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Matrice unitaire 유니터리 행렬 Matriks uniter Unitaire matrix Macierz unitarna Unitär matris Унітарна матриця Matriu unitària Унитарная матрица Unita matrico Unitární matice 酉矩阵 Matriz unitária Unitary matrix Matriz unitaria ユニタリ行列 Unitäre Matrix Matrice unitaria
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Dalam aljabar linear, matriks persegi dengan entri-entri berupa bilangan kompleks disebut uniter jika invers dirinya sama dengan transpos konjugatnya, . Secara formal, matriks uniter adalah matriks yang memenuhi Em matemática, uma matriz unitária é uma matriz complexa n por n U que satisfaz a condição onde é a matriz identidade e é o (também chamado operador adjunto ou adjunto Hermitiano) de U. Note-se que esta condição afirma que a matriz U é unitária se e somente se tem uma inversa a qual é igual a seu Uma matriz unitária na qual todos os valores são reais é a mesma coisa que uma matriz ortogonal. Assim como uma matriz ortogonal G preserva o produto interno (real) de dois vetores reais, assim também uma matriz unitária U satisfaz onde V é unitária, e é diagonal e unitária. In matematica, una matrice unitaria è una matrice quadrata complessa che soddisfa la condizione: dove è la matrice identità e è la matrice trasposta coniugata di . La definizione equivale a dire che una matrice è unitaria se è invertibile e la sua inversa è uguale alla sua coniugata trasposta: Una matrice è inoltre unitaria se è una matrice normale con autovalori sulla circonferenza unitaria, oppure se è un'isometria rispetto alla norma usuale. Una matrice unitaria avente tutti gli elementi reali è una matrice ortogonale. 在線性代數中，么正矩陣（又译作幺正矩阵，英語：unitary matrix）指其共軛轉置恰為其逆矩陣的複數方陣，數學描述如下： （數學定義），（推論）。 其中 U* 是 U 的共軛轉置，In 是 n×n 單位矩陣。 么正矩陣是正交矩陣（元素均為實數）在複數的推廣。 Унита́рная ма́трица — квадратная матрица с комплексными элементами, результат умножения которой на эрмитово сопряжённую равен единичной матрице: .Другими словами, матрица унитарна тогда и только тогда, когда существует обратная к ней матрица, удовлетворяющая условию . Унитарные матрицы обобщают понятие ортогональных матриц, элементы которых — только действительные числа, на матрицы с компле́ксными числами. Следующие утверждения относительно данной квадратной матрицы являются эквивалентными: 선형대수학에서 유니터리 행렬(영어: unitary matrix)는 켤레 전치가 역행렬과 같은 복소수 정사각 행렬이다. Квадратна матриця з комплексними елементами називається унітарною, якщо де — ермітово-спряжена матриця до матриці — одинична матриця. Унітарні матриці є частковим випадком нормальних матриць. Унітарна матриця з дійсними елементами є ортогональною матрицею. En matematiko, unita matrico estas n×n kompleksa matrico U kontentiganta kondiĉon U*U = UU* = In kie In estas la n×n identa matrico kaj U* estas la konjugita transpono (ankaŭ nomata kiel la hermita adjunkta) de U. Ĉi tiu kondiĉo, laŭ difino de , implicas ke matrico U estas unita se kaj nur se ĝi havas kiu estas egala al ĝia konjugita transpono U−1 = U* Unita matrico en kiu ĉiuj elementoj estas reelaj estas orta matrico. Simile al tio kiel orta matrico Q konservas la reelan de du reelaj vektoroj x, Qy> = <x, y> tiel ankaŭ unita matrico U kontentigas x, Uy> = <x, y> In linear algebra, a complex square matrix U is unitary if its conjugate transpose U* is also its inverse, that is, if where I is the identity matrix. In physics, especially in quantum mechanics, the conjugate transpose is referred to as the Hermitian adjoint of a matrix and is denoted by a dagger (†), so the equation above is written The real analogue of a unitary matrix is an orthogonal matrix. Unitary matrices have significant importance in quantum mechanics because they preserve norms, and thus, probability amplitudes. Eine unitäre Matrix ist in der linearen Algebra eine komplexe quadratische Matrix, deren