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- In complex analysis, a complex-valued function of a complex variable :
* is said to be holomorphic at a point if it is differentiable at every point within some open disk centered at , and
* is said to be analytic at if in some open disk centered at it can be expanded as a convergent power series (this implies that the radius of convergence is positive). One of the most important theorems of complex analysis is that holomorphic functions are analytic and vice versa. Among the corollaries of this theorem are
* the identity theorem that two holomorphic functions that agree at every point of an infinite set with an accumulation point inside the intersection of their domains also agree everywhere in every connected open subset of their domains that contains the set , and
* the fact that, since power series are infinitely differentiable, so are holomorphic functions (this is in contrast to the case of real differentiable functions), and
* the fact that the radius of convergence is always the distance from the center to the nearest non-removable singularity; if there are no singularities (i.e., if is an entire function), then the radius of convergence is infinite. Strictly speaking, this is not a corollary of the theorem but rather a by-product of the proof.
* no bump function on the complex plane can be entire. In particular, on any connected open subset of the complex plane, there can be no bump function defined on that set which is holomorphic on the set. This has important ramifications for the study of complex manifolds, as it precludes the use of partitions of unity. In contrast the partition of unity is a tool which can be used on any real manifold. (en)
- 복소해석학에서 복소수 z를 변수로 가지는 복소 함수 :
* 점 a를 중심으로 하는 일부 열린 원판의 모든 점에서 미분가능하다면 정칙함수라고 불리며,
* a를 중심으로 하는 열린 원판에서 수렴하는 멱급수로 확장할 수 있으면 a에서 해석적이라고 불린다(이것은 수렴반경이 양수라는 것을 내포한다). 복소해석학에서 가장 중요한 점은 정칙함수는 해석적이라는 것이다. 이 이론의 증명들은
* 각 함수의 정의역의 교집합에서 집적점이 있는 무한집합 S의 모든 점에서 일치하는 두 정칙함수가 S를 포함한 모든 정의역의 연결된 열린 부분 집합에서 일치하는 항등 정리와,
* 멱급수가 무한히 미분가능하며, 정칙함수도 그러하다(이것은 미분가능한 실수 함수와는 반대의 결과다)는 사실과
* 수렴반경이 항상 중심 a에서 가장 가까운 특이점까지의 거리라는 사실과; 만약 특이점이 없다면 (예를 들어 ƒ가 전해석 함수라면), 수렴반경은 무한이다. 엄밀히 말하면 이것은 이론의 추론이 아니고 증명의 부산물이다.
* 어떤 복소평면위의 범프 함수도 전해석적이지 않다.In 특히 어떤 복소평면의 정칙적인 연결된 열린 부분집합에서 정의된 범프 함수는 있을 수 없다. T이것은 단위분할의 사용을 배제하기 때문에 복소 다양체 연구에서 중요한 파급효과를 가진다. 대조적으로, 단위분할은 실 다양체에서 쓰이는 도구이다. (ko)
- この記事では正則関数の解析性（英: Analyticity of holomorphic functions）について述べる。複素解析において、複素変数 z の複素数値関数 f が
* 点 a において正則であるとは、a を中心とするある開円板内のすべての点において微分可能であることをいい、
* a において解析的であるとは、a を中心とするある開円板において冪級数として展開できることをいう（これは収束半径が正であることを意味する）。 複素解析の最も重要な定理の1つは、正則関数は解析的であることである。この定理の系として以下のようなものがある。
* 2つの正則関数が、それらの定義域の共通部分に含まれる集積点をもつ無限集合 S のすべての点で一致するならば、集合 S を含む定義域の任意の連結開部分集合のすべての点で一致するという一致の定理。
* 冪級数は無限回微分可能であるから正則関数もまた無限回微分可能である（実微分可能な関数の場合とは対照的である）。
* 収束半径は中心 a から最も近い特異点までの距離であり、特異点が無いとき（すなわち f が整関数であるとき）は収束半径は無限大である。厳密には、これは定理の系ではなく、証明の副産物である。
* 複素平面上の（恒等的に 0 でない）隆起関数は整関数ではない。とくに、複素平面の任意の連結開集合に対し、その集合上定義された正則な隆起関数は存在しない。そのため、1の分割が使えないから複素多様体の研究に重要な影響がある。対照的に、1の分割は任意の実多様体上に用いることのできる道具である。 (ja)
- Na análise complexa, uma função de valor complexo ƒ de uma variável complexa z:
* pode ser considerado holomórficoa em um ponto a se for diferenciável em todos os pontos de algum disco aberto centrado em a; e
* pode ser considerado analítica em a caso em algum disco aberto centrado em a ele possa ser expandido como convergente série de potência(isso implica que o raio de convergência é positivo). Um dos teoremas mais importantes da análise complexa é que as funções holomórficas são analíticas. Entre os corolários deste teorema estão:
* O teorema da identidade de que duas funções holomórficas que concordam em todos os pontos de um conjunto infinito S com um ponto de acumulação dentro da interseção de seus domínios também concordam em todos os subconjuntos abertos conectados de seus domínios que contém o conjunto S.
