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Méthode de Rayleigh-Ritz Rayleigh–Ritz method Método de Rayleigh-Ritz 레일리-리츠 방법 Rayleigh-Ritz-Prinzip 瑞利-里兹法
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레일리-리츠 방법(Rayleigh–Ritz method)은 을 만족시키는 유한개수의 기저함수의 으로 미지함수를 표시하고 기저함수를 가중함수로 사용해서 해를구하는 법으로 일종의 가중잔차법이다. O método de Rayleigh-Ritz é um método de obtenção de resultados aproximados para Equação diferencial parcial. É semelhante ao Método de Galerkin em que são utilizadas funções testes que atendem as condições de contorno do problema em questão. Entretanto, a aplicação destas funções para aproximação é diferente do Método de Galerkin, uma vez que no Método de Galerkin, a função de aproximação é imposta diretamente na , enquanto no método de Rayleigh-Ritz, a função de aproximação é imposta após a obtenção da do problema. Das Rayleigh-Ritz-Prinzip (auch Verfahren von Ritz oder Rayleigh-Ritzsches Variationsverfahren) ist ein Variationsprinzip zur Bestimmung des kleinsten Eigenwerts eines Eigenwertproblems. Es geht auf das Buch The Theory of Sound von John William Strutt, 3. Baron Rayleigh (1877) zurück und wurde 1908 vom Mathematiker Walter Ritz als mathematisches Verfahren veröffentlicht. Es sei ein selbstadjungierter Operator mit Definitionsbereich in einem Hilbertraum. Dann ist das Infimum des Spektrums gegeben durch . Ist das Infimum ein Eigenwert, so erhält man die Ungleichung La méthode Rayleigh-Ritz est une méthode numérique de calcul approché des valeurs propres et vecteurs propres d'un système linéaire. Elle trouve son origine dans le contexte de la résolution de problèmes aux limites (équations aux dérivées partielles). Elle est nommée d'après les physiciens Lord Rayleigh et Walther Ritz. The Rayleigh–Ritz method is a direct numerical method of approximating eigenvalues, originated in the context of solving physical boundary value problems and named after Lord Rayleigh and Walther Ritz. 瑞利-里兹法是广泛应用于应用数学和机械工程领域的经典数值方法，它可以用来计算结构的低阶自然频率。瑞利-里兹法也广泛应用于量子化学领域。 它是的一种，其定义于赋范线性空间的函数最小值由其空间上的元素线性组成来估计。该方法可以用于求解解析解难以得到的问题。 在机械工程领域，它被用于计算多自由度系统（如弹簧-质量系统、变截面轴上的飞轮）大致的共振频率；还可以计算圆柱体的折断载荷。瑞利-里兹法是的扩展。 以下的讨论举一个最简单的例子（2个集中弹簧和2个集中质量，并只考虑2个模态振型）。因此 M = [m1, m2] 且 K = [k1, k2]. 为该系统假设一个由两项组成的模态振型，其中一个用因数 B加权。例如Y = [1, 1] + B[1, −1]。 简谐运动理论认为挠度等于0时的速率为角频率乘以最大挠度(y)。本例中，每个质量的动能(KE)等于 等等，而每个弹簧的势能(PE)等于等等。对于连续系统，该表达式要麻烦得多。 因为引入了无阻尼假设，因此整个系统当y=0时的KE等于v=0时的PE。由于不存在阻尼，系统各点同时达到v=0的状态。 因此，由KE = PE得： 注意模态振型的实际振幅总会从两边消去。也就是说，假设挠度的真正数值并不重要。我们在意的是振型。 该方法可以反复迭代使用，把附加的模态振型叠加到先前的最佳解上。也可以建立一个用许多参数B和振型组合的长表达式，最后对它们求偏导。
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O método de Rayleigh-Ritz é um método de obtenção de resultados aproximados para Equação diferencial parcial. É semelhante ao Método de Galerkin em que são utilizadas funções testes que atendem as condições de contorno do problema em questão. Entretanto, a aplicação destas funções para aproximação é diferente do Método de Galerkin, uma vez que no Método de Galerkin, a função de aproximação é imposta diretamente na , enquanto no método de Rayleigh-Ritz, a função de aproximação é imposta após a obtenção da do problema. 瑞利-里兹法是广泛应用于应用数学和机械工程领域的经典数值方法，它可以用来计算结构的低阶自然频率。瑞利-里兹法也广泛应用于量子化学领域。 它是的一种，其定义于赋范线性空间的函数最小值由其空间上的元素线性组成来估计。该方法可以用于求解解析解难以得到的问题。 在机械工程领域，它被用于计算多自由度系统（如弹簧-质量系统、变截面轴上的飞轮）大致的共振频率；还可以计算圆柱体的折断载荷。瑞利-里兹法是的扩展。 以下的讨论举一个最简单的例子（2个集中弹簧和2个集中质量，并只考虑2个模态振型）。因此 M = [m1, m2] 且 K = [k1, k2]. 为该系统假设一个由两项组成的模态振型，其中一个用因数 B加权。例如Y = [1, 1] + B[1, −1]。 简谐运动理论认为挠度等于0时的速率为角频率乘以最大挠度(y)。本例中，每个质量的动能(KE)等于 等等，而每个弹簧的势能(PE)等于等等。对于连续系统，该表达式要麻烦得多。 因为引入了无阻尼假设，因此整个系统当y=0时的KE等于v=0时的PE。由于不存在阻尼，系统各点同时达到v=0的状态。 因此，由KE = PE得： 注意模态振型的实际振幅总会从两边消去。也就是说，假设挠度的真正数值并不重要。我们在意的是振型。 由于与B有关，为了找到最小的，我们令。此时的B的取值可以使得最小。由于振型是假设的，通过该方法得到的是需要预测的基频的上界。我们需要得到的是这个上界的最小值。 该方法有很多技巧，最重要的是试图找到尽量真实的假设振型。例如在梁的挠曲问题中，使用一个尽量接近真实解得变形模态是明智的。对于大部分简单的梁连接问题，即使振型的阶次很低，一个四次的函数就足够了。弹簧和质量并不必离散，它们可以使连续的或者是杂糅的。只要能够描述分布式的KE和PE，或把连续的单元离散，该方法可以很容易编程来找到复杂分布式系统的自然频率。 该方法可以反复迭代使用，把附加的模态振型叠加到先前的最佳解上。也可以建立一个用许多参数B和振型组合的长表达式，最后对它们求偏导。 