| dbo:abstract
|
- El cálculo de Itô, extiende los métodos del cálculo a procesos estocásticos. Tiene aplicaciones muy importantes en matemáticas financieras y en ecuaciones diferenciales estocásticas. El concepto central es la integral estocástica de Itô que es una generalización estocástica de la integral de Riemann-Stieltjes en análisis. Los integrandos y los integradores son ahora procesos estocásticos: donde es un proceso cuadrado-integrable adaptado a la filtración generada por , que es un movimiento browniano o más generalmente, una semimartingala. El resultado de la integral es otro proceso estocástico. Concretamente, la integral desde hasta algún valor particular es una variable aleatoria, definida como el límite de una secuencia de variables aleatorias. El camino de un movimiento Browniano no satisface los requisitos necesarios del cálculo infinitesimal tradicional, ya que como el integrando es un proceso estocástico, la integral de Itô se define para lograr integrar una función que es no diferenciable en ningún punto y además tiene una variación infinita en cada intervalo de tiempo. (es)
- Itô calculus, named after Kiyosi Itô, extends the methods of calculus to stochastic processes such as Brownian motion (see Wiener process). It has important applications in mathematical finance and stochastic differential equations. The central concept is the Itô stochastic integral, a stochastic generalization of the Riemann–Stieltjes integral in analysis. The integrands and the integrators are now stochastic processes: where H is a locally square-integrable process adapted to the filtration generated by X , which is a Brownian motion or, more generally, a semimartingale. The result of the integration is then another stochastic process. Concretely, the integral from 0 to any particular t is a random variable, defined as a limit of a certain sequence of random variables. The paths of Brownian motion fail to satisfy the requirements to be able to apply the standard techniques of calculus. So with the integrand a stochastic process, the Itô stochastic integral amounts to an integral with respect to a function which is not differentiable at any point and has infinite variation over every time interval. The main insight is that the integral can be defined as long as the integrand H is adapted, which loosely speaking means that its value at time t can only depend on information available up until this time. Roughly speaking, one chooses a sequence of partitions of the interval from 0 to t and constructs Riemann sums. Every time we are computing a Riemann sum, we are using a particular instantiation of the integrator. It is crucial which point in each of the small intervals is used to compute the value of the function. The limit then is taken in probability as the mesh of the partition is going to zero. Numerous technical details have to be taken care of to show that this limit exists and is independent of the particular sequence of partitions. Typically, the left end of the interval is used. Important results of Itô calculus include the integration by parts formula and Itô's lemma, which is a change of variables formula. These differ from the formulas of standard calculus, due to quadratic variation terms. In mathematical finance, the described evaluation strategy of the integral is conceptualized as that we are first deciding what to do, then observing the change in the prices. The integrand is how much stock we hold, the integrator represents the movement of the prices, and the integral is how much money we have in total including what our stock is worth, at any given moment. The prices of stocks and other traded financial assets can be modeled by stochastic processes such as Brownian motion or, more often, geometric Brownian motion (see Black–Scholes). Then, the Itô stochastic integral represents the payoff of a continuous-time trading strategy consisting of holding an amount Ht of the stock at time t. In this situation, the condition that H is adapted corresponds to the necessary restriction that the trading strategy can only make use of the available information at any time. This prevents the possibility of unlimited gains through clairvoyance: buying the stock just before each uptick in the market and selling before each downtick. Similarly, the condition that H is adapted implies that the stochastic integral will not diverge when calculated as a limit of Riemann sums . (en)
