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- La constant de Legendre és una constant matemàtica que apareix en una conjectura d'Adrien-Marie Legendre que mostra el comportament asimptòtic de la funció de recompte de primers . Se sap actualment que el seu valor és 1. Una anàlisi de les demostracions numèriques disponibles llavors sobre els nombres primers van fer sospitar a Legendre que satisfeia una fórmula aproximada. Legendre va conjecturar l'any 1808 que: on .... és la seqüència A228211 de l'OEIS. O, cosa que és el mateix: on B és la constant de Legendre. Va donar un valor a B de 1.08366, però més enllà del seu valor exacte, l'existència de B implica el teorema dels nombres primers. Pafnuti Txebixov va demostrar l'any 1849 que si el límit B existeix, llavors ha de ser igual a 1. Una demostració més senzilla va ser desenvolupada per Pintz l'any 1980. És una conseqüència immediata del teorema dels nombres primers, en una forma determinada i una estimació explícita del terme de l'error: (per una certa constant positiva a, on O(…) és la notació de Landau), com va demostrar Charles de La Vallée Poussin l'any 1899, que B en efecte és igual a 1. (El teorema dels nombres primers havia estat demostrat l'any 1896, independentment per Jacques Hadamard i La Vallée Poussin, però sense cap estimació del valor del terme error. Tenint com a valor un nombre tan simple com la unitat, la constant de Legendre ha acabat tenint únicament valor històric, i algun cop (de forma tècnicament incorrecta) s'ha arribat a utilitzar per denotar el primer valor que li va donar Legendre 1.08366... enlloc de 1. Pierre Dusart va demostrar, l'any 2010 que: per , i per . Això té la mateixa forma que: amb . (ca)
- Legendrova konstanta je matematická konstanta, kterou použil Adrien-Marie Legendre ve svém vzorci odhadujícím prvočíselné funkce . Její hodnotu odhadl na 1,08366, později však bylo dokázáno, že příslušná limita má hodnotu přesně 1. Legendre odhadl prvočíselnou funkci jako , přičemž hodnotu na základě známých dat o prvočíslech odhadl na 1,08366. (Bez ohledu na přesnou hodnotu této limity by její existence znamenala důkaz prvočíselné věty.) Pro vyšší hodnoty je však vidět, že se hodnota začíná odhadované hodnotě vzdalovat Později však Carl Friedrich Gauss odhad hodnoty této limity snížil, až konečně , který (nezávisle na Jacquesovi Hadamardovi) dokázal prvočíselnou větu, dokázal, že tato limita má hodnotu přesně 1. V původním Legendrově odhadu prvočíselné funkce navíc chybí členy vyšších řádů. Jelikož skutečná hodnota příslušné limity je tak triviální, označuje se i dnes někdy za Legendrovu konstantu původní číslo 1,08366, přestože už má význam jen historický, nikoli matematický. (cs)
- Die Legendre-Konstante ist eine mathematische Konstante, die in einer 1798 von Adrien-Marie Legendre aufgestellten Formel auftritt, welche die Anzahl der Primzahlen abschätzt, die nicht größer als eine gegebene Zahl sind. Ihr Wert wurde später als genau 1 bestimmt. Legendre vermutete auf Grund seiner Überlegungen zur Häufigkeit von Primzahlen, dass der folgende Grenzwert existiert: dabei ist der natürliche Logarithmus von , die Anzahl der Primzahlen, die nicht größer als sind, und die Legendre-Konstante, welche Legendre mit Hilfe von Berechnungen bis zunächst =400.000, später =1.000.000, auf