| dbo:abstract
|
- En la teoria dels conjunts, es diu que dos conjunts E i F són equipotents, i es nota E ≈ F, si existeix una bijecció . Per definició, dos conjunts (finits o no) tenen la mateixa cardinalitat (el mateix nombre d'elements) si són equipotents. (ca)
- In mathematics, two sets or classes A and B are equinumerous if there exists a one-to-one correspondence (or bijection) between them, that is, if there exists a function from A to B such that for every element y of B, there is exactly one element x of A with f(x) = y. Equinumerous sets are said to have the same cardinality (number of elements). The study of cardinality is often called equinumerosity (equalness-of-number). The terms equipollence (equalness-of-strength) and equipotence (equalness-of-power) are sometimes used instead. Equinumerosity has the characteristic properties of an equivalence relation. The statement that two sets A and B are equinumerous is usually denoted or , or The definition of equinumerosity using bijections can be applied to both finite and infinite sets, and allows one to state whether two sets have the same size even if they are infinite. Georg Cantor, the inventor of set theory, showed in 1874 that there is more than one kind of infinity, specifically that the collection of all natural numbers and the collection of all real numbers, while both infinite, are not equinumerous (see Cantor's first uncountability proof). In his controversial 1878 paper, Cantor explicitly defined the notion of "power" of sets and used it to prove that the set of all natural numbers and the set of all rational numbers are equinumerous (an example where a proper subset of an infinite set is equinumerous to the original set), and that the Cartesian product of even a countably infinite number of copies of the real numbers is equinumerous to a single copy of the real numbers. Cantor's theorem from 1891 implies that no set is equinumerous to its own power set (the set of all its subsets). This allows the definition of greater and greater infinite sets starting from a single infinite set. If the axiom of choice holds, then the cardinal number of a set may be regarded as the least ordinal number of that cardinality (see initial ordinal). Otherwise, it may be regarded (by Scott's trick) as the set of sets of minimal rank having that cardinality. The statement that any two sets are either equinumerous or one has a smaller cardinality than the other is equivalent to the axiom of choice. (en)
- Bi multzo, A eta B, ekipotenteak izango dira baldin eta bien arteko bijekzio bat existitzen bada, hau da, gutxienez A eta B erlazionatzen dituen funtzio bat existitzen bada aldi berean injetktibo eta supraiektiboa dena. Multzo ekipotenteak kardinal (elementu kopuru) berdina izango dute. A eta B ekipotenteak direla hurrengo eran adierazten da: edo edo (eu)
- En matemáticas, dos conjuntos A y B son equipotentes o equinumerosos si existe una biyección entre ellos, es decir, si existe una función de A en B tal que para cada elemento y de B, existe exactamente un elemento x de A tal que f(x)=y. Los conjuntos equipotentes tienen el mismo cardinal (número de elementos). El estudio de la cardinalidad suele denominarse equipotencia de conjuntos o equinumerosidad. La expresión A y B son conjuntos equipotentes se denota: o , o . La definición como biyección de equipotencia puede aplicarse para conjuntos tanto finitos como infinitos y permite determinar si dos conjuntos son del mismo tamaño incluso si son infinitos. Georg Cantor, el fundador de la teoría de conjuntos, demostró en 1874 que existen más de un tipo de infinito, concretamente que la colección de los números naturales y la colección de los números reales, a pesar de ser ambos infinitos, no son equipotentes (véase el ). En un controvertido escrito de 1878, Cantor define el término