- L'intégrale d'Itô, appelée en l'honneur du mathématicien Kiyoshi Itô, est un des outils fondamentaux du calcul stochastique. Elle a d'importantes applications en mathématique financière et pour la résolution des équations différentielles stochastiques. Elle généralise de façon stochastique l'intégrale de Stieltjes. L'intégrande H et l'intégrateur sont tous deux des processus stochastiques : où H est un processus carré-intégrable localement adapté au filtre (au sens probabiliste) généré par X, qui est un mouvement brownien ou, de façon plus générale une semi-martingale. Le résultat de l'intégration, Y, est aussi un processus stochastique. (fr)
- 확률 과정 이론에서, 이토 적분([伊藤]積分, 영어: Itō integral)은 어떤 확률 과정의 다른 확률 과정(보통 위너 확률 과정)에 대한 적분 연산이다. 금융공학에서 블랙-숄즈 방정식과 같은 주요한 이론을 이끌어내는 도구로 쓰인다. (ko)
- Исчисление Ито — математическая теория, обобщающая методы математического анализа для применения к случайным процессам, таким как броуновское движение (см. также винеровский процесс). Названа в честь создателя, японского математика Киёси Ито. Часто применяется в финансовой математике и теории стохастических дифференциальных уравнений. Центральным понятием этой теории является интеграл Ито: где — процесс, локально интегрируемый с квадратом и адаптированный под фильтрацию, порождённую процессом , который, в свою очередь, является броуновским движением или, в более общей формулировке, полумартингалом. Можно показать, что к траекториям броуновского движения неприменимы стандартные методы интегрального исчисления. В частности, броуновское движение не является дифференцируемой функцией ни в одной точке траектории и имеет бесконечную вариацию по любому временному интервалу. Таким образом, интеграл Ито не может быть определен в смысле интеграла Римана — Стилтьеса. Однако, интеграл Ито можно определить корректно, если подынтегральная функция является адаптированным процессом, то есть её значение в момент времени зависит только от информации, доступной до этого момента времени. Поведение стоимости акций и других финансовых активов можно промоделировать такими стохастическими процессами, как броуновское движение или более часто применяющееся геометрическое броуновское движение (см. также модель Блэка — Шоулза). В этом случае стохастический интеграл Ито представляет собой прибыль от непрерывной во времени рыночной стратегии, в которой в момент времени у участника рынка имеется ценных бумаг. В такой ситуации условие адаптированности процесса соответствует необходимому ограничению модели, заключающемуся в том, что рыночную стратегию в каждый момент времени можно основывать только на имеющейся в данный момент информации. Это условие предотвращает возможность поступления неограниченной прибыли посредством очень частой торговли, покупки акций перед каждым подъёмом стоимости и их продажи перед каждым падением. Более того, условие адаптированности подынтегрального процесса обеспечивает корректность определения стохастического интеграла как предела римановых сумм. Примеры важных результатов теории Ито — формула интегрирования по частям и формула Ито (формула замены переменной в интеграле). Эти формулы отличаются от классических формул анализа наличием слагаемых, соответствующих квадратичной вариации. (ru)
- En Itōprocess är en stokastisk process, , vars element kan framställas som en summa av en 'vanlig integral' och en : En sådan framställning kallas för en stokastisk differentialekvation, och den brukar skrivas mer kortfattat på följande sätt: De stokastiska processerna och skall vara sådana att integralerna ovan existerar, vilket de gör om Vidare skall processernas värden vid varje tidpunkt endast bero på de tidigare värden som Wienerprocessen W antagit; värdena och skall vara funktioner av värdena , där tiderna u ligger före tidpunkten s: Man säger att processerna a och b är anpassade till den som Wienerprocessen genererar: Processen är uppkallad efter den japanske matematikern Kiyoshi Itō. (sv)
