| dbo:abstract
|
- Das Yamabe-Problem bezeichnet eine mathematische Fragestellung aus der Differentialgeometrie des japanischen Mathematikers Hidehiko Yamabe über die Deformation der Metrik einer kompakten Riemannschen Mannigfaltigkeit. Yamabe selbst veröffentlichte eine Lösung zu dem Problem mittels Methoden aus der Variationsrechnung und der Theorie der elliptischen partiellen Differentialgleichungen, allerdings entdeckte Neil Trudinger 1968 einen Fehler darin. Trudinger konnte jedoch zeigen, dass die Lösung von Yamabe unter einer zusätzlichen restriktiven Annahme gilt. 1976 zeigte Thierry Aubin eine Verallgemeinerung des Resultates von Trudinger und 1984 wurde das Problem schließlich durch Richard Schoen vollständig (im affirmativen Sinne) gelöst. (de)
- La conjetura de Yamabe es un problema de geometría diferencial que se refiere a la existencia de métricas de Riemann con curvatura escalar constante , y toma su nombre del matemático . A principios de 1960 Yamabe afirmó tener una solución, y murió a finales de ese mismo año. Pero Trudinger en 1968 descubrió un error crítico en la prueba. El trabajo combinado de , Thierry Aubin y Richard Schoen luego proporcionó una solución completa al problema en 1984. (es)
- Le problème de Yamabe en géométrie différentielle concerne l'existence de métriques riemanniennes à courbure scalaire constante, et tient son nom du mathématicien (en). Bien que Yamabe ait affirmé avoir une solution en 1960, une erreur critique dans sa preuve fut découverte par Trudinger. Les travaux de Neil Trudinger, Thierry Aubin et Richard Schoen permettent d'apporter une solution complète au problème en 1984. La solution combine des techniques de géométrie différentielle, d’analyse fonctionnelle et d’équations aux dérivées partielles. (fr)
- The Yamabe problem refers to a conjecture in the mathematical field of differential geometry, which was resolved in the 1980s. It is a statement about the scalar curvature of Riemannian manifolds: Let (M,g) be a closed smooth Riemannian manifold. Then there exists a positive and smooth function f on M such that the Riemannian metric fg has constant scalar curvature. By computing a formula for how the scalar curvature of fg relates to that of g, this statement can be rephrased in the following form: Let (M,g) be a closed smooth Riemannian manifold. Then there exists a positive and smooth function φ on M, and a number c, such that Here n denotes the dimension of M, Rg denotes the scalar curvature of g, and ∆g denotes the Laplace-Beltrami operator of g. The mathematician Hidehiko Yamabe, in the paper , gave the above statements as theorems and provided a proof; however, discovered an error in his proof. The problem of understanding whether the above statements are true or false became known as the Yamabe problem. The combined work of Yamabe, Trudinger, Thierry Aubin, and Richard Schoen provided an affirmative resolution to the problem in 1984. It is now regarded as a classic problem in geometric analysis, with the proof requiring new methods in the fields of differential geometry and partial differential equations. A decisive point in Schoen's ultimate resolution of the problem was an application of the positive energy theorem of general relativity, which is a purely differential-geometric mathematical theorem first proved (in a provisional setting) in 1979 by Schoen and Shing-Tung Yau. There has been more recent work due to Simon Brendle, Marcus Khuri, Fernando Codá Marques, and Schoen, dealing with the collection of all positive and smooth functions f such that, for a given Riemannian manifold (M,g), the metric fg has constant scalar curvature. Additionally, the Yamabe problem as posed in similar settings, such as for complete noncompact Riemannian manifolds, is not yet fully understood. (en)
