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- Ein Ultraprodukt ist ein Konstrukt auf dem Gebiet der Modelltheorie, einem Teilgebiet der Mathematik. Die Zielsetzung der Konstruktion besteht darin, zu einem Modell (oder vielen Modellen) für ein gegebenes Axiomensystem ein weiteres zu erhalten, das ungewöhnliche, in der Sprache des Axiomensystems nicht formalisierbare Eigenschaften aufweist. Idee der Konstruktion ist, Relationen für Folgen durch eine Art von Mehrheitsentscheidung zu definieren. (de)
- En mathématiques, un ultraproduit est une construction basée sur un ultrafiltre utilisée principalement en algèbre abstraite et en théorie des modèles (une branche de la logique mathématique) ; elle permet par exemple d'obtenir des extensions des réels, les nombres hyperréels, ayant les mêmes propriétés élémentaires que ceux-ci. (fr)
- The ultraproduct is a mathematical construction that appears mainly in abstract algebra and mathematical logic, in particular in model theory and set theory. An ultraproduct is a quotient of the direct product of a family of structures. All factors need to have the same signature. The ultrapower is the special case of this construction in which all factors are equal. For example, ultrapowers can be used to construct new fields from given ones. The hyperreal numbers, an ultrapower of the real numbers, are a special case of this. Some striking applications of ultraproducts include very elegant proofs of the compactness theorem and the completeness theorem, Keisler's ultrapower theorem, which gives an algebraic characterization of the semantic notion of elementary equivalence, and the Robinson–Zakon presentation of the use of superstructures and their monomorphisms to construct nonstandard models of analysis, leading to the growth of the area of nonstandard analysis, which was pioneered (as an application of the compactness theorem) by Abraham Robinson. (en)
- 数理論理学のとくにモデル理論、あるいは普遍代数学における超積（ちょうせき、英: ultraproduct）は、同じの数学的構造からなる族の直積の適当な商構造をとる数学的構成を言う。任意の直積因子が等しい特別の場合として、超冪（ちょうべき、英: ultrapower）がある。 例えば、与えられた体から新たな体を構成するのに超冪が利用できる。超実数体はそのような方法で実数体の超冪として得られる。 超積の顕著な応用として、例えばコンパクト性定理および完全性定理の非常にエレガントな証明、の超冪定理（初等同値に関する意味論的概念の代数的特徴付けを与える）、そして解析学の超準モデルを構成するための超構造およびその間の単型射の使用に関するロビンソン–ザコン表示（アブラハム・ロビンソンが（コンパクト性定理の応用として）開拓した超準解析の分野の成長を導いた）などを挙げることができる。 (ja)
- 모형 이론에서 초곱(超곱, 영어: ultraproduct 울트라프로덕트[*])은 여러 구조들의 곱집합의 동치류 집합 위에 정의된 더 큰 구조이다. (ko)
- L'ultraprodotto è un costrutto matematico che appare principalmente in algebra astratta e in teoria dei modelli. Un ultraprodotto è un quoziente del prodotto diretto di una famiglia di . Tutte i fattori del prodotto devono avere la stessa segnatura (stesso insieme di simboli non-logici e stesso insieme di operazioni caratterizzanti le strutture algebriche). L'ultrapotenza è il caso particolare in cui i fattori del prodotto sono uguali. Alcune dimostrazioni del Teorema di compattezza e del Teorema di completezza sono applicazioni dell'ultraprodotto. Altrettanto il Teorema dell'ultrapotenza di Howard Jerome Keisler, caratterizzazione algebrica della nozione semantica dell'equivalenza elementare, e la presentazione di Robinson-Zakon dell'uso di superstrutture e del loro monomorfismo per costruire modelli non standard di analisi matematica. (it)
- Ultraprodukt – sposób budowania nowych modeli z danej rodziny modeli. Ultraprodukty są używane i badane w teorii modeli, teorii mnogości i algebrze. Szczególnym przypadkiem ultraproduktów są ultrapotęgi (w których używa się tylko jednego modelu wyjściowego). (pl)
- Inom matematiken, särskilt inom modell- och mängdteori, används ultraprodukter för att, givet en mängd av strukturer av viss signatur, konstruera en struktur sådan att varje första ordningens påstående är sant i A omm det är sant i "många" av strukturerna . (sv)