- O cálculo de Itō, que recebe este nome em homenagem ao matemático japonês Kiyoshi Itō, estende os métodos do cálculo aos processos estocásticos, como o movimento browniano. Tem importantes aplicações em matemática financeira e equações diferenciais estocásticas. O conceito central é a integral estocástica de Itō, uma generalização estocástica da integral de Riemann-Stieltjes em análise. Os integrandos e os integradores são agora processos estocásticos: em que é um processo localmente quadrado-integrável adaptado à filtração gerada por , que é um movimento browniano ou, de forma mais generalizada, um semimartingale. O resultado da integração é então outro processo estocástico. Concretamente, a integral de 0 a qualquer particular é uma variável aleatória, definida como um limite de uma certa sequência de variáveis aleatórias. Os caminhos do movimento browniano falham em satisfazer os requisitos para que se apliquem as técnicas padrão do cálculo. Sendo o integrando um processo estocástico, a integral estocástica de Itō equivale a uma integral em relação a uma função que não é diferenciável em nenhum ponto e tem variação infinita sobre qualquer intervalo de tempo. O principal insight é que a integral pode ser definida enquanto o integrando for adaptado, o que quer dizer que seu valor no tempo pode depender apenas da informação disponível até este tempo. Grosso modo, é escolhida uma sequência de partições do intervalo de 0 a e são construídas somas de Riemann. Toda vez que computamos uma soma de Riemann usamos uma instanciação particular do integrador. O ponto em cada um dos pequenos intervalos usado para computar o valor da função é crucial. O limite então é tomado em probabilidade conforme a norma da partição vai a zero. Deve-se tomar cuidado com numerosos detalhes técnicos para mostrar que o limite existe e independe da sequência particular de partições. Tipicamente, o fim à esquerda do intervalo é usado. Importantes resultados do cálculo de Itō incluem a fórmula da integração por partes e o lema de Itō, que é uma fórmula de mudança de variáveis. Estas diferem das fórmulas do cálculo padrão devido aos termos de variação quadrática. Em matemática financeira, a estratégia de avaliação da integral descrita é conceituada como se primeiramente decidíssemos o que fazer e, em seguida, observássemos a mudança nos preços. O integrando representa quantas ações temos, o integrador representa o movimento dos preços e a integral representa quanto dinheiro temos ao total, incluindo quanto valem nossas ações a qualquer dado momento. Os preços das ações e outros ativos financeiros comercializados podem ser modelados por processos estocásticos como o movimento browniano e, mais frequentemente, o movimento browniano geométrico, como no modelo Black-Scholes. Então, a integral estocástica de Itō representa a recompensa de uma estratégia de comercialização de tempo contínuo que consiste em manter um montante de ações no tempo . Nesta situação, a condição de que seja adaptado corresponde à restrição necessária de que a estratégia de comercialização pode fazer uso apenas das informações disponíveis até um dado momento. Isto impede a possibilidade de ganhos ilimitados por meio de negociação de alta frequência, que consiste em comprar ações antes de cada pequeno aumento no mercado e vender antes de cada pequena queda. Semelhantemente, a condição de que seja adaptado implica que a integral estocástica não divergirá quando calculada como o limite de somas de Riemann. (pt)
- 伊藤微积分（英語：Itō calculus）得名自日本數學家伊藤清，是將微積分的概念擴展到隨機過程中，像布朗运动（維納過程）就可以用伊藤微积分進行分析。主要應用在金融數學及隨機微分方程中。伊藤微积分的中心概念是伊藤积分，是將傳統的黎曼－斯蒂爾傑斯積分延伸到隨機過程中，隨機過程一方面是一個隨機變數，而且也是一個不可微分的函數。 藉由伊藤积分，可以將一個隨機過程（被积分函数）對另一個隨機過程（積分變數）進行積分。積分變數一般會布朗运动。從到的積分結果是一個隨機變數。此隨機變數定義為一特定隨機變數序列的極限（有許多等效的方式可建構上述的定義）。 伊藤积分是对半鞅X以及随机过程H的积分 这里X是布朗运动，或者更广义地，是一个半鞅，H是一个适配于由X生成的筛选的，本地平方可积分的过程（，Chapter IV）。布朗运动的路径无法满足应用于微积分标准技术的需求。特别地，其在任意点不可微，并且在每一个时间间隔都有无限变差。其结果是，无法用普通的方法定义积分（参考黎曼－斯蒂尔杰斯积分）。主要的创新是只要调配被积函数，就可以定义一个积分，不严格的讲，即t时刻它的值仅仅依靠此时刻之前的可用信息。 伊藤过程的重要结果包括分部積分公式和伊藤引理，即变量公式的变形。这些由于二次方差项，都与标准微积分公式不同， 股票价格和其他可交易资产的价格可以通过随机过程进行建模，例如布朗运动，或者，更经常的，几何布朗运动（参见布莱克-舒尔斯模型）。然后，伊藤随机积分代表，在时间t持有一定数量Ht的股票，对其进行连续交易的回报。这种情况下，调配H就相应于，在任何时候只使用可用信息的交易策略限制。这也阻止了通过高频交易获得无限收益的可能性：市场中每个上涨之前买入股票，每个下跌之前卖出股票。相似地，调配H的条件暗示，当作为黎曼和极限进行计算的时候，随机积分不会收敛（，Chapter IV）。 (zh)
