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- In chaos theory, the correlation dimension (denoted by ν) is a measure of the dimensionality of the space occupied by a set of random points, often referred to as a type of fractal dimension. For example, if we have a set of random points on the real number line between 0 and 1, the correlation dimension will be ν = 1, while if they are distributed on say, a triangle embedded in three-dimensional space (or m-dimensional space), the correlation dimension will be ν = 2. This is what we would intuitively expect from a measure of dimension. The real utility of the correlation dimension is in determining the (possibly fractional) dimensions of fractal objects. There are other methods of measuring dimension (e.g. the Hausdorff dimension, the box-counting dimension, and theinformation dimension) but the correlation dimension has the advantage of being straightforwardly and quickly calculated, of being less noisy when only a small number of points is available, and is often in agreement with other calculations of dimension. For any set of N points in an m-dimensional space then the correlation integral C(ε) is calculated by: where g is the total number of pairs of points which have a distance between them that is less than distance ε (a graphical representation of such close pairs is the recurrence plot). As the number of points tends to infinity, and the distance between them tends to zero, the correlation integral, for small values of ε, will take the form: If the number of points is sufficiently large, and evenly distributed, a log-log graph of the correlation integral versus ε will yield an estimate of ν. This idea can be qualitatively understood by realizing that for higher-dimensional objects, there will be more ways for points to be close to each other, and so the number of pairs close to each other will rise more rapidly for higher dimensions. Grassberger and Procaccia introduced the technique in 1983; the article gives the results of such estimates for a number of fractal objects, as well as comparing the values to other measures of fractal dimension. The technique can be used to distinguish between (deterministic) chaotic and truly random behavior, although it may not be good at detecting deterministic behavior if the deterministic generating mechanism is very complex. As an example, in the "Sun in Time" article, the method was used to show that the number of sunspots on the sun, after accounting for the known cycles such as the daily and 11-year cycles, is very likely not random noise, but rather chaotic noise, with a low-dimensional fractal attractor. (en)
- En teoría del caos, la dimensión de correlación (indicada por ν) es una medida de la dimensión del espacio ocupado por un conjunto de puntos aleatorios, a menudo considerada un tipo de dimensión fractal. Por ejemplo, si se tiene un conjunto de puntos aleatorios en la recta real entre 0 y 1, la dimensión de correlación será ν = 1, mientras que si están distribuidos en, por ejemplo, un triángulo incrustado el espacio tridimensional (o en un espacio m-dimensional), la dimensión de correlación será ν = 2. Esto es lo que intuitivamente esperaría de una medida de dimensión. La utilidad real de la dimensión de correlación es determinar las dimensiones (posiblemente fraccionarias) de los objetos fractales. Existen otros métodos para medir la dimensión (por ejemplo, la dimensión de Hausdorff-Besicovitch, la dimensión del recuento de cajas y la ), pero la dimensión de correlación tiene la ventaja de que se calcula de forma sencilla y rápida, de ser menos sensible a perturbaciones cuando solo se dispone de una pequeña cantidad de puntos y, a menudo, coincide con otros cálculos de dimensión. Para cualquier conjunto de puntos N en un espacio m-dimensional entonces la C(ε) se calcula mediante: donde g es el número total de pares de puntos que tienen una distancia entre ellos menor que la distancia ε (una representación gráfica de pares tan cercanos es el ). Como el número de puntos tiende a infinito y la distancia entre ellos tiende a cero, la integral de correlación, para valores pequeños de ε, tomará la forma: Si el número de puntos es suficientemente grande y está distribuido uniformemente, una representación logarítmica de la integral de correlación respecto a ε producirá una estimación de ν. Esta idea puede entenderse cualitativamente al darse cuenta de que para objetos de dimensiones superiores, habrá más formas de que los puntos estén cerca unos de otros, por lo que el número de pares cercanos entre sí aumentará más rápidamente para dimensiones superiores. y introdujeron la técnica en 1983; el artículo da los resultados de tales estimaciones para numerosos objetos fractales, además de comparar los valores con otras medidas de dimensión fractal. La técnica se puede utilizar para distinguir entre el comportamiento caótico (determinista) y el comportamiento verdaderamente aleatorio, aunque puede que no sea buena para detectar el comportamiento determinista si el mecanismo de generación determinista es muy complejo. Como ejemplo, en el artículo "Sun in Time", el método se utilizó para demostrar que el número de manchas solares sobre la superficie del Sol, después de tener en cuenta los ciclos conocidos, como los ciclos diarios y de 11 años, es muy probable que no sea producto de un ruido aleatorio, sino más bien de un ruido caótico, con un atractor fractal de baja dimensión. (es)
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- In chaos theory, the correlation dimension (denoted by ν) is a measure of the dimensionality of the space occupied by a set of random points, often referred to as a type of fractal dimension. For example, if we have a set of random points on the real number line between 0 and 1, the correlation dimension will be ν = 1, while if they are distributed on say, a triangle embedded in three-dimensional space (or m-dimensional space), the correlation dimension will be ν = 2. This is what we would intuitively expect from a measure of dimension. The real utility of the correlation dimension is in determining the (possibly fractional) dimensions of fractal objects. There are other methods of measuring dimension (e.g. the Hausdorff dimension, the box-counting dimension, and theinformation dimension) (en)
- En teoría del caos, la dimensión de correlación (indicada por ν) es una medida de la dimensión del espacio ocupado por un conjunto de puntos aleatorios, a menudo considerada un tipo de dimensión fractal. Para cualquier conjunto de puntos N en un espacio m-dimensional entonces la C(ε) se calcula mediante: (es)
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