| dbo:abstract
|
- Das henselsche Lemma (nach Kurt Hensel) ist eine Aussage aus dem mathematischen Teilgebiet der Algebra. Es wurde schon 1846 vor Hensel von Theodor Schönemann bewiesen. Das henselsche Lemma ist (im Wesentlichen) das Newtonverfahren angewendet auf . (de)
- In mathematics, Hensel's lemma, also known as Hensel's lifting lemma, named after Kurt Hensel, is a result in modular arithmetic, stating that if a univariate polynomial has a simple root modulo a prime number p, then this root can be lifted to a unique root modulo any higher power of p. More generally, if a polynomial factors modulo p into two coprime polynomials, this factorization can be lifted to a factorization modulo any higher power of p (the case of roots corresponds to the case of degree 1 for one of the factors). By passing to the "limit" (in fact this is an inverse limit) when the power of p tends to infinity, it follows that a root or a factorization modulo p can be lifted to a root or a factorization over the p-adic integers. These results have been widely generalized, under the same name, to the case of polynomials over an arbitrary commutative ring, where p is replaced by an ideal, and "coprime polynomials" means "polynomials that generate an ideal containing 1". Hensel's lemma is fundamental in p-adic analysis, a branch of analytic number theory. The proof of Hensel's lemma is constructive, and leads to an efficient algorithm for Hensel lifting, which is fundamental for factoring polynomials, and gives the most efficient known algorithm for exact linear algebra over the rational numbers. (en)
- Dalam matematika, lema Hensel merupakan lema yang dinamai dari Kurt Hensel. Lema ini merupakan hasil dari aritmatika modular yang menyatakan bahwa jika memiliki solusi akar-akar modulo bilangan prima p, maka akar-akarnya dapat terangkat dengan modulo akar tunggal dari setiap pangkat p yang lebih tinggi. Lebih umumnya, jika polinomial memfaktor modulo p menjadi dua polinomial koprima, maka faktorisasi tersebut dapat diangkat menjadi sebuah modulo faktorisasi dari setiap setiap pangkat p yang lebih tinggi. Ini merupakan kasus dari akar yang berkorespondensi dengan kasus polinomial berderajat 1 untuk salah satu faktornya. (in)
- En mathématiques, le lemme de Hensel, est un résultat permettant de déduire l'existence d'une racine d'un polynôme à partir de l'existence d'une solution approchée. Il doit son nom au mathématicien du début du XXe siècle Kurt Hensel. Sa démonstration est analogue à celle de la méthode de Newton. La notion d'anneau hensélien regroupe les anneaux dans lesquels le lemme de Hensel s'applique. Les exemples les plus usuels sont ℤp (l'anneau des entiers p-adiques, pour p un nombre premier) et k[[t]] (l'anneau des séries formelles sur un corps k) ou plus généralement, les anneaux de valuation discrète complets. (fr)
- 数学のヘンゼルの補題（ヘンゼルのほだい、英: Hensel's lemma）とは、1変数多項式が素数 p を法としてを持つならば、その根は p の任意の冪乗を法とする根に一意的に持ち上げられるという、合同算術における補題である。この補題は、多項式が法 p で2つのに因数分解できるならば、その因数分解は p の任意の冪乗を法とする因数分解に持ち上げることができるという補題に一般化できる。因数分解に現れる多項式の次数が1の場合が根の場合に相当する。ヘンゼルの持ち上げ補題（英: Hensel's lifting lemma）とも呼ばれる。名称はクルト・ヘンゼルに因む。 p の冪指数を無限に大きくしていったときの（射影極限の意味での）極限を取ることにより、法 p での根（または因数分解）を p 進整数上での根（または因数分解）に持ち上げることができる。 この補題は、任意の可換環を係数とする多項式に対して、p をイデアル、「互いに素な2つの多項式」を「2つの多項式が生成するイデアルが1を含む」に置き換えることにより一般化できる。一般化された補題も同じ名前で呼ばれる。 ヘンゼルの補題は、解析的整数論の一分野である p 進解析学の基礎である。 ヘンゼルの補題の証明はであり、証明からヘンゼル持ち上げの効率的なアルゴリズムが得られる。これは多項式の因数分解のアルゴリズムの基礎である。また有理数体上の線型代数学についての最も効率の良いアルゴリズムが得られる。 ヘンゼルの補題は、ヘンゼルよりも早く1846年にによって証明されていた。また、「存在」についての主張だけならシェーネマンよりも早くカール・フリードリヒ・ガウスによっても知られていた。 (ja)
- Lemat Hensela – lemat z teorii liczb, sformułowany przez Kurta Hensela. Pozwala na znajdowanie rozwiązania równania modulo potęga liczby pierwszej gdy znane jest rozwiązanie modulo (pl)
- Лемма Гензеля — результат в модульной арифметике, утверждающий, что если алгебраическое уравнение имеет простой корень по модулю простого числа , то данному корню однозначно соответствует корень того же уравнения, взятого по модулю , который может быть найден итеративным подъёмом по степеням . Названа в честь Курта Гензеля. В более общем случае, лемма Гензеля также используется как обоснование для аналогов метода Ньютона в полных коммутативных кольцах (в частности, в p-адических числах). (ru)
