| dbo:abstract
|
- Die Simpliziale Homologie ist in der Algebraischen Topologie, einem Teilgebiet der Mathematik, eine Methode, die einem beliebigen Simplizialkomplex eine Folge abelscher Gruppen zuordnet. Anschaulich gesprochen zählt sie die Löcher unterschiedlicher Dimension des zugrunde liegenden Raumes. (de)
- En topología algebraica, la homología simplicial formaliza la idea del número de agujeros de una dimensión dada en un complejo simplicial. Esto generaliza la idea del número de componentes conexas (caso de dimensión 0). La homología simplicial surge como una manera de estudiar los espacios topológicos cuyos componentes estructurales son n-símplices, los análogos n-dimensionales de los triángulos. Ellos incluyen el punto (símplice de dimensión 0), la línea (símplice de dimensión 1), el triángulo (símplice de dimensión 2) y el tetraedro (símplice de dimensión 3). Por definición, un espacio es homeomórfico a un complejo simplicial (más precisamente la realización geométrica de un complejo simplicial abstracto) tal como un homeomorfismo está referido a una triangulación del espacio dado. Muchos espacios topológicos de interés pueden ser triangulados, incluyendo cada variedad suave, por Cairns y Whitehead. La homología simplicial está definida por un simple método para todo complejo simplicial abstracto. Es un hecho notable que la homología simplicial solo depende del espacio topológico asociado. Como resultado esta brinda una forma computable de distinguir un espacio de otro. La homología singular es una teoría relacionada comúnmente más usada por los matemáticos hoy en día. Está definida para todos los espacios topológicos, y concuerda con la homología simplicial para espacios que pueden ser triangulados. No obstante, ya que es posible computar la homología de un complejo simplicial automáticamente y eficientemente, es que la homología simplicial se ha vuelto importante para aplicaciones en tiempo real, como análisis de imágenes, imagen médica, y análisis de datos en general. (es)
- In algebraic topology, simplicial homology is the sequence of homology groups of a simplicial complex. It formalizes the idea of the number of holes of a given dimension in the complex. This generalizes the number of connected components (the case of dimension 0). Simplicial homology arose as a way to study topological spaces whose building blocks are n-simplices, the n-dimensional analogs of triangles. This includes a point (0-simplex), a line segment (1-simplex), a triangle (2-simplex) and a tetrahedron (3-simplex). By definition, such a space is homeomorphic to a simplicial complex (more precisely, the geometric realization of an abstract simplicial complex). Such a homeomorphism is referred to as a triangulation of the given space. Many topological spaces of interest can be triangulated, including every smooth manifold (Cairns and Whitehead). Simplicial homology is defined by a simple recipe for any abstract simplicial complex. It is a remarkable fact that simplicial homology only depends on the associated topological space. As a result, it gives a computable way to distinguish one space from another. (en)
- 代数位相幾何学において、単体ホモロジーとはある単体的複体のホモロジー群の系列のことである。これは、複体の特定の次元の穴の数の概念を形式化する。これにより、連結成分の数（次元0の場合がいわゆる連結成分の数）が一般化される。 単体的ホモロジーは、n-単体を構成要素として位相空間を研究する方法として生じた。n-単体とは三角形のn-次元アナログであり、点（0-単体）、線分（1-単体）、三角形（2-単体）、および四面体（3-単体）が含まれる。定義上、そのような空間は単体的複体に位相同型である（より正確には、集合の族に対応する抽象的単体的複体の幾何学的実現に位相同型である)。このような同相写像は、与えられた空間の三角化と呼ばれる。すべての滑らかな多様体を含む、対象として興味深い多くの位相空間は三角化可能である(Cairns and Whitehead).。 任意の抽象的単体的複体に対して、その単体的ホモロジーは、単純な計算方法によって定義される。単体的ホモロジーが関連する位相空間にのみ依存して定まることは注目に値する事実である。 この事実のお蔭で、あるスペースと別のスペースとを区別するための計算可能な方法が得られる。 (ja)
