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마르코프 행렬 Stokastisk matris 轉移矩陣 Matriu estocàstica Macierz stochastyczna Matriks stokastik Стохастична матриця Stochastic matrix Matrice stocastica 確率行列 Übergangsmatrix Стохастическая матрица Matrice stochastique جدول انتقال الاحتمال Matriz estocástica Στοχαστικός πίνακας Stochastická matice Stochastische matrix Matriz de transição

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In mathematics, a stochastic matrix is a square matrix used to describe the transitions of a Markov chain. Each of its entries is a nonnegative real number representing a probability. It is also called a probability matrix, transition matrix, substitution matrix, or Markov matrix. The stochastic matrix was first developed by Andrey Markov at the beginning of the 20th century, and has found use throughout a wide variety of scientific fields, including probability theory, statistics, mathematical finance and linear algebra, as well as computer science and population genetics. There are several different definitions and types of stochastic matrices: En stokastisk matris är inom matematik, bland annat linjär algebra och sannolikhetsteori, en kvadratisk matris bestående av icke-negativa tal vars rad- och/eller kolonnsummor är lika med 1. Man skiljer på olika typer av stokastiska matriser: * En radstokastisk matris består av icke-negativa element och varje rad har summa 1. * En kolonnstokastisk matris består av icke-negativa element och varje kolonn har summa 1. * En dubbelstokastisk matris består av icke-negativa element och varje rad och varje kolonn har summa 1. En matemáticas, una matriz estocástica (también denominada matriz de probabilidad, matriz de transición, matriz de sustitución o matriz de Markov) es una matriz utilizada para describir las transiciones en una cadena de Markov. Ha encontrado uso en la teoría de la probabilidad, en estadística y en álgebra lineal, así como en informática. En general, una matriz estocástica se define como sigue Decimos que una matriz cuadrada dada por es estocástica si 1. * 2. * para cada fijo. El ejemplo más sencillo de una matriz estocástica es la matriz identidad de tamaño In der Mathematik, besonders der Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik, dient eine Übergangsmatrix (auch Prozessmatrix oder stochastische Matrix) dazu, die Übergangswahrscheinlichkeiten von (diskreten und kontinuierlichen) Markow-Ketten auszudrücken. Dadurch lassen sich künftige Entwicklungen vorausberechnen. In der Theorie der Markow-Ketten werden auch unendlichdimensionale Übergangsmatrizen definiert. In diesem Artikel werden jedoch nur Matrizen im Sinne der Linearen Algebra behandelt. Dalam matematika, matriks stokastik adalah matriks persegi yang digunakan untuk peralihan yang terjadi pada rantai Markov. Matriks ini juga dikenal dengan sebutan matriks probabilitas, matriks transisi, matriks subtitusi, dan matriks Markov.:9-11 Setiap entri pada matriks stokastik berupa bilangan real tak negatif yang menyatakan suatu probabilitas.:9-11 Matriks ini dikembangkan oleh pada awal abad ke-20, dan saat ini digunakan pada banyak bidang sains, termasuk teori probabilitas, statistika, matematika keuangan, dan aljabar linear, juga ilmu komputer dan genetika populasi.:1–8 Ada beberapa definisi berbeda dan tipe dari matriks stokastik::9–11 In de wiskunde is een stochastische matrix, kansmatrix of overgangsmatrix een matrix die de overgangen van een Markov-keten beschrijft. Dit soort matrices wordt gebruikt in de kansrekening, statistiek en lineaire algebra en ook in de informatica. Er zijn verschillende definities en soorten stochastische matrices: In de wiskundige literatuur wordt met een stochastische matrix doorgaans de eerste variant bedoeld. Een voorbeeld van een stochastische matrix is Una matrice stocastica o di transizione è una matrice a elementi non negativi nella quale la somma degli elementi su ogni riga (o su ogni colonna) è uguale a 1: O analogamente sommando sulle colonne. Una matrice che sia stocastica sia riguardo alle proprie righe che alle colonne, ossia se la somma degli elementi su ogni riga e su ogni colonna è uguale a 1, viene detta matrice bistocastica o matrice doppiamente stocastica. Le matrici stocastiche sono un insieme chiuso rispetto al prodotto di matrici, cioè il prodotto di due matrici stocastiche è ancora una matrice stocastica. 