Zeilen- und Spaltenvektoren orthonormal bezüglich des Standardskalarprodukts sind. Damit ist die Inverse einer unitären Matrix gleichzeitig ihre Adjungierte. Unitäre Matrizen werden unter anderem bei der Singulärwertzerlegung, der diskreten Fourier-Transformation und in der Quantenmechanik eingesetzt. Eine reelle unitäre Matrix wird orthogonale Matrix genannt. Unitární matice je čtvercová komplexní matice A, jejíž hermitovsky sdružená matice je současně maticí inverzní, t.j. a je jednotková matice. Unitární matice jsou příkladem normálních matic. Reálná unitární matice je ortogonální. Unitární matice reprezentují unitární transformaci komplexního vektorového prostoru vzhledem k ortonormální bázi. Množina všech unitárních matic tvoří grupu, která se nazývá unitární a značí En unitär matris är en kvadratisk matris vars hermiteska konjugat även är dess invers, det vill säga där I är enhetsmatrisen och är matrisens hermiteska konjugat (transponering och komplexkonjugering av matrisens element). En komplexvärd kvadratisk matris är således unitär om dess invers ges av där betecknarkomplexkonjugatet av det komplexa talet, det vill säga om där och är reella tal, är Macierz unitarna – macierz kwadratowa o elementach zespolonych spełniająca własność: gdzie: jest macierzą jednostkową wymiaru jest sprzężeniem hermitowskim macierzy Zauważmy, że własność ta oznacza, iż macierz posiada macierz odwrotną równą sprzężeniu hermitowskiemu jej samej, czyli: Szczególnym przypadkiem macierzy unitarnej jest macierz ortogonalna, mająca wyłącznie rzeczywiste elementy. Macierze unitarne mają wyjątkowe znaczenie w mechanice kwantowej. Macierze unitarne są szczególnym przypadkiem macierzy normalnych. In de lineaire algebra is een unitaire matrix een complexe vierkante matrix waarvoor geldt dat Daarin is de hermitisch toegevoegde matrix van en de eenheidsmatrix. Merk op dat deze voorwaarde inhoudt dat een matrix unitair is dan en slechts dan als hij een inverse heeft die gelijk is aan haar geconjugeerde getransponeerde matrix Een unitaire matrix waarvan alle elementen reëel zijn, is een orthogonale matrix. Evenals een orthogonale matrix bewaart ook unitaire matrix het inwendig product, immers voor van de orde en het standaard inwendig product op is: En matemática, una matriz unitaria es una matriz compleja U, de n por n elementos, que satisface la condición: donde es la matriz identidad y es el traspuesto conjugado (también llamado el hermitiano adjunto o la hermítica) de U. Esta condición implica que una matriz U es unitaria si tiene inversa igual a su traspuesta conjugada . Una matriz unitaria en la que todas las entradas son reales es una matriz ortogonal, y por tanto preserva el producto escalar de dos vectores reales. así que una matriz unitaria U satisface donde V es unitaria, y es diagonal y unitaria. ユニタリ行列（ユニタリぎょうれつ、英: unitary matrix）は、次を満たす複素正方行列 U として定義される。 ここで、I は単位行列、U* は行列 U の随伴行列 (U* = U T)。 なお、実数で構成される行列の随伴は単に転置であるため実ユニタリ行列は直交行列に等しく、直交行列を複素数体へ拡張したものがユニタリ行列とも言える。 En algèbre linéaire, une matrice carrée U à coefficients complexes est dite unitaire si elle vérifie les égalités : où la matrice adjointe de U est notée U* (ou U† en physique, et plus particulièrement en mécanique quantique) et I désigne la matrice identité. L'ensemble des matrices unitaires de taille n forme le groupe unitaire U(n). Les matrices unitaires carrées à coefficients réels sont les matrices orthogonales. En matemàtiques, una matriu quadrada complexa U és unitària si on I és la matriu identitat i U * és la transposada conjugada de U. 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Unitary matrix Unitary Matrix
