環が、体となるか、または素数位数の巡回加法群上の積零環となることである。 (ja)
- Pierścień trywialny – pierścień określony na jednoelementowym zbiorze. (pl)
- Pierścień zerowy – pierścień, którego działanie multiplikatywne (mnożenie) daje zawsze w wyniku element neutralny działania addytywnego (zero). (pl)
- 在环论中，一个零环是一环（无乘单位元），其中任意两个元素的乘运算是0（即加运算单位元），也可以被称作带有零乘法的环。. （注：有些学者定义一个零环是一个单一的元素的环，即平凡环，这些学者要求有单位元，因此所有这种零环是无研究价值的，大陆教材都是这种定义）零环的另一个名字是，不要求有，零环理想也是零环，在这种情况下，它们被称为空理想。 定义的任何两个元素乘运算为0，任何阿贝尔群可以变成一个零环。这使证明任何阿贝尔群添加乘运算变成环更严格化了。 任何零环的加群的子群是一理想。因此，零环的加群若是素数阶循环群则一定是零单环。 (zh)
- Un pseudo-anneau de carré nul est un pseudo-anneau sur lequel la multiplication est nulle. Le seul pseudo-anneau de carré nul unitaire est l'anneau nul, l'anneau à un seul élément. Tout groupe abélien peut être muni d'une façon et d'une seule d'une structure de pseudo-anneau de carré nul, la multiplication nulle vérifiant systématiquement les conditions d'associativité et de distributivité requises d'un pseudo-anneau. Ses idéaux en tant que pseudo-anneau sont ses sous-groupes additifs. Il en découle que les seuls pseudo-anneaux A de carré nul sans idéal autres que {0} et A lui-même sont les groupes abéliens sans sous-groupes non triviaux, c'est-à-dire les groupes cycliques de cardinal premier. Cette propriété permet de montrer la caractérisation suivante des idéaux maximaux d'un pseudo-ann (fr)
- Een triviale ring is een ring die op een singleton, {r} is gedefinieerd. De ring bewerkingen (× en +) zijn triviaal: Deze ring is duidelijk commutatief. Het enige element is zowel het additieve en het multiplicatieve identiteitselement, dat wil zeggen, Een ring R is triviaal dan en slechts dan als 1 = 0, aangezien deze gelijkheid dit voor alle r impliceert, geldt binnen R Elke twee triviale ringen zijn isomorf, zodat men ook spreekt van de triviale ring. (nl)
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- حلقة منعدمة (ar)
- Anell trivial (ca)
- Nullring (de)
- Anillo trivial (es)
- Anneau nul (fr)
- Pseudo-anneau de carré nul (fr)
- 積零環 (ja)
- 零環 (ja)
- 자명환 (ko)
- Triviale ring (nl)
- Pierścień trywialny (pl)
- Pierścień zerowy (pl)
- Zero ring (en)
- 零环 (zh)
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