在数学中，随机矩阵（stochastic matrix）是用来描述一个马尔可夫链的转变的矩阵，亦称为概率矩阵（probability matrix）、转移矩阵（transition matrix）、替代矩阵（substitution matrix）、马尔可夫矩阵（Markov matrix）或转移概率矩阵（transition probability matrix）。它的每一项都是一个表示概率的非负实数。它适用于概率论、统计学和线性代数，也在计算机科学和群体遗传学中使用。有几种不同的定义和类型随机矩阵： * 左随机矩阵（left stochastic matrix）是实方阵，其中每一行求和为1。 * 右随机矩阵（right stochastic matrix）是实方阵，其中每一列求和为1。 * 双随机矩阵（doubly stochastic matrix）是非负实数方阵，每个行和列求和均为1。 同理，可以定义随机向量（也称为概率向量）为元素为非负实数且和为1的向量。因此，左随机矩阵的每一行（或右随机矩阵的每一列）都是一个随机向量。 在英语数学文献中的惯例是用概率的列向量和概率的右随机矩阵，而不用行向量和左随机矩阵，本文遵循此惯例。 En matemàtiques, una matriu estocàstica, matriu de probabilitat o matriu de transició, s'utilitza per descriure les transicions de la cadena de Markov. S'ha trobat un ús en la teoria de probabilitats, estadística i àlgebra lineal, així com en ciències de computació. Existeixen diverses definicions i diferents tipus de matrius estocàstiques: En el mateix sentit es pot definir un vector estocàstic com un vector llurs elements consisteixen en nombres reals no negatius que sumats donen 1. Стохасти́чна ма́триця — матриця, усі елементи якої є невід'ємними, а сума елементів рядків чи стовпців рівна одиниці. Стохастичні матриці широко використовуються в теорії ймовірностей, зокрема при вивченні ланцюгів Маркова. 数学における確率行列（かくりつぎょうれつ、英: stochastic matrix）とは、マルコフ連鎖の遷移確率を表す正方行列である。全ての成分が、確率を表す非負実数となっている。文脈によって遷移行列、置換行列、マルコフ行列と呼ばれることもある（順にtransition matrix, substitution matrix, Markov matrix）。また英語では probabilistic matrix と呼ばれることもある。 確率行列は20世紀初頭にアンドレイ・マルコフによって初めて導入され、確率論、統計学、数理ファイナンス、線形代数学、計算機科学、集団遺伝学といった様々な分野で活用されてきた。 確率行列には、いくつかの異なる定義・形式がある ： 右確率行列（right stochastic matrix）とは、任意の行の和が1となる非負実数成分の正方行列である。左確率行列（left stochastic matrix）とは、任意の列の和が1となる非負実数成分の正方行列である。二重確率行列（doubly stochastic matrix）とは、任意の行、任意の列の和が1となる非負実数成分の正方行列である。 数学の文献での慣習に従い、本項では行ベクトルが確率ベクトルとなる右確率行列について述べる。 Στα μαθηματικά, στοχαστικός πίνακας (επίσης λέγεται πίνακας μετάβασης, πίνακας αντικατάστασης ή Μαρκοβιανός πίνακας) είναι ένας πίνακας που χρησιμοποιείται για να περιγράψει τις μεταβάσεις μιας Μαρκοβιανής αλυσίδας. Έχει βρει εφαρμογή στη θεωρία πιθανοτήτων, τη στατιστική, τη γραμμική άλγεβρα και την πληροφορική. Υπάρχουν πολλοί διαφορετικοί ορισμοί και τύποι στοχαστικών πινάκων. Uma matriz de transição, matriz estocástica ou ainda matriz de Markov (em homenagem ao matemático russo ) é uma matriz quadrada que tem duas características: 1) todas as entradas são não-negativas e 2) todas as colunas tem soma de entradas igual a 1. É utilizada para descrever as transições da cadeia de Markov. Por exemplo, a matriz abaixo é uma matriz de Markov: As matrizes de Markov desempenham um papel importante na dinâmica de sistemas econômicos . 마르코프 행렬(또는 마르코프 매트릭스, Markov matrix) 안드레이 마르코프에 의해 알려진 이 행렬은 확률론적 방법으로 전개되므로 (Stochastic matrix)로도 잘 알려져 있다.마르코프 연쇄에서 확률 과정으로 표현된다. Macierz stochastyczna – macierz kwadratowa, której elementami są nieujemne liczby rzeczywiste i w której odpowiednie sumy elementów dają 1. W zależności od tego czy sumy elementów w każdym wierszu czy w każdej kolumnie dają 1, macierz stochastyczną nazywamy odpowiednio prawą lub lewą macierzą stochastyczną. Jeśli macierz jest lewą i prawą macierzą stochastyczną, to nazywa się ją macierzą podwójnie stochastyczną. En mathématiques, une matrice stochastique (aussi appelée matrice de Markov) est une matrice carrée (finie ou infinie) dont chaque élément est un réel positif et dont la somme des éléments de chaque ligne vaut 1. Cela correspond, en théorie des probabilités, à la matrice de transition d'une chaîne de Markov. Стохасти́ческая ма́трица в теории вероятностей — это неотрицательная матрица, в которой сумма элементов любой строки или любого столбца равна единице. جدول انتقال الاحتمال جدول مربع يبين تسلسلا لأحداث لا يتعلق احتمال كل واحد منها إلا بالحدث الذي قبله. Stochastická matice je čtvercová jejíž řádkové součty jsou rovny jedné, tedy pro kterou platí (Nezaměňovat se zcela nesouvisejícím pojmem náhodná matice.)

