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- El problema de quadratura del cercle de Tarski és el repte, plantejat per Alfred Tarski el 1925, d’agafar un cercle, tallar-lo en un nombre finit de peces i tornar-lo a muntar per obtenir un quadrat de la mateixa àrea. va demostrar que això era possible el 1990; la seva descomposició fa un ús intens de l'axioma d'elecció i, per tant, no és constructiva. Laczkovich va estimar el nombre de peces de la seva descomposició en aproximadament . Més recentment, i (2017) han donat una solució completament constructiva mitjançant conjunts de Borel. (ca)
- En mathématiques, et plus précisément en géométrie plane, le problème de quadrature du cercle de Tarski, posé par Alfred Tarski en 1925, consiste à déterminer s'il est possible de découper un disque du plan en un nombre fini de morceaux et de les réassembler pour obtenir un carré d'aire égale. Il est impossible de réaliser une telle dissection formée de pièces qui pourraient être découpées avec des ciseaux (idéaux), c'est-à-dire dont la frontière serait une courbe de Jordan : il a été démontré en 1963 qu'un disque ne pouvait être transformé en aucune autre surface convexe par découpage aux ciseaux . En 1990, Miklós Laczkovich montra que c'était possible si ces morceaux sont non mesurables; la décomposition utilise l'axiome du choix et est donc non-constructive, de plus la décomposition de Laczkovich nécessite environ 1050 ensembles distincts. Laczkovich montra d'autre part que la recomposition peut être faite en n'utilisant que des translations ; les rotations des pièces ne sont pas nécessaires. Au passage, il montra également que n'importe quel polygone du plan peut être décomposé de même en pièces réarrangeables par des translations seules pour former un carré de même aire. Le théorème de Wallace-Bolyai-Gerwien est un résultat analogue beaucoup plus simple, affirmant que cette dissection peut être réalisée avec des morceaux de forme polygonale, si on autorise également la rotation des pièces lors de la recomposition. Il résulte des travaux de T. Wilson qu'il est même possible de choisir les pièces de telle sorte qu'elles ne se rencontrent pas au cours de ces translations, considérées comme des mouvements continus. Ces résultats doivent être comparés aux décompositions bien plus paradoxales fournies dans l'espace par le paradoxe de Banach-Tarski : ces dernières peuvent même modifier le volume de l'ensemble initial. De telles décompositions sont impossibles dans le plan, en raison de l'existence dans R2 d'une mesure de Banach, c'est-à-dire d'une fonction simplement additive et invariante par translation, définie sur tous les sous-ensembles. (fr)
- El problema de la cuadratura del círculo de Tarski es el reto, planteado por Alfred Tarski en 1925, de tomar un círculo en el plano, dividirlo en una serie finita de piezas y volver a ensamblar las piezas para obtener un cuadrado que tenga la misma área. Esto fue probado posible por Miklós Laczkovich en 1990, aunque la descomposición hace un uso importante del axioma de elección y no es por tanto constructiva. La descomposición de Laczkovich usa alrededor de 1050 piezas diferentes. En particular, es imposible diseccionar un círculo y hacer un cuadrado utilizando piezas que podrían ser cortadas con tijeras (es decir, teniendo la frontera de la curva de Jordan). Las piezas usadas en la demostración de Laczkovich son subconjuntos no medibles. De hecho Laczkovich demostró que el ensamblaje puede realizarse usando solo translaciones; las rotaciones no son requeridas. A lo largo del camino, también ha demostrado que cualquier