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In matematica, una matrice unitaria è una matrice quadrata complessa che soddisfa la condizione: dove è la matrice identità e è la matrice trasposta coniugata di . La definizione equivale a dire che una matrice è unitaria se è invertibile e la sua inversa è uguale alla sua coniugata trasposta: Una matrice è inoltre unitaria se è una matrice normale con autovalori sulla circonferenza unitaria, oppure se è un'isometria rispetto alla norma usuale. Una matrice unitaria avente tutti gli elementi reali è una matrice ortogonale. Le matrici unitarie rappresentano gli operatori unitari su spazi di Hilbert finito-dimensionali (costituiscono quindi un caso particolare). Eine unitäre Matrix ist in der linearen Algebra eine komplexe quadratische Matrix, deren Zeilen- und Spaltenvektoren orthonormal bezüglich des Standardskalarprodukts sind. Damit ist die Inverse einer unitären Matrix gleichzeitig ihre Adjungierte. Durch Multiplikation mit einer unitären Matrix bleibt sowohl die euklidische Norm als auch das Standardskalarprodukt zweier Vektoren erhalten. Jede unitäre Abbildung zwischen zwei endlichdimensionalen Skalarprodukträumen kann nach Wahl je einer Orthonormalbasis durch eine unitäre Matrix dargestellt werden. Die Menge der unitären Matrizen fester Größe bildet mit der Matrizenmultiplikation als Verknüpfung die unitäre Gruppe. Unitäre Matrizen werden unter anderem bei der Singulärwertzerlegung, der diskreten Fourier-Transformation und in der Quantenmechanik eingesetzt. Eine reelle unitäre Matrix wird orthogonale Matrix genannt. En algèbre linéaire, une matrice carrée U à coefficients complexes est dite unitaire si elle vérifie les égalités : où la matrice adjointe de U est notée U* (ou U† en physique, et plus particulièrement en mécanique quantique) et I désigne la matrice identité. L'ensemble des matrices unitaires de taille n forme le groupe unitaire U(n). Les matrices unitaires carrées à coefficients réels sont les matrices orthogonales. En matematiko, unita matrico estas n×n kompleksa matrico U kontentiganta kondiĉon U*U = UU* = In kie In estas la n×n identa matrico kaj U* estas la konjugita transpono (ankaŭ nomata kiel la hermita adjunkta) de U. Ĉi tiu kondiĉo, laŭ difino de , implicas ke matrico U estas unita se kaj nur se ĝi havas kiu estas egala al ĝia konjugita transpono U−1 = U* Unita matrico en kiu ĉiuj elementoj estas reelaj estas orta matrico. Simile al tio kiel orta matrico Q konservas la reelan de du reelaj vektoroj x, Qy> = <x, y> tiel ankaŭ unita matrico U kontentigas x, Uy> = <x, y> por ĉiuj kompleksaj vektoroj x kaj y, kie <·, ·> estas la norma sur Cn. Se U estas n×n matrico tiam jeno estas ĉiuj ekvivalentaj kondiĉoj: * U estas unita * U* estas unita * La kolumnoj de U formas de Cn kun respekto al ĉi tiu ena produto * La linioj de U formas ortonormalan bazon de Cn kun respekto al ĉi tiu ena produto * U estas izometrio kun respekto al la normo de ĉi tiu ena produto, kio estas ke multipliko je U konservas longon de ĉiu vektoro x: ||Ux||2=||x||2. * U estas normala matrico (kio estas ke U*U = UU*) kun ĉiu el la ejgenoj estas de modulo 1 (|λi|=1 por i=1...n, kio estas ke ĉiuj ejgeno kuŝas sur en kompleksa ebeno). Dalam aljabar linear, matriks persegi dengan entri-entri berupa bilangan kompleks disebut uniter jika invers dirinya sama dengan transpos konjugatnya, . Secara formal, matriks uniter adalah matriks yang memenuhi dengan adalah matriks identitas. Dalam bidang fisika, khususnya mekanika kuantum, transpos konjugat dikenal sebagai dari suatu matriks dan disimbolkan dengan dagger (†), jadi persamaan di atas dapat dinyatakan sebagai Versi analog dari matriks uniter pada lapangan bilangan real adalah matriks ortogonal. Matriks uniter memiliki peran penting dalam mekanika kuantum karena mereka tidak melestarikan (tidak mengubah) norma, dan akibatnya, juga melestarikan probability amplitudes. Unitární matice je čtvercová komplexní matice A, jejíž hermitovsky sdružená matice je současně maticí inverzní, t.j. a je jednotková matice. Unitární matice jsou příkladem normálních matic. Reálná unitární matice je ortogonální. Unitární matice reprezentují unitární transformaci komplexního vektorového prostoru vzhledem k ortonormální bázi. Množina všech unitárních matic tvoří grupu, která se nazývá unitární a značí Унита́рная ма́трица — квадратная матрица с комплексными элементами, результат умножения которой на эрмитово сопряжённую равен единичной матрице: .