etwa 1,08366 schätzte. Aus der Existenz der Konstanten folgt, unabhängig von deren genauem Wert, der Primzahlsatz. Pafnuti Lwowitsch Tschebyschow bewies 1849, dass dieser Grenzwert den Wert 1 hat, sofern er existiert. Ein einfacher Beweis wurde 1980 von János Pintz veröffentlicht. Es ist eine direkte Folgerung des Primzahlsatzes, in folgender präziser Form von Charles de La Vallée Poussin, (für eine positive Konstante , wo das Landau-Symbol ist), dass tatsächlich existiert und 1 ist. Der Primzahlsatz wurde 1896 unabhängig von Jacques Hadamard und Charles de La Vallée Poussin (ohne Restabschätzung) bewiesen. (de)
- Legendre's constant is a mathematical constant occurring in a formula conjectured by Adrien-Marie Legendre to capture the asymptotic behavior of the prime-counting function . Its value is now known to be 1. Examination of available numerical evidence for known primes led Legendre to suspect that satisfies an approximate formula. Legendre conjectured in 1808 that where ....OEIS: Or similarly, where B is Legendre's constant. He guessed B to be about 1.08366, but regardless of its exact value, the existence of B implies the prime number theorem. Pafnuty Chebyshev proved in 1849 that if the limit B exists, it must be equal to 1. An easier proof was given by Pintz in 1980. It is an immediate consequence of the prime number theorem, under the precise form with an explicit estimate of the error term (for some positive constant a, where O(…) is the big O notation), as proved in 1899 by Charles de La Vallée Poussin, that B indeed is equal to 1. (The prime number theorem had been proved in 1896, independently by Jacques Hadamard and La Vallée Poussin, but without any estimate of the involved error term). Being evaluated to such a simple number has made the term Legendre's constant mostly only of historical value, with it often (technically incorrectly) being used to refer to Legendre's first guess 1.08366... instead. Pierre Dusart proved in 2010 for , and for . (en)
- La constante de Legendre (B o B'L) es una constante matemática que se presenta en una fórmula propuesta por Adrien-Marie Legendre que, según conjeturaba, explicaba el comportamiento asintótico de la función contador de números primos . Se sabe que su valor es exactamente 1. (es)
- La constante de Legendre est une constante mathématique proposée par le mathématicien Adrien-Marie Legendre et qui n'a aujourd'hui plus qu'un intérêt historique. Legendre conjecture en 1808 une forme précise de ce qu’on appellera plus tard le théorème des nombres premiers. Il écrit : « Quoique la suite des nombres premiers soit extrêmement irrégulière, on peut cependant trouver avec une précision très satisfaisante, combien il y a de ces nombres depuis 1 jusqu’à une limite donnée x. La formule qui résout cette question est log.x étant un logarithme hyperbolique. » En d’autres termes, Legendre affirme que où et où π(x) désigne la fonction de compte des nombres premiers inférieurs à x. Le nombre , qui existe, est appelé constante de Legendre. Mais sa valeur n’est pas celle supposée par Legendre. En 1849, Tchebycheff démontre que si la limite existe, elle doit être égale à 1. Une preuve plus simple est donnée par Pintz en 1980. C'est une conséquence immédiate du théorème des nombres premiers (qui avait été démontré en 1896 indépendamment par Jacques Hadamard et par Charles-Jean de La Vallée Poussin), sous la forme plus précise démontrée en 1899 par La Vallée Poussin que et donc que A existe et vaut 1. (fr)
