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- In abstract algebra, a medial magma or medial groupoid is a magma or groupoid (that is, a set with a binary operation) which satisfies the identity , or more simply for all x, y, u and v, using the convention that juxtaposition denotes the same operation but has higher precedence. This identity has been variously called medial, abelian, alternation, transposition, interchange, bi-commutative, bisymmetric, surcommutative, etc. Any commutative semigroup is a medial magma, and a medial magma has an identity element if and only if it is a commutative monoid. The "only if" direction is the Eckmann–Hilton argument. Another class of semigroups forming medial magmas are normal bands. Medial magmas need not be associative: for any nontrivial abelian group with operation + and integers m ≠ n, the new binary operation defined by yields a medial magma which in general is neither associative nor commutative. Using the categorical definition of product, for a magma M, one may define the Cartesian square magma M × M with the operation (x, y) ∙ (u, v) = (x ∙ u, y ∙ v) . The binary operation ∙ of M, considered as a mapping from M × M to M, maps (x, y) to x ∙ y, (u, v) to u ∙ v, and (x ∙ u, y ∙ v) to (x ∙ u) ∙ (y ∙ v) .Hence, a magma M is medial if and only if its binary operation is a magma homomorphism from M × M to M. This can easily be expressed in terms of a commutative diagram, and thus leads to the notion of a medial magma object in a category with a Cartesian product. (See the discussion in auto magma object.) If f and g are endomorphisms of a medial magma, then the mapping f∙g defined by pointwise multiplication is itself an endomorphism. It follows that the set End(M) of all endomorphisms of a medial magma M is itself a medial magma. (en)
- La medial en álgebra abstracta, un magma que satisface la identidad.
* (x . y) . (u . z) = (x . u) . (y . z) abr. xy.uz=xu.yz Su importancia viene del concepto de un objeto (auto) magma y la representación (reconstrucción) que origina. Por ejemplo, dos endomorfismos, digamos f y g, con la (extensión de la) operación usual entre funciones (i.e. (f*g)(x)= f(x).g(x)), da también un morfismo. Hay contraejemplos para la conversa, pero NO para el cuadrado cartesiano de la operación!. En particular, es la única ecuación con la propiedad. La identidad xy.uz=xu.yz ha sido llamada medial, abeliana, alternación, transposición, bi-comutativa, bisimétrica, sobrecomutativa, entrópica, etc. (ver Enlaces externos: Comentarios Históricos). (es)
- 抽象代数学における中可換マグマ（なかかかんマグマ、英: medial magma）あるいは中可換亜群 (medial groupoid) は、二項演算を備えた集合であって、以下の恒等式（中可換律） を満足するものをいう。ここで「文字の併置は、同じ演算を表すが、より優先度が高い」という規約を設ければ、同じ恒等式をより簡明に xy ⋅ uv = xu ⋅ yv と書くこともできる。 ここに、マグマ（亜群とも呼ばれる）は群を一般化する代数的構造である。上記の恒等式は、medial, abelian, alternation, transposition, interchange, bi-commutative, bisymmetric, surcommutative, など様々な呼ばれ方をする 任意の可換半群は中可換マグマであり、また中可換マグマが単位元を持つための必要十分条件はそれが可換モノイドを成すことである。中可換マグマの成す半群の別のクラスにがある。中可換マグマは必ずしも結合的でない。実際、任意の非自明なアーベル群と自然数 m ≠ n を用意して、アーベル群の群演算 x + y を少し改変した二項演算 x ⋅ y ≔ mx + ny を考えれば、一般には結合的でも可換でもない中可換マグマが得られる。 圏論的な仕方で直積を定めるとき、直平方マグマ M × M 上の演算を成分ごとの演算により (x, y) ∙ (u, v) = (x ∙ u, y ∙ v) と定義することができる。M 上の二項演算 ⋅ を写像 M × M → M と見れば、(x, y) ↦ x ∙ y, (u, v) ↦ u ∙ v および (x ∙ u, y ∙ v) ↦ (x ∙ u) ∙ (y ∙ v) が成り立つから、したがってマグマ M が中可換となるための必要十分条件を、その二項演算がマグマ準同型M × M → M となっていることと述べることができる。このことは可換図式を用いて容易に表示することができ、それによって圏論的直積を持つ圏の中可換マグマ対象の概念が導かれる。（の項も参照） 中可換マグマの自己準同型 f, g に対して、写像 f ⋅ g を点ごとの積 と定めると、それ自身が一つの自己準同型を与える。 (ja)
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- La medial en álgebra abstracta, un magma que satisface la identidad.
* (x . y) . (u . z) = (x . u) . (y . z) abr. xy.uz=xu.yz Su importancia viene del concepto de un objeto (auto) magma y la representación (reconstrucción) que origina. Por ejemplo, dos endomorfismos, digamos f y g, con la (extensión de la) operación usual entre funciones (i.e. (f*g)(x)= f(x).g(x)), da también un morfismo. Hay contraejemplos para la conversa, pero NO para el cuadrado cartesiano de la operación!. En particular, es la única ecuación con la propiedad. (es)
- In abstract algebra, a medial magma or medial groupoid is a magma or groupoid (that is, a set with a binary operation) which satisfies the identity , or more simply for all x, y, u and v, using the convention that juxtaposition denotes the same operation but has higher precedence. This identity has been variously called medial, abelian, alternation, transposition, interchange, bi-commutative, bisymmetric, surcommutative, etc. Using the categorical definition of product, for a magma M, one may define the Cartesian square magma M × M with the operation (x, y) ∙ (u, v) = (x ∙ u, y ∙ v) . (en)
- 抽象代数学における中可換マグマ（なかかかんマグマ、英: medial magma）あるいは中可換亜群 (medial groupoid) は、二項演算を備えた集合であって、以下の恒等式（中可換律） を満足するものをいう。ここで「文字の併置は、同じ演算を表すが、より優先度が高い」という規約を設ければ、同じ恒等式をより簡明に xy ⋅ uv = xu ⋅ yv と書くこともできる。 ここに、マグマ（亜群とも呼ばれる）は群を一般化する代数的構造である。上記の恒等式は、medial, abelian, alternation, transposition, interchange, bi-commutative, bisymmetric, surcommutative, など様々な呼ばれ方をする 任意の可換半群は中可換マグマであり、また中可換マグマが単位元を持つための必要十分条件はそれが可換モノイドを成すことである。中可換マグマの成す半群の別のクラスにがある。中可換マグマは必ずしも結合的でない。実際、任意の非自明なアーベル群と自然数 m ≠ n を用意して、アーベル群の群演算 x + y を少し改変した二項演算 x ⋅ y ≔ mx + ny を考えれば、一般には結合的でも可換でもない中可換マグマが得られる。 中可換マグマの自己準同型 f, g に対して、写像 f ⋅ g を点ごとの積 (ja)
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