- 亨泽尔引理是数学中模算术的一個结论。亨泽尔引理说明，如果一个模p（p是给定的质数）的多项式方程有一个单根，则可以通过这个根求出该方程在模p的更高次方时的根。在完备交换环（包括p进数）中，亨泽尔引理被看作是类似于牛顿法的渐进求根方法。由于p进数分析在某些方面比实分析更加简单，亨泽尔引理可以加强为多项式方程有根的判定方法。 (zh)
- Нехай — це многочлен з цілими (або p-адичними цілими) коефіцієнтами, нехай m, k це додатні цілі такі, що m ≤ k. Якщо r є цілим таким, що і тоді існує ціле s таке, що і І також, таке s єдине за модулем pk+m і його можна обчислити як таке ціле де це ціле, що задовольняє Зауважимо, що так, що дотримується умова Додатково зазначимо, що якщо , тоді можливо мати 0, 1 чи декілька s. (uk)
|
| rdfs:comment
|
- Das henselsche Lemma (nach Kurt Hensel) ist eine Aussage aus dem mathematischen Teilgebiet der Algebra. Es wurde schon 1846 vor Hensel von Theodor Schönemann bewiesen. Das henselsche Lemma ist (im Wesentlichen) das Newtonverfahren angewendet auf . (de)
- Dalam matematika, lema Hensel merupakan lema yang dinamai dari Kurt Hensel. Lema ini merupakan hasil dari aritmatika modular yang menyatakan bahwa jika memiliki solusi akar-akar modulo bilangan prima p, maka akar-akarnya dapat terangkat dengan modulo akar tunggal dari setiap pangkat p yang lebih tinggi. Lebih umumnya, jika polinomial memfaktor modulo p menjadi dua polinomial koprima, maka faktorisasi tersebut dapat diangkat menjadi sebuah modulo faktorisasi dari setiap setiap pangkat p yang lebih tinggi. Ini merupakan kasus dari akar yang berkorespondensi dengan kasus polinomial berderajat 1 untuk salah satu faktornya. (in)
- Lemat Hensela – lemat z teorii liczb, sformułowany przez Kurta Hensela. Pozwala na znajdowanie rozwiązania równania modulo potęga liczby pierwszej gdy znane jest rozwiązanie modulo (pl)
- Лемма Гензеля — результат в модульной арифметике, утверждающий, что если алгебраическое уравнение имеет простой корень по модулю простого числа , то данному корню однозначно соответствует корень того же уравнения, взятого по модулю , который может быть найден итеративным подъёмом по степеням . Названа в честь Курта Гензеля. В более общем случае, лемма Гензеля также используется как обоснование для аналогов метода Ньютона в полных коммутативных кольцах (в частности, в p-адических числах). (ru)
- 亨泽尔引理是数学中模算术的一個结论。亨泽尔引理说明，如果一个模p（p是给定的质数）的多项式方程有一个单根，则可以通过这个根求出该方程在模p的更高次方时的根。在完备交换环（包括p进数）中，亨泽尔引理被看作是类似于牛顿法的渐进求根方法。由于p进数分析在某些方面比实分析更加简单，亨泽尔引理可以加强为多项式方程有根的判定方法。 (zh)
- Нехай — це многочлен з цілими (або p-адичними цілими) коефіцієнтами, нехай m, k це додатні цілі такі, що m ≤ k. Якщо r є цілим таким, що і тоді існує ціле s таке, що і І також, таке s єдине за модулем pk+m і його можна обчислити як таке ціле де це ціле, що задовольняє Зауважимо, що так, що дотримується умова Додатково зазначимо, що якщо , тоді можливо мати 0, 1 чи декілька s. (uk)
- In mathematics, Hensel's lemma, also known as Hensel's lifting lemma, named after Kurt Hensel, is a result in modular arithmetic, stating that if a univariate polynomial has a simple root modulo a prime number p, then this root can be lifted to a unique root modulo any higher power of p. More generally, if a polynomial factors modulo p into two coprime polynomials, this factorization can be lifted to a factorization modulo any higher power of p (the case of roots corresponds to the case of degree 1 for one of the factors). (en)
- En mathématiques, le lemme de Hensel, est un résultat permettant de déduire l'existence d'une racine d'un polynôme à partir de l'existence d'une solution approchée. Il doit son nom au mathématicien du début du XXe siècle Kurt Hensel. Sa démonstration est analogue à celle de la méthode de Newton. (fr)
- 数学のヘンゼルの補題（ヘンゼルのほだい、英: Hensel's lemma）とは、1変数多項式が素数 p を法としてを持つならば、その根は p の任意の冪乗を法とする根に一意的に持ち上げられるという、合同算術における補題である。この補題は、多項式が法 p で2つのに因数分解できるならば、その因数分解は p の任意の冪乗を法とする因数分解に持ち上げることができるという補題に一般化できる。因数分解に現れる多項式の次数が1の場合が根の場合に相当する。ヘンゼルの持ち上げ補題（英: Hensel's lifting lemma）とも呼ばれる。名称はクルト・ヘンゼルに因む。 p の冪指数を無限に大きくしていったときの（射影極限の意味での）極限を取ることにより、法 p での根（または因数分解）を p 進整数上での根（または因数分解）に持ち上げることができる。 この補題は、任意の可換環を係数とする多項式に対して、p をイデアル、「互いに素な2つの多項式」を「2つの多項式が生成するイデアルが1を含む」に置き換えることにより一般化できる。一般化された補題も同じ名前で呼ばれる。 ヘンゼルの補題は、解析的整数論の一分野である p 進解析学の基礎である。 (ja)
|