polígono simple en el plano puede ser descompuesto en una serie de piezas finitas y vuelto a ensamblar usando solo traslaciones para formar un cuadrado con la misma área. El teorema de Wallace–Bolyai–Gerwien es un resultado relacionado pero mucho más sencillo: afirma que uno puede conseguir tal descomposición de un polígono simple con una serie finita de piezas poligonales si las traslaciones y las rotaciones están permitidas para el ensamblaje. De un resultado de se deduce que es posible escoger las piezas de tal manera que pueden ser movidas continuamente mientras que queden disjuntas para producir el cuadrado. Además, este enunciado más fuerte puede ser probado también para que se consiga solo mediante traslaciones. Estos resultados deberían compararse con las descomposiciones mucho más paradójicas en tres dimensiones proporcionadas por la paradoja de Banach–Tarski; aquellas descomposiciones incluso pueden cambiar el volumen de un conjunto. Aun así, en el plano, una descomposición en una serie finita de piezas tiene que preservar la suma de las de las piezas, y por tanto no puede cambiar el área total de un conjunto. (es)
- Tarski's circle-squaring problem is the challenge, posed by Alfred Tarski in 1925, to take a disc in the plane, cut it into finitely many pieces, and reassemble the pieces so as to get a square of equal area. This was proven to be possible by Miklós Laczkovich in 1990; the decomposition makes heavy use of the axiom of choice and is therefore non-constructive. Laczkovich estimated the number of pieces in his decomposition at roughly 1050. A constructive solution was given by Łukasz Grabowski, András Máthé and Oleg Pikhurko in 2016 which worked everywhere except for a set of measure zero. More recently, Andrew Marks and Spencer Unger gave a completely constructive solution using about Borel pieces. In 2021 Máthé, Noel and Pikhurko improved the properties of the pieces. In particular, Lester Dubins, Morris W. Hirsch & Jack Karush proved it is impossible to dissect a circle and make a square using pieces that could be cut with an idealized pair of scissors (that is, having Jordan curve boundary). The pieces used in Laczkovich's proof are non-measurable subsets. Laczkovich actually proved the reassembly can be done using translations only; rotations are not required. Along the way, he also proved that any simple polygon in the plane can be decomposed into finitely many pieces and reassembled using translations only to form a square of equal area. The Bolyai–Gerwien theorem is a related but much simpler result: it states that one can accomplish such a decomposition of a simple polygon with finitely many polygonal pieces if both translations and rotations are allowed for the reassembly. It follows from a result of that it is possible to choose the pieces in such a way that they can be moved continuously while remaining disjoint to yield the square. Moreover, this stronger statement can be proved as well to be accomplished by means of translations only. These results should be compared with the much more paradoxical decompositions in three dimensions provided by the Banach–Tarski paradox; those decompositions can even change the volume of a set. However, in the plane, a decomposition into finitely many pieces must preserve the sum of the Banach measures of the pieces, and therefore cannot change the total area of a set. (en)
