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- In mathematics, Richardson's theorem establishes the undecidability of the equality of real numbers defined by expressions involving integers, π, and exponential and sine functions. It was proved in 1968 by mathematician and computer scientist Daniel Richardson of the University of Bath. Specifically, the class of expressions for which the theorem holds is that generated by rational numbers, the number π, the number ln 2, the variable x, the operations of addition, subtraction, multiplication, composition, and the sin, exp, and abs functions. For some classes of expressions (generated by other primitives than in Richardson's theorem) there exist algorithms that can determine whether an expression is zero. (en)
- En mathématiques, le théorème de Richardson, datant de 1968, porte sur la possibilité de simplifier les expressions. Plus précisément, soit un ensemble E d'expressions représentant des fonctions d'une variable réelle, et E* l'ensemble des fonctions ainsi représentées, le problème consiste à déterminer si partant d'une expression dans E on est ou non en mesure de déterminer si la fonction associée est la fonction constante nulle. Richardson montre que ce problème est indécidable sous les conditions suivantes : 1.
* E* contient l'identité, les nombres rationnels (en tant que fonctions constantes), est stable par addition, soustraction, produit et composition, contient les constantes , , la fonction sinus, la fonction exponentielle, et la fonction valeur absolue. 2.
* A et B étant deux éléments de E donnés, on peut trouver (de manière effective) dans E des expressions représentant la somme, la différence, le produit et la composée des deux fonctions représentées par A et B. Richardson démontre dans le même article l'indécidabilité de ce qu'il appelle le « problème d'intégration » (integration problem), à savoir, un élément A de E étant donné, déterminer s'il existe une fonction f dans E* dont la dérivée soit égale à la fonction déterminée par A, sous la condition supplémentaire qu'il existe dans E* une fonction définie sur R entier et n'admettant de primitive dans E* sur aucun intervalle (par exemple la fonction ). (fr)
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- In mathematics, Richardson's theorem establishes the undecidability of the equality of real numbers defined by expressions involving integers, π, and exponential and sine functions. It was proved in 1968 by mathematician and computer scientist Daniel Richardson of the University of Bath. Specifically, the class of expressions for which the theorem holds is that generated by rational numbers, the number π, the number ln 2, the variable x, the operations of addition, subtraction, multiplication, composition, and the sin, exp, and abs functions. (en)
- En mathématiques, le théorème de Richardson, datant de 1968, porte sur la possibilité de simplifier les expressions. Plus précisément, soit un ensemble E d'expressions représentant des fonctions d'une variable réelle, et E* l'ensemble des fonctions ainsi représentées, le problème consiste à déterminer si partant d'une expression dans E on est ou non en mesure de déterminer si la fonction associée est la fonction constante nulle. Richardson montre que ce problème est indécidable sous les conditions suivantes : (fr)
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