de "potencia" de un conjunto para usarlo y probar que los conjuntos de los números racionales y los números naturales son equipotentes (un ejemplo de que un subconjunto propio de un conjunto infinito es equipotente al conjunto original), y que el producto cartesiano de un número infinito numerable de copias de los números reales es equipotente a una sola copia de los números reales. El Teorema de Cantor de 1891 establece que ningún conjunto es equinumeroso a su conjunto potencia (conjunto de todos sus subconjuntos). Esto permite definir infinitos cada vez mayores comenzando por un solo conjunto infinito. Si se mantiene el axioma de elección, entonces el número cardinal de un conjunto puede considerarse como el menor número ordinal de ese cardinalidad (véase ). De otro modo, puede considerarse (por la ) como un conjunto de grado mínimo con ese cardinal. La proposición "dos conjuntos son o bien equipotentes, o bien uno tiene menor cardinal que el otro" es equivalente al axioma de elección. (es)
- En mathématiques, l’équipotence est une relation entre ensembles, selon laquelle deux ensembles sont équivalents lorsqu'il existe une bijection entre eux. Cette notion permet de définir la cardinalité, c'est-à-dire le nombre d'éléments d'un ensemble, qu'il soit fini ou infini. La subpotence est une relation plus faible, satisfaite lorsqu'il existe une injection entre deux ensembles. Elle permet de définir une comparaison de taille entre les ensembles, sans présupposer la construction des nombres cardinaux. (fr)
- 数学において二つの集合 A, B の濃度が等しいとは、それらの間の一対一対応（全単射）が存在すること、すなわち A から B への写像 f: A → B が存在して B の各元 y に対してちょうど一つづつの x ∈ A が f(x) = yを満たすときに言う。濃度が等しいことは、それら集合に属する元の数が同じであることと解釈することができる。このように集合の濃度が等しいとき、それら集合は同数 (equinumerous), 対等もしくは同等 (equipollent) あるいは等濃 (equipotent, equicardinality) であるなどと言う。 「濃度が等しい」という関係は同値関係の三つの公理（反射律・対称律・推移律）を満足する。記号では二つの集合 A, B が等濃であることを などで表す。 全単射を用いたこの等濃性の定義は、有限集合にも無限集合にも適用できるから、これにより無限集合の場合であっても「同じ数」かどうかを議論することができることになる。集合論の祖ゲオルク・カントールは1874年に、無限が一種類ではないこと、特に自然数全体の集合と実数全体の集合は（ともに無限でありながらも）濃度が異なることを示した（も参照）。物議を醸した1878年の論文で、カントールは集合の「濃度」("power") の概念を明示的に定義して、それを用いて自然数全体の成す集合と有理数全体の成す集合が等濃であること（これは無限集合の真部分集合がもとの集合と等濃になるという状況の一つの例を与えている）や、実数全体の成す集合のいくつか（可算無限個でもよい）のコピーの直積集合が実数全体の成す集合ひとつと等濃であることなどを示した。 1891年以降現れたカントールの定理によれば、任意の集合は自身の冪集合（部分集合全体の成す集合）に等濃となることはない。ゆえに一つ無限集合が与えられれば、それを手掛かりにより大きな無限濃度を持つ集合を次々に作り出すことができる。 選択公理が成り立つならば、各集合の基数 (cardinal number) はその集合と同じ濃度を持つ最小の順序数として定義することができる（始数の項を参照）。選択公理がない場合でも、により同じ濃度を持つ最小ランク (minimal ordinal rank) の集合全体の成す集合と見なせる。 任意の二つの集合の濃度が比較可能（互いに等濃であるかさもなくば一方が他方よりも濃度が小さい）であるという条件は、選択公理と同値である。 (ja)
- In de verzamelingenleer, een deelgebied van de wiskunde, worden twee verzamelingen en gelijkmachtig genoemd als zij dezelfde kardinaliteit hebben, dat wil zeggen als er een bijectie bestaat. Dit wordt meestal aangegeven door , of ook wel door of door In de categorie van verzamelingen (de categorie van alle verzamelingen met functies als morfismen), is een isomorfisme tussen twee verzamelingen precies een bijectie en zijn twee verzamelingen gelijkmachtig als ze isomorf in deze categorie zijn. De kardinaliteit van een verzameling wordt door een kardinaalgetal gegeven. Twee gelijkmachtige verzamelingen hebben, omdat zij dezelfde kardinaliteit hebben, hetzelfde kardinaalgetal. (nl)
- Inom matematiken är två mängder A och B ekvipotenta (från latin aequipotens: av aequus, "lika" och potens, "mäktig") om det finns ett ett-till-ett-förhållande mellan deras element, en bijektion; det vill säga om det finns en funktion f från A till B sådan att det för varje element y i B finns ett och endast ett element i A sådant att y=f(x). Ekvipotenta ändliga mängder har samma kardinalitet, det vill säga består av lika många element. Att två mängder är ekvipotenta betecknas vanligen: eller , eller Genom att man använder bijektioner för att definiera ekvipotens kan begreppet tillämpas på både ändliga och oändliga mängder för att ange om två mängder är likstora. Till skillnad från ändliga mängder är oändliga mängder ekvipotenta med vissa äkta delmängder av sig själva. Exempel: De positiva heltalen och de jämna positiva heltalen (som ju är en äkta delmängd av de positiva heltalen - bara vartannat heltal är ju jämnt) är ekvipotenta mängder eftersom det existerar en bijektion mellan dem (y=2x). (sv)