- O problema círculo-quadrado de Tarski é um desafio, formulado por Alfred Tarski em 1925, consistindo de um disco plano, o qual deve ser cortado em diversas peças que, quando devidamente reencaixadas, formam um quadrado de área igual ao disco. O desafio foi provado ser possível de resolver por Miklós Laczkovich em 1990. A decomposição utiliza massivamente o axioma da escolha, sendo portanto não-construtiva. A construção de Laczkovich resulta em aproximadamente 1050 peças diferentes. Particularmente, é impossível dissecar um círculo e formar um quadrado usando partes que podem ser cortadas com tesouras (isto é, tendo contornos com curvas de Jordan). As peças usadas na prova de Laczkovich são . Laczkovich de fato provou que a remontagem pode ser feita usando somente translações; rotações não são necessárias. Assim, ele também provou que qualquer polígono simples no plano pode ser decomposto em diversas peças finitas e remontado usando apenas translações para formar um quadrado de igual área. O é relacionado com o problema mas de resultado bem mais simples: estabelece que pode-se obter a decomposição de um polígono simples com finitas peças poligonais, se translações e rotações são permitidas. Segue de um resultado de que é possível escolher as peças de tal forma que elas podem ser movidas continuamente enquanto permanecendo disjuntos para formas o quadrado. Contudo, é possível provar que tal possibilidade pode ser enfraquecida pela utilização de somente translações. (pt)
- Квадрату́ра кру́га Та́рского — задача о равносоставленности круга и равновеликого квадрата. (ru)
- Kwadratura koła Tarskiego – problem postawiony w 1925 roku przez Alfreda Tarskiego, dotyczący możliwości podziału koła na skończoną liczbę części i ułożenia tych części w taki sposób, by utworzyły kwadrat o takim samym polu. Przy dodatkowym warunku, że brzegi części podziału mają stanowić krzywe Jordana, taki podział nie jest możliwy. W 1990 węgierski matematyk udowodnił, że bez tego ograniczenia podział jest możliwy. Wykazał on istnienie podziału na około 1050 części będących zbiorami niemierzalnymi. Z powodu wykorzystania aksjomatu wyboru jest to dowód niekonstruktywny. Dodatkowo Laczkovich udowodnił, że przy przemieszczaniu części wystarczy korzystać z przesunięć. W 2005 udowodnił ponadto, że można wybrać taki podział, aby było możliwe przesuwanie części w sposób ciągły, tak, by nie nachodziły na siebie. (pl)
- Квадрату́ра кру́га Та́рського — задача про рівноскладеність круга й рівновеликого квадрата. (uk)
- 1925年，阿爾弗雷德·塔斯基提出一個問題：將平面上的一個圆分割成有限多塊，然後重新拼合成面積相同的正方形。 1990年米可斯·拉茲柯維奇證明這是可行的。但他的分割方法大量使用了選擇公理（axiom of choice），故该方法是不可构造的。这种分割方法至多將圓分割成約1050塊。2017年，Andrew Marks 和 Spencer Unger 使用博雷尔片给出了一个完全构造性的分割方法。 拉茲柯維奇還證明了更多：該重新拼合的過程中只須移動即可；旋轉並非必要。他隨之而證明任何平面上的單純多邊形均可分割成有限多片，只須移動來重新拼合一個面積相同的正方形。華勒斯·波埃伊·格維也納定理是相關但簡單得多的結果——若可以在重新拼合過程中移動和旋轉，一個多邊形割為有限多的多邊形塊後，可重新拼合成另一個面積相同的多邊形。 這些結果可以和在三維上的巴拿赫-塔斯基悖论（Hausdorff-Banach-Tarski paradox）相比；這些分割甚至改變集的體積，而平面上的問題則不能做到。 它跟化圓為方問題是不同的：使用尺規作圖的方法令圓形的面積變成正方形的面積，這是不可能的。塔斯基的問題使用了（不可證的）選擇公理來分割圓令成為一塊塊數目多至的片，所以它不能用實質工具這種只能畫出可量度集的物件顯示出來。 (zh)
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| rdfs:comment
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- El problema de quadratura del cercle de Tarski és el repte, plantejat per Alfred Tarski el 1925, d’agafar un cercle, tallar-lo en un nombre finit de peces i tornar-lo a muntar per obtenir un quadrat de la mateixa àrea. va demostrar que això era possible el 1990; la seva descomposició fa un ús intens de l'axioma d'elecció i, per tant, no és constructiva. Laczkovich va estimar el nombre de peces de la seva descomposició en aproximadament . Més recentment, i (2017) han donat una solució completament constructiva mitjançant conjunts de Borel. (ca)
- Квадрату́ра кру́га Та́рского — задача о равносоставленности круга и равновеликого квадрата. (ru)