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Dalam matematika, matriks stokastik adalah matriks persegi yang digunakan untuk peralihan yang terjadi pada rantai Markov. Matriks ini juga dikenal dengan sebutan matriks probabilitas, matriks transisi, matriks subtitusi, dan matriks Markov.:9-11 Setiap entri pada matriks stokastik berupa bilangan real tak negatif yang menyatakan suatu probabilitas.:9-11 Matriks ini dikembangkan oleh pada awal abad ke-20, dan saat ini digunakan pada banyak bidang sains, termasuk teori probabilitas, statistika, matematika keuangan, dan aljabar linear, juga ilmu komputer dan genetika populasi.:1–8 Ada beberapa definisi berbeda dan tipe dari matriks stokastik::9–11 Matriks stokastik kanan adalah matriks real persegi dengan jumlah dari setiap elemen pada baris sama dengan 1.Matriks stokastik kiri adalah matriks real persegi dengan jumlah dari setiap elemen pada kolom sama dengan 1.Matriks stokastik ganda adalah matriks persegi dengan elemen-elemen tak negatif dan jumlah dari setiap elemen pada baris maupun pada kolom sama dengan 1. Dengan dasar yang sama, vektor stokastik (juga disebut vektor probabilitas) adalah vektor yang elemen-elemennya berupa bilangan real tak negatif dan totalnya sama dengan 1. Artikel ini menggunakan konvensi:1–8 matriks stokastik kanan dan vektor probabilitas berupa vektor baris, ketimbang matriks stokastik kiri dan vektor probabilitas berupa vektor kolom. 마르코프 행렬(또는 마르코프 매트릭스, Markov matrix) 안드레이 마르코프에 의해 알려진 이 행렬은 확률론적 방법으로 전개되므로 (Stochastic matrix)로도 잘 알려져 있다.마르코프 연쇄에서 확률 과정으로 표현된다. En stokastisk matris är inom matematik, bland annat linjär algebra och sannolikhetsteori, en kvadratisk matris bestående av icke-negativa tal vars rad- och/eller kolonnsummor är lika med 1. Man skiljer på olika typer av stokastiska matriser: * En radstokastisk matris består av icke-negativa element och varje rad har summa 1. * En kolonnstokastisk matris består av icke-negativa element och varje kolonn har summa 1. * En dubbelstokastisk matris består av icke-negativa element och varje rad och varje kolonn har summa 1. Una matrice stocastica o di transizione è una matrice a elementi non negativi nella quale la somma degli elementi su ogni riga (o su ogni colonna) è uguale a 1: O analogamente sommando sulle colonne. Una matrice che sia stocastica sia riguardo alle proprie righe che alle colonne, ossia se la somma degli elementi su ogni riga e su ogni colonna è uguale a 1, viene detta matrice bistocastica o matrice doppiamente stocastica. Le matrici stocastiche sono un insieme chiuso rispetto al prodotto di matrici, cioè il prodotto di due matrici stocastiche è ancora una matrice stocastica. Le matrici stocastiche vengono usate per rappresentare le probabilità di transizione tra due stati in un processo markoviano discreto. Uma matriz de transição, matriz estocástica ou ainda matriz de Markov (em homenagem ao matemático russo ) é uma matriz quadrada que tem duas características: 1) todas as entradas são não-negativas e 2) todas as colunas tem soma de entradas igual a 1. É utilizada para descrever as transições da cadeia de Markov. Por exemplo, a matriz abaixo é uma matriz de Markov: As matrizes de Markov desempenham um papel importante na dinâmica de sistemas econômicos . In de wiskunde is een stochastische matrix, kansmatrix of overgangsmatrix een matrix die de overgangen van een Markov-keten beschrijft. Dit soort matrices wordt gebruikt in de kansrekening, statistiek en lineaire algebra en ook in de informatica. Er zijn verschillende definities en soorten stochastische matrices: * een vierkante matrix waarbij elke rij bestaat uit niet-negatieve reële getallen die optellen tot 1. * een vierkante matrix waarbij elke kolom bestaat uit niet-negatieve reële getallen die optellen tot 1. * een vierkante matrix waarbij elke kolom en elke rij