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- In mathematics, the Chern–Weil homomorphism is a basic construction in Chern–Weil theory that computes topological invariants of vector bundles and principal bundles on a smooth manifold M in terms of connections and curvature representing classes in the de Rham cohomology rings of M. That is, the theory forms a bridge between the areas of algebraic topology and differential geometry. It was developed in the late 1940s by Shiing-Shen Chern and André Weil, in the wake of proofs of the generalized Gauss–Bonnet theorem. This theory was an important step in the theory of characteristic classes. Let G be a real or complex Lie group with Lie algebra , and let denote the algebra of -valued polynomials on (exactly the same argument works if we used instead of .) Let be the subalgebra of fixed points in under the adjoint action of G; that is, the subalgebra consisting of all polynomials f such that , for all g in G and x in , Given a principal G-bundle P on M, there is an associated homomorphism of -algebras, , called the Chern–Weil homomorphism, where on the right cohomology is de Rham cohomology. This homomorphism is obtained by taking invariant polynomials in the curvature of any connection on the given bundle. If G is either compact or semi-simple, then the cohomology ring of the classifying space for G-bundles, , is isomorphic to the algebra of invariant polynomials: (The cohomology ring of BG can still be given in the de Rham sense: when and are manifolds.) (en)
- 陈・ヴェイユ準同型（英: Chern–Weil homomorphism）はチャーン・ヴェイユ理論の基本構成であり、微分可能多様体 M に対して M のド・ラームコホモロジーと M の曲率を関連付けている。つまり、（微分）幾何学とトポロジーの関連づけを意味する。1940年代以来の陳省身とアンドレ・ヴェイユの理論は、特性類の理論での重要なステップである。この理論はガウス-ボネの定理の一般化でもある。 により実数 もしくは 複素数 を表すことにする。G は実もしくは複素リー群でリー代数 を持っているとする。 で、 の上の に値を持つ多項式のベクトル空間の代数を表すとする。 を G の随伴作用の下で次の条件を満たす の固定点のなす部分代数とする。すべての に対して、 チャーン・ヴェイユ準同型 は、 からコホモロジー代数（環） への準同型である。そのような準同型が存在れば、すべての M 上のG-主バンドル P に対して一意的に決まる。もし G がコンパクトであれば、この準同型の下に G-バンドルの分類空間 BG のコホモロジー代数（環）は、次の不変多項式の代数（環） に同型である。 SL(n,R) のような非コンパクト群に対しては、不変多項式によって表現できないようなコホモロジー類が存在する可能性がある。 (ja)
- 미분기하학에서 천-베유 준동형([陳]-Weil準同型, 영어: Chern–Weil homomorphism)은 리 군의 작용에 대하여 불변인 리 대수 변수 다항식을 드람 코호몰로지 동치류에 대응시키는 환 준동형이다. (ko)
- Homomorfismo de Chern–Weil é uma construção matemática baseada na teoria de Chern–Weil que calcula invariantes topológicos de fibrados vetoriais em um fibrado principal M através da . A grosso modo, a teoria relaciona a topologia algébrica com a geometria diferencial. Esse conceito foi proposto em 1940 pelos matemáticos Shiing-Shen Chern e André Weil a partir da generalização do . Sendo G um número real ou complexo do grupo de Lie, respeitando os princípios da álgebra de Lie; C(g) um polinômio válido e pertencente à classe dos reais ou complexos; k, uma constante matemática real; BG o espaço de classificação, é possível realizar algumas relações e igualdades matemáticas: (pt)