- Квадрату́ра кру́га Та́рського — задача про рівноскладеність круга й рівновеликого квадрата. (uk)
- 1925年，阿爾弗雷德·塔斯基提出一個問題：將平面上的一個圆分割成有限多塊，然後重新拼合成面積相同的正方形。 1990年米可斯·拉茲柯維奇證明這是可行的。但他的分割方法大量使用了選擇公理（axiom of choice），故该方法是不可构造的。这种分割方法至多將圓分割成約1050塊。2017年，Andrew Marks 和 Spencer Unger 使用博雷尔片给出了一个完全构造性的分割方法。 拉茲柯維奇還證明了更多：該重新拼合的過程中只須移動即可；旋轉並非必要。他隨之而證明任何平面上的單純多邊形均可分割成有限多片，只須移動來重新拼合一個面積相同的正方形。華勒斯·波埃伊·格維也納定理是相關但簡單得多的結果——若可以在重新拼合過程中移動和旋轉，一個多邊形割為有限多的多邊形塊後，可重新拼合成另一個面積相同的多邊形。 這些結果可以和在三維上的巴拿赫-塔斯基悖论（Hausdorff-Banach-Tarski paradox）相比；這些分割甚至改變集的體積，而平面上的問題則不能做到。 它跟化圓為方問題是不同的：使用尺規作圖的方法令圓形的面積變成正方形的面積，這是不可能的。塔斯基的問題使用了（不可證的）選擇公理來分割圓令成為一塊塊數目多至的片，所以它不能用實質工具這種只能畫出可量度集的物件顯示出來。 (zh)
- El problema de la cuadratura del círculo de Tarski es el reto, planteado por Alfred Tarski en 1925, de tomar un círculo en el plano, dividirlo en una serie finita de piezas y volver a ensamblar las piezas para obtener un cuadrado que tenga la misma área. Esto fue probado posible por Miklós Laczkovich en 1990, aunque la descomposición hace un uso importante del axioma de elección y no es por tanto constructiva. La descomposición de Laczkovich usa alrededor de 1050 piezas diferentes. (es)
- En mathématiques, et plus précisément en géométrie plane, le problème de quadrature du cercle de Tarski, posé par Alfred Tarski en 1925, consiste à déterminer s'il est possible de découper un disque du plan en un nombre fini de morceaux et de les réassembler pour obtenir un carré d'aire égale. En 1990, Miklós Laczkovich montra que c'était possible si ces morceaux sont non mesurables; la décomposition utilise l'axiome du choix et est donc non-constructive, de plus la décomposition de Laczkovich nécessite environ 1050 ensembles distincts. (fr)
- Tarski's circle-squaring problem is the challenge, posed by Alfred Tarski in 1925, to take a disc in the plane, cut it into finitely many pieces, and reassemble the pieces so as to get a square of equal area. This was proven to be possible by Miklós Laczkovich in 1990; the decomposition makes heavy use of the axiom of choice and is therefore non-constructive. Laczkovich estimated the number of pieces in his decomposition at roughly 1050. A constructive solution was given by Łukasz Grabowski, András Máthé and Oleg Pikhurko in 2016 which worked everywhere except for a set of measure zero. More recently, Andrew Marks and Spencer Unger gave a completely constructive solution using about Borel pieces. In 2021 Máthé, Noel and Pikhurko improved the properties of the pieces. (en)
- Kwadratura koła Tarskiego – problem postawiony w 1925 roku przez Alfreda Tarskiego, dotyczący możliwości podziału koła na skończoną liczbę części i ułożenia tych części w taki sposób, by utworzyły kwadrat o takim samym polu. Przy dodatkowym warunku, że brzegi części podziału mają stanowić krzywe Jordana, taki podział nie jest możliwy. W 1990 węgierski matematyk udowodnił, że bez tego ograniczenia podział jest możliwy. Wykazał on istnienie podziału na około 1050 części będących zbiorami niemierzalnymi. Z powodu wykorzystania aksjomatu wyboru jest to dowód niekonstruktywny. (pl)
- O problema círculo-quadrado de Tarski é um desafio, formulado por Alfred Tarski em 1925, consistindo de um disco plano, o qual deve ser cortado em diversas peças que, quando devidamente reencaixadas, formam um quadrado de área igual ao disco. O desafio foi provado ser possível de resolver por Miklós Laczkovich em 1990. A decomposição utiliza massivamente o axioma da escolha, sendo portanto não-construtiva. A construção de Laczkovich resulta em aproximadamente 1050 peças diferentes. (pt)
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