- La costante di Legendre è una costante matematica che appare nella formulazione di Legendre del teorema dei numeri primi. Essa è definita come dove è il numero dei primi inferiori a . Il valore effettivo della costante è stato oggetto di numerosi studi; è stato infine dimostrato da Charles Jean de la Vallée-Poussin che essa vale 1, per cui il suo utilizzo riveste ad oggi unicamente un valore storico. Legendre aveva congetturato nel 1796 che π(x) è asintotico a ove B è una qualunque numero reale, ipotizzando inoltre che, tra tutte le possibili scelte di b, la migliore approssimazione è quella che si ottiene scegliendo B = 1,08366. Tuttavia, la dimostrazione del Teorema dei numeri primi (con la stima del termine d'errore) provata da de la Vallée-Poussin nel 1899, implica che la migliore approssimazione si ottiene con B = 1, contrariamente a quanto predetto da Legendre. (it)
- 르장드르 상수(영어: Legendre constant) 는 르장드르의 소수정리에서의 작용 값이다. 일반적인 소수 정리에서 두 함수 와 의 비에서 가 무한히 커질수록 에 수렴한다는 것을 예약하면,르장드르의 소수정리는 다음과 같이 표현된다. (ko)
- ルジャンドル定数（ルジャンドルていすう、英語: Legendre's constant）は、アドリアン＝マリ・ルジャンドルにより素数計数関数の漸近的振る舞いを捉えるために予想された式に含まれる数学定数である。現在、この値はぴったり1であることが分かっている。 ルジャンドルは、既知の素数に関して使用できた数値的証拠を研究し、が近似式を満たしていることを考えた。 ルジャンドルが1808年にした予想は ここで....A228211である。もしくは同様にして ここでBはルジャンドル定数である。ルジャンドルはBがおよそ1.08366であると推測したが、その正確な値にかかわらずBの存在は素数定理を暗に含む。 1849年にパフヌティ・チェビシェフがBに極限が存在するとき、Bは1に等しくなくてはならないことを証明した。より簡単な証明がPintzにより1980年に与えられている。 これは、誤差項の明示的推定を伴う正確な形式の下での、素数定理の直接的な帰結である。 （ある正の定数aの場合。ここでO(…) はランダウの記号である）。これは1899年にCharles de La Vallée PoussinによってBが実際に1に等しいことが証明された。（素数定理は1896年にジャック・アダマールとLa Vallée Poussinにより独立に証明されたが、関連する誤差項の推定はなかった。） このように単純な数値と評価されることで、ルジャンドル定数という用語はほぼ歴史的価値のある定数となった。（専門的には誤りであるが）しばしばルジャンドルが最初に推測した1.08366...という値が参照されることがある。 2010年にピエール・デザルトは次の式を証明した。 for および for . これは次の形式と同じである。 with . (ja)
- Stała Legendre’a to stała niewykorzystywana obecnie w matematyce, której znaczenie jest jedynie historyczne. Przed odkryciem twierdzenia o liczbach pierwszych, matematyk francuski Adrien-Marie Legendre, bazując na dostępnej ówcześnie wiedzy, wysunął hipotezę dotyczącą częstości występowanie liczb pierwszych: Wtedy: Wielkość tą nazwano stałą Legendre’a. Później Gauss doszedł do wniosku, że wartość stałej może być nieco niższa. Okazuje się, że najlepszym przybliżeniem B′L jest wartość 1. Dlatego też stała Legendre’a nie jest obecnie używana. (pl)
- Константа Лежандра — это математическая константа, появляющаяся в гипотетической формуле, предложенной Адриеном Мари Лежандром для функции распределения простых чисел . Сейчас известно, что это число в точности равно 1. Изучение доступных численных данных для простых чисел привели Лежандра к предположению, что удовлетворяет аппроксимационной формуле. Лежандр в 1808 предположил, что , где ….. Или, аналогично , где B — константа Лежандра. Он высказал предположение, что B равно примерно 1,08366, но, независимо от его точного значения, из существования B следует теорема о распределении простых чисел. Пафнутий Львович Чебышёв доказал в 1849, что если предел B существует, он должен быть в точности равен 1. Более простое доказательство дал в 1980 