- 數學上，陳－韋伊同態（英語：Chern–Weil homomorphism）是陳－韋伊理論的基本構造，將一個光滑流形M的曲率聯繫到M的德拉姆上同調群，也就是從幾何到拓撲。這個理論由陳省身和安德烈·韋伊於1940年代建立，是發展理論的重要步驟。這個結果推廣了陳-高斯-博內定理。 記為實數域或複數域。設G為實或複李群，有李代數，又記 為上的-值的代數。設為在中G的伴隨作用的不動點的子代數，故對所有有 。 陳－韋伊同態是從到上同調代數的一個-代數同態。這個同態存在，且對M上任何主G-叢P有唯一定義。若G緊緻，則於此同態下，G-叢BG的的上同調環同構於不變多項式的代數： 對於如SL(n,R)的非緊緻群，可能有上同調類無不變多項式的表示。 (zh)
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- 陈・ヴェイユ準同型（英: Chern–Weil homomorphism）はチャーン・ヴェイユ理論の基本構成であり、微分可能多様体 M に対して M のド・ラームコホモロジーと M の曲率を関連付けている。つまり、（微分）幾何学とトポロジーの関連づけを意味する。1940年代以来の陳省身とアンドレ・ヴェイユの理論は、特性類の理論での重要なステップである。この理論はガウス-ボネの定理の一般化でもある。 により実数 もしくは 複素数 を表すことにする。G は実もしくは複素リー群でリー代数 を持っているとする。 で、 の上の に値を持つ多項式のベクトル空間の代数を表すとする。 を G の随伴作用の下で次の条件を満たす の固定点のなす部分代数とする。すべての に対して、 チャーン・ヴェイユ準同型 は、 からコホモロジー代数（環） への準同型である。そのような準同型が存在れば、すべての M 上のG-主バンドル P に対して一意的に決まる。もし G がコンパクトであれば、この準同型の下に G-バンドルの分類空間 BG のコホモロジー代数（環）は、次の不変多項式の代数（環） に同型である。 SL(n,R) のような非コンパクト群に対しては、不変多項式によって表現できないようなコホモロジー類が存在する可能性がある。 (ja)
- 미분기하학에서 천-베유 준동형([陳]-Weil準同型, 영어: Chern–Weil homomorphism)은 리 군의 작용에 대하여 불변인 리 대수 변수 다항식을 드람 코호몰로지 동치류에 대응시키는 환 준동형이다. (ko)
- 數學上，陳－韋伊同態（英語：Chern–Weil homomorphism）是陳－韋伊理論的基本構造，將一個光滑流形M的曲率聯繫到M的德拉姆上同調群，也就是從幾何到拓撲。這個理論由陳省身和安德烈·韋伊於1940年代建立，是發展理論的重要步驟。這個結果推廣了陳-高斯-博內定理。 記為實數域或複數域。設G為實或複李群，有李代數，又記 為上的-值的代數。設為在中G的伴隨作用的不動點的子代數，故對所有有 。 陳－韋伊同態是從到上同調代數的一個-代數同態。這個同態存在，且對M上任何主G-叢P有唯一定義。若G緊緻，則於此同態下，G-叢BG的的上同調環同構於不變多項式的代數： 對於如SL(n,R)的非緊緻群，可能有上同調類無不變多項式的表示。 (zh)
- In mathematics, the Chern–Weil homomorphism is a basic construction in Chern–Weil theory that computes topological invariants of vector bundles and principal bundles on a smooth manifold M in terms of connections and curvature representing classes in the de Rham cohomology rings of M. That is, the theory forms a bridge between the areas of algebraic topology and differential geometry. It was developed in the late 1940s by Shiing-Shen Chern and André Weil, in the wake of proofs of the generalized Gauss–Bonnet theorem. This theory was an important step in the theory of characteristic classes. , (en)
- Homomorfismo de Chern–Weil é uma construção matemática baseada na teoria de Chern–Weil que calcula invariantes topológicos de fibrados vetoriais em um fibrado principal M através da . A grosso modo, a teoria relaciona a topologia algébrica com a geometria diferencial. Esse conceito foi proposto em 1940 pelos matemáticos Shiing-Shen Chern e André Weil a partir da generalização do . (pt)
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- Chern–Weil homomorphism (en)
- チャーン・ヴェイユ準同型 (ja)
- 천-베유 준동형 (ko)
- Homomorfismo de Chern–Weil (pt)
- 陳－韋伊同態 (zh)
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