bestaat uit niet-negatieve reële getallen die optellen tot 1. In de wiskundige literatuur wordt met een stochastische matrix doorgaans de eerste variant bedoeld. Op dezelfde wijze kan men een stochastische vector definiëren als een vector waarbij de elementen niet-negatieve reëel getallen zijn die optellen tot 1. Elke rij (of kolom) van een stochastische matrix is dus een stochastische vector. Stochastische vectoren worden soms ook kansvectoren genoemd. Een voorbeeld van een stochastische matrix is Stochastická matice je čtvercová jejíž řádkové součty jsou rovny jedné, tedy pro kterou platí (Nezaměňovat se zcela nesouvisejícím pojmem náhodná matice.) En matemàtiques, una matriu estocàstica, matriu de probabilitat o matriu de transició, s'utilitza per descriure les transicions de la cadena de Markov. S'ha trobat un ús en la teoria de probabilitats, estadística i àlgebra lineal, així com en ciències de computació. Existeixen diverses definicions i diferents tipus de matrius estocàstiques: * Una matriu estocàstica a la dreta, és aquella matriu quadrada, llurs files se componen de nombres reals no negatius i la seva suma és 1. * Una matriu estocàstica a l'esquerra, és aquella matriu quadrada, llurs columnes se componen de nombres reals no negatius i la seva suma és 1. * Una matriu doblement estocàstica és aquella matriu quadrada que té tots els nombres reals no negatius, i la suma de les files i la suma de les columnes dona 1. En el mateix sentit es pot definir un vector estocàstic com un vector llurs elements consisteixen en nombres reals no negatius que sumats donen 1. In der Mathematik, besonders der Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik, dient eine Übergangsmatrix (auch Prozessmatrix oder stochastische Matrix) dazu, die Übergangswahrscheinlichkeiten von (diskreten und kontinuierlichen) Markow-Ketten auszudrücken. Dadurch lassen sich künftige Entwicklungen vorausberechnen. In der Theorie der Markow-Ketten werden auch unendlichdimensionale Übergangsmatrizen definiert. In diesem Artikel werden jedoch nur Matrizen im Sinne der Linearen Algebra behandelt. Eine Übergangsmatrix ist eine quadratische Matrix, deren Zeilen- oder Spaltensummen Eins betragen und deren Elemente zwischen Null und Eins liegen. Prozessmatrizen dienen ebenfalls zur künftigen Berechnung dynamischer Entwicklungen. Im Gegensatz zu stochastischen Matrizen müssen sie jedoch keine Zeilen- bzw. Spaltensummen von 1 haben. Sie sind jedoch wie die stochastische Matrix quadratisch. In mathematics, a stochastic matrix is a square matrix used to describe the transitions of a Markov chain. Each of its entries is a nonnegative real number representing a probability. It is also called a probability matrix, transition matrix, substitution matrix, or Markov matrix. The stochastic matrix was first developed by Andrey Markov at the beginning of the 20th century, and has found use throughout a wide variety of scientific fields, including probability theory, statistics, mathematical finance and linear algebra, as well as computer science and population genetics. There are several different definitions and types of stochastic matrices: A right stochastic matrix is a real square matrix, with each row summing to 1.A left stochastic matrix is a real square matrix, with each column summing to 1.A doubly stochastic matrix is a square matrix of nonnegative real numbers with each row and column summing to 1. In the same vein, one may define a stochastic vector (also called probability vector) as a vector whose elements are nonnegative real numbers which sum to 1. Thus, each row of a right stochastic matrix (or column of a left stochastic matrix) is a stochastic vector. A common convention in English language mathematics literature is to use row vectors of probabilities and right stochastic matrices rather than column vectors of probabilities and left stochastic matrices; this article follows that convention. In addition, a substochastic matrix is a real square matrix whose row sums are all Στα μαθηματικά, στοχαστικός πίνακας (επίσης λέγεται πίνακας μετάβασης, πίνακας αντικατάστασης ή Μαρκοβιανός πίνακας) είναι ένας πίνακας που χρησιμοποιείται για να περιγράψει τις μεταβάσεις μιας Μαρκοβιανής αλυσίδας. Έχει βρει εφαρμογή στη θεωρία πιθανοτήτων, τη στατιστική, τη γραμμική άλγεβρα και την πληροφορική. Υπάρχουν πολλοί διαφορετικοί ορισμοί και τύποι στοχαστικών πινάκων. 