Другими словами, матрица унитарна тогда и только тогда, когда существует обратная к ней матрица, удовлетворяющая условию . Унитарные матрицы обобщают понятие ортогональных матриц, элементы которых — только действительные числа, на матрицы с компле́ксными числами. Следующие утверждения относительно данной квадратной матрицы являются эквивалентными: 1. * — унитарна. 2. * — унитарна. 3. * Столбцы матрицы образуют ортонормированный базис в унитарном пространстве. 4. * Строки матрицы образуют ортонормированный базис в унитарном пространстве. Em matemática, uma matriz unitária é uma matriz complexa n por n U que satisfaz a condição onde é a matriz identidade e é o (também chamado operador adjunto ou adjunto Hermitiano) de U. Note-se que esta condição afirma que a matriz U é unitária se e somente se tem uma inversa a qual é igual a seu Uma matriz unitária na qual todos os valores são reais é a mesma coisa que uma matriz ortogonal. Assim como uma matriz ortogonal G preserva o produto interno (real) de dois vetores reais, assim também uma matriz unitária U satisfaz para todos os vetores complexos x e y, onde estabelece-se agora para o produto interno padrão sobre Cn. Se é uma matriz n por n então são todas equivalentes as seguintes consições: 1. * é unitária 2. * é unitária 3. * as colunas de formam uma base ortonormal de Cn com respeito ao seu produto interno 4. * as linhas de formam uma base ortonormal de Cn com respeito a este produto interno 5. * é uma isometria com respeito à norma de seu produto interno Decorre da propriedade de isometricidade que todos os valores próprios de uma matriz unitária são números de valor absoluto 1 (i.e., eles residem sobre o círculo unitário centrado no 0 no plano complexo). O mesmo é verdade para o determinante. Todas as matrizes unitárias são normais, e o teorema espectral portanto aplica-se a elas. Então cada matriz unitária U tem uma decomposição da forma onde V é unitária, e é diagonal e unitária. Para cada n, o conjunto de todas as matrizes unitárias n por n com multiplicação de matrizes formam um grupo. Квадратна матриця з комплексними елементами називається унітарною, якщо де — ермітово-спряжена матриця до матриці — одинична матриця. Унітарні матриці є частковим випадком нормальних матриць. Унітарна матриця з дійсними елементами є ортогональною матрицею. 在線性代數中，么正矩陣（又译作幺正矩阵，英語：unitary matrix）指其共軛轉置恰為其逆矩陣的複數方陣，數學描述如下： （數學定義），（推論）。 其中 U* 是 U 的共軛轉置，In 是 n×n 單位矩陣。 么正矩陣是正交矩陣（元素均為實數）在複數的推廣。 ユニタリ行列（ユニタリぎょうれつ、英: unitary matrix）は、次を満たす複素正方行列 U として定義される。 ここで、I は単位行列、U* は行列 U の随伴行列 (U* = U T)。 なお、実数で構成される行列の随伴は単に転置であるため実ユニタリ行列は直交行列に等しく、直交行列を複素数体へ拡張したものがユニタリ行列とも言える。 선형대수학에서 유니터리 행렬(영어: unitary matrix)는 켤레 전치가 역행렬과 같은 복소수 정사각 행렬이다. In de lineaire algebra is een unitaire matrix een complexe vierkante matrix waarvoor geldt dat Daarin is de hermitisch toegevoegde matrix van en de eenheidsmatrix. Merk op dat deze voorwaarde inhoudt dat een matrix unitair is dan en slechts dan als hij een inverse heeft die gelijk is aan haar geconjugeerde getransponeerde matrix Een unitaire matrix waarvan alle elementen reëel zijn, is een orthogonale matrix. Evenals een orthogonale matrix bewaart ook unitaire matrix het inwendig product, immers voor van de orde en het standaard inwendig product op is: voor alle complexe vectoren en . Verder zijn de volgende