- Числення Іто — математична теорія, що описує методи маніпулювання з випадковими процесами, такими як броунівський рух (або вінерівський процес). Названа на честь творця, японського математика . Часто застосовується в фінансовій математиці і теорії стохастичних диференціальних рівнянь. Центральним поняттям цієї теорії є інтеграл Іто де — броунівський рух або, в загальнішому формулюванні, напівмартингал.Можна показати, що шлях інтегрування для броунівського руху не можна описати стандартними техніками інтегрального числення. Зокрема, броунівський рух не є інтегрованою функцією в кожній точці шляху і має нескінченну варіацію на будь-якому часовому інтервалі. Таким чином, інтеграл Іто не може бути визначений у сенсі . Проте, інтеграл Іто можна визначити строго, якщо помітити, що підінтегральна функція є адитивним процесом; це означає, що залежність від часу його середнього значення визначається поведінкою тільки до моменту . (uk)
|
| rdfs:comment
|
- 확률 과정 이론에서, 이토 적분([伊藤]積分, 영어: Itō integral)은 어떤 확률 과정의 다른 확률 과정(보통 위너 확률 과정)에 대한 적분 연산이다. 금융공학에서 블랙-숄즈 방정식과 같은 주요한 이론을 이끌어내는 도구로 쓰인다. (ko)
- El cálculo de Itô, extiende los métodos del cálculo a procesos estocásticos. Tiene aplicaciones muy importantes en matemáticas financieras y en ecuaciones diferenciales estocásticas. El concepto central es la integral estocástica de Itô que es una generalización estocástica de la integral de Riemann-Stieltjes en análisis. Los integrandos y los integradores son ahora procesos estocásticos: (es)
- Itô calculus, named after Kiyosi Itô, extends the methods of calculus to stochastic processes such as Brownian motion (see Wiener process). It has important applications in mathematical finance and stochastic differential equations. The central concept is the Itô stochastic integral, a stochastic generalization of the Riemann–Stieltjes integral in analysis. The integrands and the integrators are now stochastic processes: (en)
- L'intégrale d'Itô, appelée en l'honneur du mathématicien Kiyoshi Itô, est un des outils fondamentaux du calcul stochastique. Elle a d'importantes applications en mathématique financière et pour la résolution des équations différentielles stochastiques. Elle généralise de façon stochastique l'intégrale de Stieltjes. L'intégrande H et l'intégrateur sont tous deux des processus stochastiques : (fr)
- O cálculo de Itō, que recebe este nome em homenagem ao matemático japonês Kiyoshi Itō, estende os métodos do cálculo aos processos estocásticos, como o movimento browniano. Tem importantes aplicações em matemática financeira e equações diferenciais estocásticas. O conceito central é a integral estocástica de Itō, uma generalização estocástica da integral de Riemann-Stieltjes em análise. Os integrandos e os integradores são agora processos estocásticos: (pt)
- En Itōprocess är en stokastisk process, , vars element kan framställas som en summa av en 'vanlig integral' och en : En sådan framställning kallas för en stokastisk differentialekvation, och den brukar skrivas mer kortfattat på följande sätt: De stokastiska processerna och skall vara sådana att integralerna ovan existerar, vilket de gör om Vidare skall processernas värden vid varje tidpunkt endast bero på de tidigare värden som Wienerprocessen W antagit; värdena och skall vara funktioner av värdena , där tiderna u ligger före tidpunkten s: (sv)
- Исчисление Ито — математическая теория, обобщающая методы математического анализа для применения к случайным процессам, таким как броуновское движение (см. также винеровский процесс). Названа в честь создателя, японского математика Киёси Ито. Часто применяется в финансовой математике и теории стохастических дифференциальных уравнений. Центральным понятием этой теории является интеграл Ито: (ru)
- 伊藤微积分（英語：Itō calculus）得名自日本數學家伊藤清，是將微積分的概念擴展到隨機過程中，像布朗运动（維納過程）就可以用伊藤微积分進行分析。主要應用在金融數學及隨機微分方程中。伊藤微积分的中心概念是伊藤积分，是將傳統的黎曼－斯蒂爾傑斯積分延伸到隨機過程中，隨機過程一方面是一個隨機變數，而且也是一個不可微分的函數。 藉由伊藤积分，可以將一個隨機過程（被积分函数）對另一個隨機過程（積分變數）進行積分。積分變數一般會布朗运动。從到的積分結果是一個隨機變數。此隨機變數定義為一特定隨機變數序列的極限（有許多等效的方式可建構上述的定義）。 伊藤积分是对半鞅X以及随机过程H的积分 这里X是布朗运动，或者更广义地，是一个半鞅，H是一个适配于由X生成的筛选的，本地平方可积分的过程（，Chapter IV）。布朗运动的路径无法满足应用于微积分标准技术的需求。特别地，其在任意点不可微，并且在每一个时间间隔都有无限变差。其结果是，无法用普通的方法定义积分（参考黎曼－斯蒂尔杰斯积分）。主要的创新是只要调配被积函数，就可以定义一个积分，不严格的讲，即t时刻它的值仅仅依靠此时刻之前的可用信息。 伊藤过程的重要结果包括分部積分公式和伊藤引理，即变量公式的变形。这些由于二次方差项，都与标准微积分公式不同， (zh)
- Числення Іто — математична теорія, що описує методи маніпулювання з випадковими процесами, такими як броунівський рух (або вінерівський процес). Названа на честь творця, японського математика . Часто застосовується в фінансовій математиці і теорії стохастичних диференціальних рівнянь. Центральним поняттям цієї теорії є інтеграл Іто (uk)
|