数学における確率行列（かくりつぎょうれつ、英: stochastic matrix）とは、マルコフ連鎖の遷移確率を表す正方行列である。全ての成分が、確率を表す非負実数となっている。文脈によって遷移行列、置換行列、マルコフ行列と呼ばれることもある（順にtransition matrix, substitution matrix, Markov matrix）。また英語では probabilistic matrix と呼ばれることもある。 確率行列は20世紀初頭にアンドレイ・マルコフによって初めて導入され、確率論、統計学、数理ファイナンス、線形代数学、計算機科学、集団遺伝学といった様々な分野で活用されてきた。 確率行列には、いくつかの異なる定義・形式がある ： 右確率行列（right stochastic matrix）とは、任意の行の和が1となる非負実数成分の正方行列である。左確率行列（left stochastic matrix）とは、任意の列の和が1となる非負実数成分の正方行列である。二重確率行列（doubly stochastic matrix）とは、任意の行、任意の列の和が1となる非負実数成分の正方行列である。 同様にして、（stochastic vector または probability vector） を、全ての成分が非負の実数で和が1となるベクトルと定義できる。右確率行列の全ての行（左確率行列の全ての列）は確率ベクトルである。 数学の文献での慣習に従い、本項では行ベクトルが確率ベクトルとなる右確率行列について述べる。 Стохасти́ческая ма́трица в теории вероятностей — это неотрицательная матрица, в которой сумма элементов любой строки или любого столбца равна единице. Macierz stochastyczna – macierz kwadratowa, której elementami są nieujemne liczby rzeczywiste i w której odpowiednie sumy elementów dają 1. W zależności od tego czy sumy elementów w każdym wierszu czy w każdej kolumnie dają 1, macierz stochastyczną nazywamy odpowiednio prawą lub lewą macierzą stochastyczną. Jeśli macierz jest lewą i prawą macierzą stochastyczną, to nazywa się ją macierzą podwójnie stochastyczną. Macierz transponowana lewej macierzy stochastycznej jest prawą macierzą stochastyczną i odwrotnie. Podobnie transpozycja macierzy zachowuje własność podwójnej stochastyczności. Każda macierz stochastyczna ma wartość własną równą 1. 在数学中，随机矩阵（stochastic matrix）是用来描述一个马尔可夫链的转变的矩阵，亦称为概率矩阵（probability matrix）、转移矩阵（transition matrix）、替代矩阵（substitution matrix）、马尔可夫矩阵（Markov matrix）或转移概率矩阵（transition probability matrix）。它的每一项都是一个表示概率的非负实数。它适用于概率论、统计学和线性代数，也在计算机科学和群体遗传学中使用。有几种不同的定义和类型随机矩阵： * 左随机矩阵（left stochastic matrix）是实方阵，其中每一行求和为1。 * 右随机矩阵（right stochastic matrix）是实方阵，其中每一列求和为1。 * 双随机矩阵（doubly stochastic matrix）是非负实数方阵，每个行和列求和均为1。 同理，可以定义随机向量（也称为概率向量）为元素为非负实数且和为1的向量。因此，左随机矩阵的每一行（或右随机矩阵的每一列）都是一个随机向量。 在英语数学文献中的惯例是用概率的列向量和概率的右随机矩阵，而不用行向量和左随机矩阵，本文遵循此惯例。 En matemáticas, una matriz estocástica (también denominada matriz de probabilidad, matriz de transición, matriz de sustitución o matriz de Markov) es una matriz utilizada para describir las transiciones en una cadena de Markov. Ha encontrado uso en la teoría de la probabilidad, en estadística y en álgebra lineal, así como en informática. En general, una matriz estocástica se define como sigue Decimos que una matriz cuadrada dada por es estocástica si 1. * 2. * para cada fijo. El ejemplo más sencillo de una matriz estocástica es la matriz identidad de tamaño pues satisface las dos condiciones. Стохасти́чна ма́триця — матриця, усі елементи якої є невід'ємними, а сума елементів рядків чи стовпців рівна одиниці. Стохастичні матриці широко використовуються в теорії ймовірностей, зокрема при вивченні ланцюгів Маркова. جدول انتقال الاحتمال جدول مربع يبين تسلسلا لأحداث لا يتعلق احتمال كل واحد منها إلا بالحدث الذي قبله. En mathématiques, une matrice stochastique (aussi appelée matrice de Markov) est une matrice carrée (finie ou infinie) dont chaque élément est un réel positif et dont la somme des éléments de chaque ligne vaut 1. Cela correspond, en théorie des probabilités, à la matrice de transition d'une chaîne de Markov.

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