La méthode Rayleigh-Ritz est une méthode numérique de calcul approché des valeurs propres et vecteurs propres d'un système linéaire. Elle trouve son origine dans le contexte de la résolution de problèmes aux limites (équations aux dérivées partielles). Elle est nommée d'après les physiciens Lord Rayleigh et Walther Ritz. L'apposition des deux noms Rayleigh et Ritz pour cette méthode fait débat . La procédure numérique a d'abord été publiée par Walther Ritz en 1908-1909. Selon cette référence, Lord Rayleigh a écrit un article félicitant Ritz pour son travail en 1911, mais déclarant qu'il avait lui-même utilisé la méthode de Ritz à de nombreuses occasions dans ses propres publications. Selon la référence citant Richard Courant, Lord Rayleigh et Walther Ritz ont indépendamment l'un de l'autre conçu l'idée de remplacer la recherche d'une solution d'une équation aux dérivées partielles avec conditions aux limites fixées par un problème équivalent de type calcul variationnel consistant à chercher une solution approchée décrite par un nombre fini de paramètres. Cette méthode est utilisée dans différents domaines des mathématiques et de la physique et est connue parfois sous un nom différent, mais toujours dans des situations nécessitant un calcul approché de valeurs propres et de vecteurs propres. En mécanique quantique, où un système de particules est décrit à l'aide d'un hamiltonien, on l'appelle méthode de Ritz et elle consiste à utiliser une base de fonctions d'onde (e.g. ondes planes, ondes gaussiennes) pour approcher la fonction d'onde propre de l'état fondamental de plus faible énergie. En mathématiques, dans le contexte de la méthode des éléments finis, la même algorithme est communément appelé la méthode de Ritz-Galerkin . On retrouve également cette méthode en mécanique des structures pour déterminer et étudier les modes propres de vibration et les fréquences de résonance. The Rayleigh–Ritz method is a direct numerical method of approximating eigenvalues, originated in the context of solving physical boundary value problems and named after Lord Rayleigh and Walther Ritz. The name Rayleigh–Ritz is being debated vs. the Ritz method after Walther Ritz, since the numerical procedure has been published by Walther Ritz in 1908-1909. According to, Lord Rayleigh wrote a paper congratulating Ritz on his work in 1911, but stating that he himself had used Ritz's method in many places in his book and in another publication. This statement, although later disputed, and the fact that the method in the trivial case of a single vector results in the Rayleigh quotient make the arguable misnomer persist. According to, citing Richard Courant, both Lord Rayleigh and Walther Ritz independently conceived the idea of utilizing the equivalence between boundary value problems of partial differential equations on the one hand and problems of the calculus of variations on the other hand for numerical calculation of the solutions, by substituting for the variational problems simpler approximating extremum problems in which a finite number of parameters need to be determined; see the article Ritz method for details. Ironically for the debate, the modern justification of the algorithm drops the calculus of variations in favor of the simpler and more general approach of orthogonal projection as in Galerkin method named after Boris Galerkin, thus leading also to the Ritz-Galerkin method naming. It is used in all applications that involve approximating eigenvalues and eigenvectors, often under different names. In quantum mechanics, where a system of particles is described using a Hamiltonian, the Ritz method uses trial wave functions to approximate the ground state eigenfunction with the lowest energy. In the finite element method context, mathematically the same algorithm is commonly called the Ritz-Galerkin method. The Rayleigh–Ritz method or Ritz method terminology is typical in mechanical and structural engineering to approximate the eigenmodes and resonant frequencies of a structure. 레일리-리츠 방법(Rayleigh–Ritz method)은 을 만족시키는 유한개수의 기저함수의 으로 미지함수를 표시하고 기저함수를 가중함수로 사용해서 해를구하는 법으로 일종의 가중잔차법이다. Das Rayleigh-Ritz-Prinzip (auch Verfahren von Ritz oder Rayleigh-Ritzsches Variationsverfahren) ist ein Variationsprinzip zur Bestimmung des kleinsten Eigenwerts eines Eigenwertproblems. Es geht auf das Buch The Theory of Sound von John William Strutt, 3. Baron Rayleigh (1877) zurück und wurde 1908 vom Mathematiker Walter Ritz als mathematisches Verfahren veröffentlicht. Es sei ein selbstadjungierter Operator mit Definitionsbereich in einem Hilbertraum. Dann ist das Infimum des Spektrums gegeben durch . Ist das Infimum ein Eigenwert, so erhält man die Ungleichung mit Gleichheit genau dann, wenn ein Eigenvektor zu ist. Der Quotient auf der rechten Seite ist als Rayleigh-Quotient bekannt. In der Praxis eignet es sich auch als Näherungsverfahren, indem man einen Ansatz für mit unbestimmten Parametern macht und die Parameter so optimiert, dass der Rayleigh-Quotient minimal wird. Statt über Vektoren im Definitionsbereich kann man auch über Vektoren im quadratischen Formenbereich optimieren, was dann einer schwachen Formulierung des Eigenwertproblems entspricht.
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