- Yとアインシュタイン・ヒルベルト汎関数Eを用いて となる。この定数を実現する∈Cの存在問題が山辺（やまべ）の問題である。Trudinger, Aubin, Schoen等によって肯定的に解決された。 汎関数Eはスケール不変なので、ğが山辺計量ならば,そのスケーリング ρ・ğも山辺計量である。よって山辺計量の一意性問題は例えば内に制限した場合に意味を持つ。 (ja)
- O problema de Yamabe, em geometria diferencial refere-se à existência de métricas Riemannianas com curvatura escalar constante, e recebe seu nome do matemático . (pt)
- Задача Ямабе — питання про існування на даному многовиді ріманової метрики з постійною скалярною кривиною. Названа на честь Ямабе, який опублікував розв'язок у 1960 році. У 1968 році Трудінгер виявив помилку в доведенні. У 1984 році Трудінгер, Обен і Шен опублікували повний розв'язок. (uk)
- Задача Ямабе — вопрос о существовании на данном многообразии римановой метрики с постоянной скалярной кривизной. Названа в честь , который опубликовал решение в 1960 году. В 1968 году обнаружил ошибку в доказательстве.В 1984 году Трудингер, и опубликовали полное решение. (ru)
- 山邊（Yamabe）問題是微分幾何的問題，得名自山邊英彥。雖然山邊英彥在1960年初宣稱得到解答，他的證明中一個關鍵錯誤在1968年被發現，而山邊英彥已在1960年底逝世。後來陸續由、、理查德·舍恩研究，山邊問題在1984年得到完全解決。 (zh)
|
| rdfs:comment
|
- La conjetura de Yamabe es un problema de geometría diferencial que se refiere a la existencia de métricas de Riemann con curvatura escalar constante , y toma su nombre del matemático . A principios de 1960 Yamabe afirmó tener una solución, y murió a finales de ese mismo año. Pero Trudinger en 1968 descubrió un error crítico en la prueba. El trabajo combinado de , Thierry Aubin y Richard Schoen luego proporcionó una solución completa al problema en 1984. (es)
- Le problème de Yamabe en géométrie différentielle concerne l'existence de métriques riemanniennes à courbure scalaire constante, et tient son nom du mathématicien (en). Bien que Yamabe ait affirmé avoir une solution en 1960, une erreur critique dans sa preuve fut découverte par Trudinger. Les travaux de Neil Trudinger, Thierry Aubin et Richard Schoen permettent d'apporter une solution complète au problème en 1984. La solution combine des techniques de géométrie différentielle, d’analyse fonctionnelle et d’équations aux dérivées partielles. (fr)
- Yとアインシュタイン・ヒルベルト汎関数Eを用いて となる。この定数を実現する∈Cの存在問題が山辺（やまべ）の問題である。Trudinger, Aubin, Schoen等によって肯定的に解決された。 汎関数Eはスケール不変なので、ğが山辺計量ならば,そのスケーリング ρ・ğも山辺計量である。よって山辺計量の一意性問題は例えば内に制限した場合に意味を持つ。 (ja)
- O problema de Yamabe, em geometria diferencial refere-se à existência de métricas Riemannianas com curvatura escalar constante, e recebe seu nome do matemático . (pt)
- Задача Ямабе — питання про існування на даному многовиді ріманової метрики з постійною скалярною кривиною. Названа на честь Ямабе, який опублікував розв'язок у 1960 році. У 1968 році Трудінгер виявив помилку в доведенні. У 1984 році Трудінгер, Обен і Шен опублікували повний розв'язок. (uk)
- Задача Ямабе — вопрос о существовании на данном многообразии римановой метрики с постоянной скалярной кривизной. Названа в честь , который опубликовал решение в 1960 году. В 1968 году обнаружил ошибку в доказательстве.В 1984 году Трудингер, и опубликовали полное решение. (ru)
- 山邊（Yamabe）問題是微分幾何的問題，得名自山邊英彥。雖然山邊英彥在1960年初宣稱得到解答，他的證明中一個關鍵錯誤在1968年被發現，而山邊英彥已在1960年底逝世。後來陸續由、、理查德·舍恩研究，山邊問題在1984年得到完全解決。 (zh)
- Das Yamabe-Problem bezeichnet eine mathematische Fragestellung aus der Differentialgeometrie des japanischen Mathematikers Hidehiko Yamabe über die Deformation der Metrik einer kompakten Riemannschen Mannigfaltigkeit. (de)
- The Yamabe problem refers to a conjecture in the mathematical field of differential geometry, which was resolved in the 1980s. It is a statement about the scalar curvature of Riemannian manifolds: Let (M,g) be a closed smooth Riemannian manifold. Then there exists a positive and smooth function f on M such that the Riemannian metric fg has constant scalar curvature. By computing a formula for how the scalar curvature of fg relates to that of g, this statement can be rephrased in the following form: (en)
|
