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- In mathematical physics, constructive quantum field theory is the field devoted to showing that quantum field theory can be defined in terms of precise mathematical structures. This demonstration requires new mathematics, in a sense analogous to classical real analysis, putting calculus on a mathematically rigorous foundation. Weak, strong, and electromagnetic forces of nature are believed to have their natural description in terms of quantum fields. Attempts to put quantum field theory on a basis of completely defined concepts have involved most branches of mathematics, including functional analysis, differential equations, probability theory, representation theory, geometry, and topology. It is known that a quantum field is inherently hard to handle using conventional mathematical techniques like explicit estimates. This is because a quantum field has the general nature of an operator-valued distribution, a type of object from mathematical analysis. The existence theorems for quantum fields can be expected to be very difficult to find, if indeed they are possible at all. One discovery of the theory that can be related in non-technical terms, is that the dimension d of the spacetime involved is crucial. Notable work in the field by James Glimm and Arthur Jaffe showed that with d < 4 many examples can be found. Along with work of their students, coworkers, and others, constructive field theory resulted in a mathematical foundation and exact interpretation to what previously was only a set of recipes, also in the case d < 4. Theoretical physicists had given these rules the name "renormalization," but most physicists had been skeptical about whether they could be turned into a mathematical theory. Today one of the most important open problems, both in theoretical physics and in mathematics, is to establish similar results for gauge theory in the realistic case d = 4. The traditional basis of constructive quantum field theory is the set of Wightman axioms. Osterwalder and Schrader showed that there is an equivalent problem in mathematical probability theory. The examples with d < 4 satisfy the Wightman axioms as well as the Osterwalder–Schrader axioms. They also fall in the related framework introduced by Haag and Kastler, called algebraic quantum field theory. There is a firm belief in the physics community that the gauge theory of Yang and Mills (the Yang–Mills theory) can lead to a tractable theory, but new ideas and new methods will be required to actually establish this, and this could take many years. (en)
- En física matemática, teoría cuántica de campos constructiva es el campo dedicado a demostrar que la teoría cuántica es matemáticamente compatible con la relatividad especial. Esta demostración requiere nuevas matemáticas, en un sentido análogo a Newton desarrollando el cálculo infinitesimal para comprender el movimiento planetario y la gravedad clásica. Se cree que la descripción natural de las fuerzas débil, fuerte y electromagnética está basada en campos cuánticos. Los intentos de basar la teoría cuántica de campos en conceptos completamente definidos han involucrado a la mayoría de las ramas de la matemática, incluyendo el análisis funcional, ecuaciones diferenciales, teoría de probabilidad, teoría de representación, geometría, y topología, por nombrar algunas. Es sabido que los campos cuánticos son inherentemente difíciles de manejar usando técnicas matemáticas convencionales, como estimaciones explícitas. Esto es porque un campo cuántico tiene la naturaleza general de una distribución valorada en operadores, un tipo de objeto del análisis matemático. Entonces, es esperable que los teoremas de existencia para campos cuánticos sean muy difíciles de encontrar, considerando que sean posibles. Un descubrimiento de la teoría, que puede ser expresado en términos no técnicos, es que la dimensión d del espaciotiempo involucrado es crucial. A pesar de estos impedimentos, se ha realizado un progreso impresionante, impulsado por una larga colaboración y extenso trabajo de y quienes demostraron que con d < 4 muchos ejemplos pueden ser encontrados. Junto con el trabajo de sus estudiantes, colaboradores y otros, la teoría de campo constructiva resultó dar una fundamentación matemática y una interpretación exacta a lo que antes era solamente una serie de "recetas", también en el caso d < 4. Los físicos teóricos habían nombrado a estas reglas "renormalización", pero la mayoría de los mismos eran escépticos acerca de si podían transformarse en una teoría matemática. Hoy en día, uno de los problemas sin resolver más importante, en física teórica y en matemáticas, es el establecimiento de resultados similares para la teoría de gauge en el caso real d = 4. La base tradicional de la teoría cuántica de campo constructiva es el conjunto de Axiomas de Wightman. Osterwalder y Schrader demostraron que hay un problema equivalente en la teoría matemática de probabilidad. Los ejemplos con d < 4 satisfacen tanto los axiomas de Wightman como los axiomas de Osterwalder-Schrader. También caen en el marco introducido por Haag y Kastler, llamado teoría cuántica de campos constructiva algebraica. Hay una firme creencia en la comunidad científica de que la teoría de gauge de Yang y Mills puede llevar a una teoría manejable, pero nuevas ideas y métodos serán necesarios para realmente establecer esto, y dicho proceso podría llevar muchos años. (es)
- 数理物理学における、(constructive)場の理論(constructive quantum field theory)は、場の対象が場の量子論のモデルの存在を確立するような理論である。そのような定理は1960年代と197年代に 2次元と 3次元の時空内の場の量子論のモデルとして、(James Glimm)、(Arthur Jaffe)、(Irving Segal)、(Edward Nelson)他の論文で証明された。しかし、構成的場の量子論の主要な目標である 4次元時空内の非自明な場の量子論のモデルの存在へは、届かなかった。同じ頃、理論物理学者の学会では、現代の人工的な場の量子論のモデルのは単に基本的な理論というより、有効理論であると信じられるようになった。数学的な状況は、実用性に乏しく、感心が失われてきている。 (ja)
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- 数理物理学における、(constructive)場の理論(constructive quantum field theory)は、場の対象が場の量子論のモデルの存在を確立するような理論である。そのような定理は1960年代と197年代に 2次元と 3次元の時空内の場の量子論のモデルとして、(James Glimm)、(Arthur Jaffe)、(Irving Segal)、(Edward Nelson)他の論文で証明された。しかし、構成的場の量子論の主要な目標である 4次元時空内の非自明な場の量子論のモデルの存在へは、届かなかった。同じ頃、理論物理学者の学会では、現代の人工的な場の量子論のモデルのは単に基本的な理論というより、有効理論であると信じられるようになった。数学的な状況は、実用性に乏しく、感心が失われてきている。 (ja)
- In mathematical physics, constructive quantum field theory is the field devoted to showing that quantum field theory can be defined in terms of precise mathematical structures. This demonstration requires new mathematics, in a sense analogous to classical real analysis, putting calculus on a mathematically rigorous foundation. Weak, strong, and electromagnetic forces of nature are believed to have their natural description in terms of quantum fields. (en)
- En física matemática, teoría cuántica de campos constructiva es el campo dedicado a demostrar que la teoría cuántica es matemáticamente compatible con la relatividad especial. Esta demostración requiere nuevas matemáticas, en un sentido análogo a Newton desarrollando el cálculo infinitesimal para comprender el movimiento planetario y la gravedad clásica. Se cree que la descripción natural de las fuerzas débil, fuerte y electromagnética está basada en campos cuánticos. (es)
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