Пинтц. Из теоремы о распределении простых чисел немедленно следует формула с точным остаточным членом при (с некоторой положительной константой a, а O(…) — O большое). В 1899 Шарль де ла Валле-Пуссен доказал, что B равно 1. (Теорема о распределении простых чисел была доказана в 1896 независимо Жаком Адамаром и ла Валле-Пуссеном, но без оценки ошибки). Когда оказалось, что константа Лежандра является столь элементарным числом, понятие константы Лежандра стало иметь, большей частью, лишь историческое значение, но часто (неверно) константа упоминается как имеющая значение 1,08366… . Пьер Дюзар доказал в 2010 для , и для . Это можно переписать как with . (ru)
- 勒让德常数是一个出现在素数计数函数的渐近展开式中的数学常数，其值經證明為1。 勒让德在研究素数的分布情况时，发现满足以下等式： 其中是一个常数，称为勒让德常数。他估计大约为1.08366，但不管它的值是什么，只要它存在，就证明了素数定理。 后来高斯也对素数进行了研究，得出结论，可能更小。 最终比利時數學家证明了正好等于1。 (zh)
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- La constante de Legendre (B o B'L) es una constante matemática que se presenta en una fórmula propuesta por Adrien-Marie Legendre que, según conjeturaba, explicaba el comportamiento asintótico de la función contador de números primos . Se sabe que su valor es exactamente 1. (es)
- 르장드르 상수(영어: Legendre constant) 는 르장드르의 소수정리에서의 작용 값이다. 일반적인 소수 정리에서 두 함수 와 의 비에서 가 무한히 커질수록 에 수렴한다는 것을 예약하면,르장드르의 소수정리는 다음과 같이 표현된다. (ko)
- Stała Legendre’a to stała niewykorzystywana obecnie w matematyce, której znaczenie jest jedynie historyczne. Przed odkryciem twierdzenia o liczbach pierwszych, matematyk francuski Adrien-Marie Legendre, bazując na dostępnej ówcześnie wiedzy, wysunął hipotezę dotyczącą częstości występowanie liczb pierwszych: Wtedy: Wielkość tą nazwano stałą Legendre’a. Później Gauss doszedł do wniosku, że wartość stałej może być nieco niższa. Okazuje się, że najlepszym przybliżeniem B′L jest wartość 1. Dlatego też stała Legendre’a nie jest obecnie używana. (pl)
- 勒让德常数是一个出现在素数计数函数的渐近展开式中的数学常数，其值經證明為1。 勒让德在研究素数的分布情况时，发现满足以下等式： 其中是一个常数，称为勒让德常数。他估计大约为1.08366，但不管它的值是什么，只要它存在，就证明了素数定理。 后来高斯也对素数进行了研究，得出结论，可能更小。 最终比利時數學家证明了正好等于1。 (zh)
- La constant de Legendre és una constant matemàtica que apareix en una conjectura d'Adrien-Marie Legendre que mostra el comportament asimptòtic de la funció de recompte de primers . Se sap actualment que el seu valor és 1. Una anàlisi de les demostracions numèriques disponibles llavors sobre els nombres primers van fer sospitar a Legendre que satisfeia una fórmula aproximada. Legendre va conjecturar l'any 1808 que: on .... és la seqüència A228211 de l'OEIS. O, cosa que és el mateix: Pierre Dusart va demostrar, l'any 2010 que: per , i per . Això té la mateixa forma que: amb . (ca)
- Legendrova konstanta je matematická konstanta, kterou použil Adrien-Marie Legendre ve svém vzorci odhadujícím prvočíselné funkce . Její hodnotu odhadl na 1,08366, později však bylo dokázáno, že příslušná limita má hodnotu přesně 1. Legendre odhadl prvočíselnou funkci jako , přičemž hodnotu na základě známých dat o prvočíslech odhadl na 1,08366. (Bez ohledu na přesnou hodnotu této limity by její existence znamenala důkaz prvočíselné věty.) Pro vyšší hodnoty je však vidět, že se hodnota začíná odhadované hodnotě vzdalovat (cs)