* O fato de que, uma vez que as séries de potências são infinitamente diferenciáveis, o mesmo ocorre com as funções holomórficas (em contraste com o caso das funções diferenciáveis reais).
* O fato de que o raio de convergência é sempre a distância do centro de a para a mais próxima singularidade ; se não houver singularidades (se ƒ for uma função inteira ), então o raio de convergência é infinito. Estritamente falando, este não é um corolário do teorema, mas sim um subproduto da prova.
* Nenhuma função de colisão no plano complexo pode ser inteira. Em particular, em qualquer subconjunto aberto conectado do plano complexo, não pode haver função de colisão definida naquele conjunto que seja holomórfica no conjunto. Isso tem ramificações importantes para o estudo de variedades complexas, pois impede o uso de partições de unidade. Em contraste, a partição da unidade é uma ferramenta que pode ser usada em qualquer variedade real. (pt)
- В комплексном анализе функция комплексной переменной называется
* голоморфной в точке , если она дифференцируема в некоторой открытой окрестности
* аналитической в точке , если существует некоторая окрестность точки , в которой совпадает со сходящимся степенным рядом Одним из самых важных результатов комплексного анализа является теорема о том, что голоморфные функции являются аналитическими. Следствия этой теоремы включают, среди прочих, следующие результаты:
* теорема единственности: две голоморфные функции, значения которых совпадают в каждой точке множества (у которого имеется предельная точка внутри пересечения областей определения функций), также совпадают в любом открытом связном подмножестве их областей определения, которое содержит .
* так как степенной ряд бесконечно дифференцируем, соответствующая ему голоморфная функция тоже является бесконечно дифференцируемой (в отличие от случая дифференцируемой действительной функции).
* радиус сходимости всегда совпадает с расстоянием от центра а до ближайшей сингулярной точки. Если таковых не имеется (т. е. если – целая функция), то радиус сходимости равен бесконечности.
* целая голоморфная функция не может быть финитной, т.е. не может иметь в качестве (компактного) носителя связное открытое подмножество комплексной плоскости. (ru)
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| rdfs:comment
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- In complex analysis, a complex-valued function of a complex variable :
* is said to be holomorphic at a point if it is differentiable at every point within some open disk centered at , and
* is said to be analytic at if in some open disk centered at it can be expanded as a convergent power series (this implies that the radius of convergence is positive). One of the most important theorems of complex analysis is that holomorphic functions are analytic and vice versa. Among the corollaries of this theorem are (en)
- 복소해석학에서 복소수 z를 변수로 가지는 복소 함수 :
* 점 a를 중심으로 하는 일부 열린 원판의 모든 점에서 미분가능하다면 정칙함수라고 불리며,
* a를 중심으로 하는 열린 원판에서 수렴하는 멱급수로 확장할 수 있으면 a에서 해석적이라고 불린다(이것은 수렴반경이 양수라는 것을 내포한다). 복소해석학에서 가장 중요한 점은 정칙함수는 해석적이라는 것이다. 이 이론의 증명들은 (ko)
- この記事では正則関数の解析性（英: Analyticity of holomorphic functions）について述べる。複素解析において、複素変数 z の複素数値関数 f が
* 点 a において正則であるとは、a を中心とするある開円板内のすべての点において微分可能であることをいい、
* a において解析的であるとは、a を中心とするある開円板において冪級数として展開できることをいう（これは収束半径が正であることを意味する）。 複素解析の最も重要な定理の1つは、正則関数は解析的であることである。この定理の系として以下のようなものがある。 (ja)
- Na análise complexa, uma função de valor complexo ƒ de uma variável complexa z:
* pode ser considerado holomórficoa em um ponto a se for diferenciável em todos os pontos de algum disco aberto centrado em a; e
* pode ser considerado analítica em a caso em algum disco aberto centrado em a ele possa ser expandido como convergente série de potência(isso implica que o raio de convergência é positivo). Um dos teoremas mais importantes da análise complexa é que as funções holomórficas são analíticas. Entre os corolários deste teorema estão: (pt)
- В комплексном анализе функция комплексной переменной называется
* голоморфной в точке , если она дифференцируема в некоторой открытой окрестности
* аналитической в точке , если существует некоторая окрестность точки , в которой совпадает со сходящимся степенным рядом Одним из самых важных результатов комплексного анализа является теорема о том, что голоморфные функции являются аналитическими. Следствия этой теоремы включают, среди прочих, следующие результаты: (ru)
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