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- Das Quadratwurzelgesetz von Penrose ist eine mathematische Methode zur Verteilung von Sitzen oder Stimmen, die man zum Beispiel auf Gremien anwenden kann, an denen verschiedene Länder beteiligt sind, die in Abstimmungen jeweils einheitlich (als Block) einem Vorschlag zustimmen oder ihn ablehnen. Damit jeder Bürger gemäß dem Banzhaf-Machtindex die gleiche Abstimmungsstärke (Macht) hat, unabhängig von dem Land, aus dem er kommt, müssen die Machtindizes der Länder innerhalb des Gremiums proportional zur Quadratwurzel der Bevölkerungsgröße sein (1. Quadratwurzelgesetz). Die Theorie wurde 1946 von dem britischen Mathematiker Lionel Penrose entwickelt. Um eine derartige Machtverteilung innerhalb des Gremiums zu erhalten, können die Stimmengewichte bei dieser Methode proportional zur Quadratwurzel der Größe der Bevölkerung gewählt werden (2. Quadratwurzelgesetz). Die Verteilung überträgt sich jedoch nur dann auf die Machtindizes, wenn für die Abstimmungen ein geeignetes Zustimmungsquorum gilt. Eine Näherungsformel für das Quorum ist wobei Ni die Bevölkerungsgrößen bezeichnet. Für die EU mit 27 Staaten wird es von Mathematikern mit 61,4 % angegeben. Ein niedrigeres Quorum führt zu größeren, ein höheres Quorum zu kleineren Machtindizes der größeren Staaten. Die Nichtregierungsorganisation International Network for a United Nations Second Assembly (INFUSA) beurteilt die Quadratwurzelmethode als „mehr als einen pragmatischen Kompromiss zwischen den beiden Extremen der Sitzverteilung ohne Berücksichtigung der Bevölkerungsanzahl und dem der Sitzverteilung in direkter Abhängigkeit zur Bevölkerungszahl; Penrose zeigte, dass mit seiner Methode nach den Gesetzen der Statistik jedem Wähler derselbe Einfluss auf die Entscheidungen einer Parlamentarische Versammlung bei den Vereinten Nationen gegeben würde.“ Die Methode wurde für die Sitzverteilung in einem reformierten EU-Ministerrat und in einer Parlamentarischen Versammlung bei den Vereinten Nationen vorgeschlagen. In den Verhandlungen zum Vertrag von Lissabon 2007 forderte die polnische Regierung vehement (aber letztlich erfolglos) diese Art der Machtverteilung für den Ministerrat. Der amerikanische Statistiker und Politologe Andrew Gelman lehnt eine Stimmengewichteverteilung nach dem Quadratwurzelgesetz ab. Aus einer statistischen Auswertung einer hohen Zahl realer Wahlen folgert er, dass die dem Quadratwurzelgesetz zugrundeliegenden Annahmen zum Wählerverhalten in der Realität nicht erfüllt sind und sich eine gerechte Stimmenzahlverteilung statt bei hoch 0,5 (Quadratwurzel) eher nach einem hoch-0,9-Gesetz ergeben würde, also bei einem fast direkt proportionalen Verhältnis. (de)
- The Penrose method (or square-root method) is a method devised in 1946 by Professor Lionel Penrose for allocating the voting weights of delegations (possibly a single representative) in decision-making bodies proportional to the square root of the population represented by this delegation. This is justified by the fact that, due to the square root law of Penrose, the a priori voting power (as defined by the Penrose–Banzhaf index) of a member of a voting body is inversely proportional to the square root of its size. Under certain conditions, this allocation achieves equal voting powers for all people represented, independent of the size of their constituency. Proportional allocation would result in excessive voting powers for the electorates of larger constituencies. A precondition for the appropriateness of the method is en bloc voting of the delegations in the decision-making body: a delegation cannot