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Modulation spaces are a family of Banach spaces defined by the behavior of the short-time Fourier transform withrespect to a test function from the Schwartz space. They were originally proposed by Hans Georg Feichtinger and are recognized to be the right kind of function spaces for time-frequency analysis. , while originally introduced as a new , is identical to a certain modulation space and has become a widely used space of test functions for time-frequency analysis. In the above equation, denotes the short-time Fourier transform of with respect to evaluated at , namely ,

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  • In einem Modulationsraum wird die „Größe“ einer Funktion anhand ihres Spektrogramms bestimmt. Anschaulich wird das Spektrogramm in gleich große Abschnitte unterteilt, deren Größe wiederum anhand deren Spektrogramme bestimmt wird; bei einer ähnlichen Beschreibung der Besov-Räume ist die Größe dieser Abschnitte exponentiell anwachsend. Bei Modulationsräumen handelt sich um eine Familie von Banachräumen, in denen eine Funktion mittels ihrer Kurzzeit-Fourier-Transformation mit einer Testfunktion in einem Schwartz-Raum gemessen wird. Ursprünglich von Hans Georg Feichtinger untersucht, erwiesen sich diese Räume als nützlicher Rahmen für die Zeit-Frequenz-Analyse. (de)
  • Modulation spaces are a family of Banach spaces defined by the behavior of the short-time Fourier transform withrespect to a test function from the Schwartz space. They were originally proposed by Hans Georg Feichtinger and are recognized to be the right kind of function spaces for time-frequency analysis. , while originally introduced as a new , is identical to a certain modulation space and has become a widely used space of test functions for time-frequency analysis. Modulation spaces are defined as follows. For , a non-negative function on and a test function , the modulation space is defined by In the above equation, denotes the short-time Fourier transform of with respect to evaluated at , namely In other words, is equivalent to . The space is the same, independent of the test function chosen. The canonical choice is a Gaussian. We also have a Besov-type definition of modulation spaces as follows. , where is a suitable unity partition. If , then . (en)
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  • In einem Modulationsraum wird die „Größe“ einer Funktion anhand ihres Spektrogramms bestimmt. Anschaulich wird das Spektrogramm in gleich große Abschnitte unterteilt, deren Größe wiederum anhand deren Spektrogramme bestimmt wird; bei einer ähnlichen Beschreibung der Besov-Räume ist die Größe dieser Abschnitte exponentiell anwachsend. Bei Modulationsräumen handelt sich um eine Familie von Banachräumen, in denen eine Funktion mittels ihrer Kurzzeit-Fourier-Transformation mit einer Testfunktion in einem Schwartz-Raum gemessen wird. Ursprünglich von Hans Georg Feichtinger untersucht, erwiesen sich diese Räume als nützlicher Rahmen für die Zeit-Frequenz-Analyse. (de)
  • Modulation spaces are a family of Banach spaces defined by the behavior of the short-time Fourier transform withrespect to a test function from the Schwartz space. They were originally proposed by Hans Georg Feichtinger and are recognized to be the right kind of function spaces for time-frequency analysis. , while originally introduced as a new , is identical to a certain modulation space and has become a widely used space of test functions for time-frequency analysis. In the above equation, denotes the short-time Fourier transform of with respect to evaluated at , namely , (en)
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  • Modulationsraum (de)
  • Modulation space (en)
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