- Die Legendre-Konstante ist eine mathematische Konstante, die in einer 1798 von Adrien-Marie Legendre aufgestellten Formel auftritt, welche die Anzahl der Primzahlen abschätzt, die nicht größer als eine gegebene Zahl sind. Ihr Wert wurde später als genau 1 bestimmt. Legendre vermutete auf Grund seiner Überlegungen zur Häufigkeit von Primzahlen, dass der folgende Grenzwert existiert: Pafnuti Lwowitsch Tschebyschow bewies 1849, dass dieser Grenzwert den Wert 1 hat, sofern er existiert. Ein einfacher Beweis wurde 1980 von János Pintz veröffentlicht. (de)
- Legendre's constant is a mathematical constant occurring in a formula conjectured by Adrien-Marie Legendre to capture the asymptotic behavior of the prime-counting function . Its value is now known to be 1. Examination of available numerical evidence for known primes led Legendre to suspect that satisfies an approximate formula. Legendre conjectured in 1808 that where ....OEIS: Or similarly, where B is Legendre's constant. He guessed B to be about 1.08366, but regardless of its exact value, the existence of B implies the prime number theorem. Pierre Dusart proved in 2010 for , and for . (en)
- La costante di Legendre è una costante matematica che appare nella formulazione di Legendre del teorema dei numeri primi. Essa è definita come dove è il numero dei primi inferiori a . Il valore effettivo della costante è stato oggetto di numerosi studi; è stato infine dimostrato da Charles Jean de la Vallée-Poussin che essa vale 1, per cui il suo utilizzo riveste ad oggi unicamente un valore storico. Legendre aveva congetturato nel 1796 che π(x) è asintotico a (it)
- La constante de Legendre est une constante mathématique proposée par le mathématicien Adrien-Marie Legendre et qui n'a aujourd'hui plus qu'un intérêt historique. Legendre conjecture en 1808 une forme précise de ce qu’on appellera plus tard le théorème des nombres premiers. Il écrit : « Quoique la suite des nombres premiers soit extrêmement irrégulière, on peut cependant trouver avec une précision très satisfaisante, combien il y a de ces nombres depuis 1 jusqu’à une limite donnée x. La formule qui résout cette question est que et donc que A existe et vaut 1. (fr)
- ルジャンドル定数（ルジャンドルていすう、英語: Legendre's constant）は、アドリアン＝マリ・ルジャンドルにより素数計数関数の漸近的振る舞いを捉えるために予想された式に含まれる数学定数である。現在、この値はぴったり1であることが分かっている。 ルジャンドルは、既知の素数に関して使用できた数値的証拠を研究し、が近似式を満たしていることを考えた。 ルジャンドルが1808年にした予想は ここで....A228211である。もしくは同様にして ここでBはルジャンドル定数である。ルジャンドルはBがおよそ1.08366であると推測したが、その正確な値にかかわらずBの存在は素数定理を暗に含む。 1849年にパフヌティ・チェビシェフがBに極限が存在するとき、Bは1に等しくなくてはならないことを証明した。より簡単な証明がPintzにより1980年に与えられている。 これは、誤差項の明示的推定を伴う正確な形式の下での、素数定理の直接的な帰結である。 （ある正の定数aの場合。ここでO(…) はランダウの記号である）。これは1899年にCharles de La Vallée PoussinによってBが実際に1に等しいことが証明された。（素数定理は1896年にジャック・アダマールとLa Vallée Poussinにより独立に証明されたが、関連する誤差項の推定はなかった。） for および for . (ja)
- Константа Лежандра — это математическая константа, появляющаяся в гипотетической формуле, предложенной Адриеном Мари Лежандром для функции распределения простых чисел . Сейчас известно, что это число в точности равно 1. Изучение доступных численных данных для простых чисел привели Лежандра к предположению, что удовлетворяет аппроксимационной формуле. Лежандр в 1808 предположил, что , где ….. Или, аналогично , Пафнутий Львович Чебышёв доказал в 1849, что если предел B существует, он должен быть в точности равен 1. Более простое доказательство дал в 1980 Пинтц. при Пьер Дюзар доказал в 2010 (ru)
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