- Em teoria dos conjuntos, dois conjuntos são equipotentes se possuem a mesma cardinalidade, ou seja, se há uma bijeção entre os conjuntos. Na categoria dos conjuntos, Set, dois conjuntos são equipotentes se, e somente se, eles são isomorfos. (pt)
- Равномощность — отношение двух произвольных (конечных или бесконечных) множеств, означающее, нестрого говоря, что одно множество содержит столько же элементов, сколько и другое. Конечные множества равномощны тогда и только тогда, когда они содержат одинаковое число элементов. Например, множество традиционных зодиакальных созвездий и множество рёбер куба равномощны, так как оба содержат по 12 элементов. Понятие равномощности, введенное Георгом Кантором в 1878 году, расширяет это отношение на бесконечные множества, на него опирается определение центрального в теории множеств понятия мощности множества. Кантор также определил сравнение мощностей — если два множества не равномощны, то мощность одного из них больше, чем у другого (в доказательстве используется аксиома выбора). (ru)
- Рівнопотужність — відношення двох довільних (скінченних або нескінченних) множин, що означає, нестрого кажучи, що одна з множин містить стільки ж елементів, як і інша. Скінченні множини рівнопотужні тоді й лише тоді, коли вони містять однакові кількості елементів. Наприклад, множина традиційних зодіакальних сузір'їв і множина ребер куба рівнопотужні, оскільки обидві містять по 12 елементів. Поняття рівнопотужності, введене Георгом Кантором 1878 року, розширює це відношення на нескінченні множини, на нього спирається визначення центрального в теорії множин поняття потужності множини. Кантор також визначив порівняння потужностей — якщо дві множини не рівнопотужні, то потужність однієї з них більша, ніж іншої (у доведенні використовується аксіома вибору). (uk)
- 在数学领域中，如果两个集合 A 和 B 是等势的(equinumerous)，那么它们之间存在一个双射 。这通常指示为 . 两个有限集是等势的，当且仅当它们的元素个数相等。 例如， 设是全体偶数的集合，那么，它与自然数集是等势的；有理数与自然数是等势的（所有有理数与自然数是“一样多”的）；然而，无理数与自然数或有理数都不等势（无理数比有理数“个数多”）。 势的研究中经常叫做等势性(equinumerosity)。有时还使用术语 equipotent 或 equipollent。在集合范畴中，带有函数作为态射的所有集合的范畴，在两个集合之间的同构正好是一个双射，而两个集合正好是等势的，如果它们在这个范畴中是同构的。 (zh)
|
| rdfs:comment
|
- En la teoria dels conjunts, es diu que dos conjunts E i F són equipotents, i es nota E ≈ F, si existeix una bijecció . Per definició, dos conjunts (finits o no) tenen la mateixa cardinalitat (el mateix nombre d'elements) si són equipotents. (ca)
- Bi multzo, A eta B, ekipotenteak izango dira baldin eta bien arteko bijekzio bat existitzen bada, hau da, gutxienez A eta B erlazionatzen dituen funtzio bat existitzen bada aldi berean injetktibo eta supraiektiboa dena. Multzo ekipotenteak kardinal (elementu kopuru) berdina izango dute. A eta B ekipotenteak direla hurrengo eran adierazten da: edo edo (eu)
- En mathématiques, l’équipotence est une relation entre ensembles, selon laquelle deux ensembles sont équivalents lorsqu'il existe une bijection entre eux. Cette notion permet de définir la cardinalité, c'est-à-dire le nombre d'éléments d'un ensemble, qu'il soit fini ou infini. La subpotence est une relation plus faible, satisfaite lorsqu'il existe une injection entre deux ensembles. Elle permet de définir une comparaison de taille entre les ensembles, sans présupposer la construction des nombres cardinaux. (fr)
- Em teoria dos conjuntos, dois conjuntos são equipotentes se possuem a mesma cardinalidade, ou seja, se há uma bijeção entre os conjuntos. Na categoria dos conjuntos, Set, dois conjuntos são equipotentes se, e somente se, eles são isomorfos. (pt)