- 數學上，超積（英語：ultraproduct）是常見於抽象代數和數理邏輯（尤其模型論和集合論）的構造。超積是一族無窮多個结构之直積的商結構，不過要求該族結構具有相同的。超冪（英語：ultrapower）則是超積中各因子為同一個結構的特殊情況。 舉例，給定一個域，可以用超冪構造出新的域。超實數域便是實數域的超冪之一。 超積有一些出奇的應用。用超積，可以寫出紧致性定理與完備性定理的優雅證明。的超冪定理，從代數角度刻劃了「初等等價」此種語義概念。亞伯拉罕·魯濱遜和埃利亞斯·扎孔（Elias Zakon）用超結構及其單同態的表示來構造分析的非標準模型，使非标准分析理論得以發展。魯濱遜正是用緊致性定理開拓此分支。 (zh)
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- Ein Ultraprodukt ist ein Konstrukt auf dem Gebiet der Modelltheorie, einem Teilgebiet der Mathematik. Die Zielsetzung der Konstruktion besteht darin, zu einem Modell (oder vielen Modellen) für ein gegebenes Axiomensystem ein weiteres zu erhalten, das ungewöhnliche, in der Sprache des Axiomensystems nicht formalisierbare Eigenschaften aufweist. Idee der Konstruktion ist, Relationen für Folgen durch eine Art von Mehrheitsentscheidung zu definieren. (de)
- En mathématiques, un ultraproduit est une construction basée sur un ultrafiltre utilisée principalement en algèbre abstraite et en théorie des modèles (une branche de la logique mathématique) ; elle permet par exemple d'obtenir des extensions des réels, les nombres hyperréels, ayant les mêmes propriétés élémentaires que ceux-ci. (fr)
- 数理論理学のとくにモデル理論、あるいは普遍代数学における超積（ちょうせき、英: ultraproduct）は、同じの数学的構造からなる族の直積の適当な商構造をとる数学的構成を言う。任意の直積因子が等しい特別の場合として、超冪（ちょうべき、英: ultrapower）がある。 例えば、与えられた体から新たな体を構成するのに超冪が利用できる。超実数体はそのような方法で実数体の超冪として得られる。 超積の顕著な応用として、例えばコンパクト性定理および完全性定理の非常にエレガントな証明、の超冪定理（初等同値に関する意味論的概念の代数的特徴付けを与える）、そして解析学の超準モデルを構成するための超構造およびその間の単型射の使用に関するロビンソン–ザコン表示（アブラハム・ロビンソンが（コンパクト性定理の応用として）開拓した超準解析の分野の成長を導いた）などを挙げることができる。 (ja)
- 모형 이론에서 초곱(超곱, 영어: ultraproduct 울트라프로덕트[*])은 여러 구조들의 곱집합의 동치류 집합 위에 정의된 더 큰 구조이다. (ko)
- Ultraprodukt – sposób budowania nowych modeli z danej rodziny modeli. Ultraprodukty są używane i badane w teorii modeli, teorii mnogości i algebrze. Szczególnym przypadkiem ultraproduktów są ultrapotęgi (w których używa się tylko jednego modelu wyjściowego). (pl)
- Inom matematiken, särskilt inom modell- och mängdteori, används ultraprodukter för att, givet en mängd av strukturer av viss signatur, konstruera en struktur sådan att varje första ordningens påstående är sant i A omm det är sant i "många" av strukturerna . (sv)
- 數學上，超積（英語：ultraproduct）是常見於抽象代數和數理邏輯（尤其模型論和集合論）的構造。超積是一族無窮多個结构之直積的商結構，不過要求該族結構具有相同的。超冪（英語：ultrapower）則是超積中各因子為同一個結構的特殊情況。 舉例，給定一個域，可以用超冪構造出新的域。超實數域便是實數域的超冪之一。 超積有一些出奇的應用。用超積，可以寫出紧致性定理與完備性定理的優雅證明。的超冪定理，從代數角度刻劃了「初等等價」此種語義概念。亞伯拉罕·魯濱遜和埃利亞斯·扎孔（Elias Zakon）用超結構及其單同態的表示來構造分析的非標準模型，使非标准分析理論得以發展。魯濱遜正是用緊致性定理開拓此分支。 (zh)
- The ultraproduct is a mathematical construction that appears mainly in abstract algebra and mathematical logic, in particular in model theory and set theory. An ultraproduct is a quotient of the direct product of a family of structures. All factors need to have the same signature. The ultrapower is the special case of this construction in which all factors are equal. For example, ultrapowers can be used to construct new fields from given ones. The hyperreal numbers, an ultrapower of the real numbers, are a special case of this. (en)
- L'ultraprodotto è un costrutto matematico che appare principalmente in algebra astratta e in teoria dei modelli. Un ultraprodotto è un quoziente del prodotto diretto di una famiglia di . Tutte i fattori del prodotto devono avere la stessa segnatura (stesso insieme di simboli non-logici e stesso insieme di operazioni caratterizzanti le strutture algebriche). L'ultrapotenza è il caso particolare in cui i fattori del prodotto sono uguali. (it)
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- Ultraprodukt (de)
- Ultraproduit (fr)
- Ultraprodotto (it)
- 초곱 (ko)
- 超積 (ja)
- Ultraprodukt (pl)
- Ultraproduct (en)
- Ultraprodukt (sv)
- 超積 (zh)
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