voorwaarden equivalent: 1. * is unitair 2. * is unitair 3. * De kolommen van vormen een orthonormale basis van met respect tot dit inwendig product 4. * De rijen van vormen een orthonormale basis van met respect tot dit inwendig product 5. * is een isometrie met respect tot de norm van dit inwendig product. En matemàtiques, una matriu quadrada complexa U és unitària si on I és la matriu identitat i U * és la transposada conjugada de U. L'anàloga real d'una matriu unitària és una matriu ortogonal. En unitär matris är en kvadratisk matris vars hermiteska konjugat även är dess invers, det vill säga där I är enhetsmatrisen och är matrisens hermiteska konjugat (transponering och komplexkonjugering av matrisens element). En komplexvärd kvadratisk matris är således unitär om dess invers ges av där betecknarkomplexkonjugatet av det komplexa talet, det vill säga om där och är reella tal, är Macierz unitarna – macierz kwadratowa o elementach zespolonych spełniająca własność: gdzie: jest macierzą jednostkową wymiaru jest sprzężeniem hermitowskim macierzy Zauważmy, że własność ta oznacza, iż macierz posiada macierz odwrotną równą sprzężeniu hermitowskiemu jej samej, czyli: Szczególnym przypadkiem macierzy unitarnej jest macierz ortogonalna, mająca wyłącznie rzeczywiste elementy. Macierze unitarne mają wyjątkowe znaczenie w mechanice kwantowej. Macierze unitarne są szczególnym przypadkiem macierzy normalnych. Macierz unitarna wymiaru można sparametryzować za pomocą parametrów rzeczywistych (por. Parametryzacje macierzy unitarnych poniżej). In linear algebra, a complex square matrix U is unitary if its conjugate transpose U* is also its inverse, that is, if where I is the identity matrix. In physics, especially in quantum mechanics, the conjugate transpose is referred to as the Hermitian adjoint of a matrix and is denoted by a dagger (†), so the equation above is written The real analogue of a unitary matrix is an orthogonal matrix. Unitary matrices have significant importance in quantum mechanics because they preserve norms, and thus, probability amplitudes. En matemática, una matriz unitaria es una matriz compleja U, de n por n elementos, que satisface la condición: donde es la matriz identidad y es el traspuesto conjugado (también llamado el hermitiano adjunto o la hermítica) de U. Esta condición implica que una matriz U es unitaria si tiene inversa igual a su traspuesta conjugada . Una matriz unitaria en la que todas las entradas son reales es una matriz ortogonal, y por tanto preserva el producto escalar de dos vectores reales. así que una matriz unitaria U satisface para todos los vectores complejos x e y', donde representa al producto escalar en . Si es una matriz n por n entonces las siguientes condiciones son equivalentes: 1. * es unitaria 2. * es unitaria 3. * Las columnas de forman una base ortonormal de con respecto al producto escalar usual. 4. * Las filas de forman una base ortonormal de con respecto al producto escalar usual. 5. * es una isometría con respecto a la norma de su producto escalar Se desprende de la definición de isometría que todos los autovalores de una matriz unitaria son números complejos de valor absoluto 1. Como el determinante es el producto de los valores propios podemos concluir que el determinante de una matriz unitaria tiene módulo 1. Todas las matrices unitarias son normales, y el teorema espectral se aplica a a ellas. De esta forma, toda matriz unitaria U tiene una descomposición de la forma donde V es unitaria, y es diagonal y unitaria. Para todo n, el conjunto de todas las matrices unitarias n por n forman un grupo con el producto de matrices. Una matriz unitaria es especial si su determinante es 1.
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Todd Rowland
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