- В алгебричній топології симпліційна гомологія формалізує уявлення про кількість пустот даного виміру у симпліційному комплексі. У випадку розмірності 0 симпліційна гомологія визначає кількість компонент зв'язності у симпліційному комплексі. Симпліційна гомологія виникла як спосіб вивчення топологічних просторів , будівельними блоками яких є n-симплекси , n-вимірні аналоги трикутників. Сюди входять точка (0-симплекс), відрізок лінії (1-симплекс), трикутник (2-симплекс) і тетраедр (3-симплекс). За означенням, такий простір є гомеоморфним симпліційному комплексу (точніше, геометричній реалізації абстрактного симпліційного комплексу). Такий гомеоморфізм називають триангуляцією даного простору. Багато важливих топологічних просторів можна триангулювати, зокрема усі гладкі многовиди (Кернс та Уайтхед ). Важливим є факт, що симпліційна гомологія залежить лише від топологічного простору, а не конкретної триангуляції. Як результат це дає спосіб відрізнити один простір від іншого. Сингулярна гомологія — споріднена теорія, яка краще адаптується до теорії, а не до обчислення. Сингулярна гомологія визначена для всіх топологічних просторів і очевидно залежить лише від топології, а не будь-якої триангуляції. Сингулярна гомологія є рівною симпліційній для просторів, які можна триагулювати. Тим не менше, оскільки можна просто та ефективно обчислити симпліційну гомологію симпліційного комплексу, симпліційна гомологія стала важливою для застосувань, наприклад, у аналізі зображень та аналізі даних загалом. (uk)
- Симплексом размерности будем называть выпуклую оболочку точек , не лежащих в одном —мерном подпространстве. 0-мерный симплекс является точкой, 1-мерный отрезком, 2-мерный треугольником, 3-мерный тетраэдром и т. д. Симплекс, порождённый частью точек , называется гранью большого симплекса. Затем введём понятие симплициального компле́кса (с ударением на е). Компле́ксом называется множество симплексов, с каждым из которых в комплекс входят все его грани, и любые два симплекса либо вообще не имеют общей точки, либо пересекаются только по целой грани некоторой размерности, причем только по одной грани. Обычно требуют ещё, чтобы любая точка комплекса имела окрестность, пересекающуюся не более чем с конечным числом симплексов (т. н. локальная конечность). (ru)
|
| rdfs:comment
|
- Die Simpliziale Homologie ist in der Algebraischen Topologie, einem Teilgebiet der Mathematik, eine Methode, die einem beliebigen Simplizialkomplex eine Folge abelscher Gruppen zuordnet. Anschaulich gesprochen zählt sie die Löcher unterschiedlicher Dimension des zugrunde liegenden Raumes. (de)
- 代数位相幾何学において、単体ホモロジーとはある単体的複体のホモロジー群の系列のことである。これは、複体の特定の次元の穴の数の概念を形式化する。これにより、連結成分の数（次元0の場合がいわゆる連結成分の数）が一般化される。 単体的ホモロジーは、n-単体を構成要素として位相空間を研究する方法として生じた。n-単体とは三角形のn-次元アナログであり、点（0-単体）、線分（1-単体）、三角形（2-単体）、および四面体（3-単体）が含まれる。定義上、そのような空間は単体的複体に位相同型である（より正確には、集合の族に対応する抽象的単体的複体の幾何学的実現に位相同型である)。このような同相写像は、与えられた空間の三角化と呼ばれる。すべての滑らかな多様体を含む、対象として興味深い多くの位相空間は三角化可能である(Cairns and Whitehead).。 任意の抽象的単体的複体に対して、その単体的ホモロジーは、単純な計算方法によって定義される。単体的ホモロジーが関連する位相空間にのみ依存して定まることは注目に値する事実である。 この事実のお蔭で、あるスペースと別のスペースとを区別するための計算可能な方法が得られる。 (ja)
- En topología algebraica, la homología simplicial formaliza la idea del número de agujeros de una dimensión dada en un complejo simplicial. Esto generaliza la idea del número de componentes conexas (caso de dimensión 0). La homología simplicial está definida por un simple método para todo complejo simplicial abstracto. Es un hecho notable que la homología simplicial solo depende del espacio topológico asociado. Como resultado esta brinda una forma computable de distinguir un espacio de otro. (es)
- In algebraic topology, simplicial homology is the sequence of homology groups of a simplicial complex. It formalizes the idea of the number of holes of a given dimension in the complex. This generalizes the number of connected components (the case of dimension 0). Simplicial homology is defined by a simple recipe for any abstract simplicial complex. It is a remarkable fact that simplicial homology only depends on the associated topological space. As a result, it gives a computable way to distinguish one space from another. (en)
- Симплексом размерности будем называть выпуклую оболочку точек , не лежащих в одном —мерном подпространстве. 0-мерный симплекс является точкой, 1-мерный отрезком, 2-мерный треугольником, 3-мерный тетраэдром и т. д. Симплекс, порождённый частью точек , называется гранью большого симплекса. (ru)
- В алгебричній топології симпліційна гомологія формалізує уявлення про кількість пустот даного виміру у симпліційному комплексі. У випадку розмірності 0 симпліційна гомологія визначає кількість компонент зв'язності у симпліційному комплексі. Важливим є факт, що симпліційна гомологія залежить лише від топологічного простору, а не конкретної триангуляції. Як результат це дає спосіб відрізнити один простір від іншого. (uk)
|