split its votes; rather, each delegation has just a single vote to which weights are applied proportional to the square root of the population they represent. Another precondition is that the opinions of the people represented are statistically independent. The representativity of each delegation results from statistical fluctuations within the country, and then, according to Penrose, "small electorate are likely to obtain more representative governments than large electorates." A mathematical formulation of this idea results in the square root rule. The Penrose method is not currently being used for any notable decision-making body, but it has been proposed for apportioning representation in a United Nations Parliamentary Assembly, and for voting in the Council of the European Union. (en)
- ペンローズ方式（ペンローズほうしき、Penrose method）は、意思決定機関における各代表団の票の重み付けの方式の1つで、1946年にライオネル・ペンローズによって考案された。平方根方式（へいほうこんほうしき、square-root method）ともいう。 この方式では、個々の代表団の票の重みを、その代表団が代表する国・地域の人口の平方根に比例して配分する。これは、により、意思決定機関の構成員ので定義される投票力は、その規模の平方根に反比例するという事実に基づく。一定の条件の下では、この配分は、代表する国の人口の規模に関係なく、代表された全ての人々に平等な投票権を実現する。比例配分は、より大きな人口を有する代表団に過剰な議決権を与えることになる。 この方法が適切となるための前提条件は、意思決定機関における代表団が、保有する票を複数の候補に分割して投票することなく、一括投票することである。むしろ、各代表団は1票だけを保有し、その票に対して、代表する人口の平方根に比例した重み付けを適用する。もう一つの前提条件は、代表された人々の意見が統計的に独立していることである。各代表団の代表性は、国内の統計的な変動から生じるものであり、ペンローズは、「小選挙区の方が大選挙区よりも代表的な政府を得る可能性が高い」としている。この考え方を数学的に定式化すると、平方根の法則が得られる。 ペンローズ方式は現在、主要な意思決定機関では採用されていないが、国際連合議会会議での代表の配分や、欧州連合理事会での投票方式に提案されたことがある。 (ja)
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- Das Quadratwurzelgesetz von Penrose ist eine mathematische Methode zur Verteilung von Sitzen oder Stimmen, die man zum Beispiel auf Gremien anwenden kann, an denen verschiedene Länder beteiligt sind, die in Abstimmungen jeweils einheitlich (als Block) einem Vorschlag zustimmen oder ihn ablehnen. wobei Ni die Bevölkerungsgrößen bezeichnet. Für die EU mit 27 Staaten wird es von Mathematikern mit 61,4 % angegeben. Ein niedrigeres Quorum führt zu größeren, ein höheres Quorum zu kleineren Machtindizes der größeren Staaten. (de)
- The Penrose method (or square-root method) is a method devised in 1946 by Professor Lionel Penrose for allocating the voting weights of delegations (possibly a single representative) in decision-making bodies proportional to the square root of the population represented by this delegation. This is justified by the fact that, due to the square root law of Penrose, the a priori voting power (as defined by the Penrose–Banzhaf index) of a member of a voting body is inversely proportional to the square root of its size. Under certain conditions, this allocation achieves equal voting powers for all people represented, independent of the size of their constituency. Proportional allocation would result in excessive voting powers for the electorates of larger constituencies. (en)
- ペンローズ方式（ペンローズほうしき、Penrose method）は、意思決定機関における各代表団の票の重み付けの方式の1つで、1946年にライオネル・ペンローズによって考案された。平方根方式（へいほうこんほうしき、square-root method）ともいう。 この方式では、個々の代表団の票の重みを、その代表団が代表する国・地域の人口の平方根に比例して配分する。これは、により、意思決定機関の構成員ので定義される投票力は、その規模の平方根に反比例するという事実に基づく。一定の条件の下では、この配分は、代表する国の人口の規模に関係なく、代表された全ての人々に平等な投票権を実現する。比例配分は、より大きな人口を有する代表団に過剰な議決権を与えることになる。 この方法が適切となるための前提条件は、意思決定機関における代表団が、保有する票を複数の候補に分割して投票することなく、一括投票することである。むしろ、各代表団は1票だけを保有し、その票に対して、代表する人口の平方根に比例した重み付けを適用する。もう一つの前提条件は、代表された人々の意見が統計的に独立していることである。各代表団の代表性は、国内の統計的な変動から生じるものであり、ペンローズは、「小選挙区の方が大選挙区よりも代表的な政府を得る可能性が高い」としている。この考え方を数学的に定式化すると、平方根の法則が得られる。 (ja)
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- Quadratwurzelgesetz von Penrose (de)
- ペンローズ方式 (ja)
- Penrose method (en)
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