- 在数学领域中，如果两个集合 A 和 B 是等势的(equinumerous)，那么它们之间存在一个双射 。这通常指示为 . 两个有限集是等势的，当且仅当它们的元素个数相等。 例如， 设是全体偶数的集合，那么，它与自然数集是等势的；有理数与自然数是等势的（所有有理数与自然数是“一样多”的）；然而，无理数与自然数或有理数都不等势（无理数比有理数“个数多”）。 势的研究中经常叫做等势性(equinumerosity)。有时还使用术语 equipotent 或 equipollent。在集合范畴中，带有函数作为态射的所有集合的范畴，在两个集合之间的同构正好是一个双射，而两个集合正好是等势的，如果它们在这个范畴中是同构的。 (zh)
- In mathematics, two sets or classes A and B are equinumerous if there exists a one-to-one correspondence (or bijection) between them, that is, if there exists a function from A to B such that for every element y of B, there is exactly one element x of A with f(x) = y. Equinumerous sets are said to have the same cardinality (number of elements). The study of cardinality is often called equinumerosity (equalness-of-number). The terms equipollence (equalness-of-strength) and equipotence (equalness-of-power) are sometimes used instead. or , or (en)
- En matemáticas, dos conjuntos A y B son equipotentes o equinumerosos si existe una biyección entre ellos, es decir, si existe una función de A en B tal que para cada elemento y de B, existe exactamente un elemento x de A tal que f(x)=y. Los conjuntos equipotentes tienen el mismo cardinal (número de elementos). El estudio de la cardinalidad suele denominarse equipotencia de conjuntos o equinumerosidad. La expresión A y B son conjuntos equipotentes se denota: o , o . (es)
- 数学において二つの集合 A, B の濃度が等しいとは、それらの間の一対一対応（全単射）が存在すること、すなわち A から B への写像 f: A → B が存在して B の各元 y に対してちょうど一つづつの x ∈ A が f(x) = yを満たすときに言う。濃度が等しいことは、それら集合に属する元の数が同じであることと解釈することができる。このように集合の濃度が等しいとき、それら集合は同数 (equinumerous), 対等もしくは同等 (equipollent) あるいは等濃 (equipotent, equicardinality) であるなどと言う。 「濃度が等しい」という関係は同値関係の三つの公理（反射律・対称律・推移律）を満足する。記号では二つの集合 A, B が等濃であることを などで表す。 1891年以降現れたカントールの定理によれば、任意の集合は自身の冪集合（部分集合全体の成す集合）に等濃となることはない。ゆえに一つ無限集合が与えられれば、それを手掛かりにより大きな無限濃度を持つ集合を次々に作り出すことができる。 任意の二つの集合の濃度が比較可能（互いに等濃であるかさもなくば一方が他方よりも濃度が小さい）であるという条件は、選択公理と同値である。 (ja)
- In de verzamelingenleer, een deelgebied van de wiskunde, worden twee verzamelingen en gelijkmachtig genoemd als zij dezelfde kardinaliteit hebben, dat wil zeggen als er een bijectie bestaat. Dit wordt meestal aangegeven door , of ook wel door of door In de categorie van verzamelingen (de categorie van alle verzamelingen met functies als morfismen), is een isomorfisme tussen twee verzamelingen precies een bijectie en zijn twee verzamelingen gelijkmachtig als ze isomorf in deze categorie zijn. (nl)
- Inom matematiken är två mängder A och B ekvipotenta (från latin aequipotens: av aequus, "lika" och potens, "mäktig") om det finns ett ett-till-ett-förhållande mellan deras element, en bijektion; det vill säga om det finns en funktion f från A till B sådan att det för varje element y i B finns ett och endast ett element i A sådant att y=f(x). Ekvipotenta ändliga mängder har samma kardinalitet, det vill säga består av lika många element. Att två mängder är ekvipotenta betecknas vanligen: eller , eller (sv)
- Равномощность — отношение двух произвольных (конечных или бесконечных) множеств, означающее, нестрого говоря, что одно множество содержит столько же элементов, сколько и другое. Конечные множества равномощны тогда и только тогда, когда они содержат одинаковое число элементов. Например, множество традиционных зодиакальных созвездий и множество рёбер куба равномощны, так как оба содержат по 12 элементов. (ru)
- Рівнопотужність — відношення двох довільних (скінченних або нескінченних) множин, що означає, нестрого кажучи, що одна з множин містить стільки ж елементів, як і інша. Скінченні множини рівнопотужні тоді й лише тоді, коли вони містять однакові кількості елементів. Наприклад, множина традиційних зодіакальних сузір'їв і множина ребер куба рівнопотужні, оскільки обидві містять по 12 елементів. (uk)
|
