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- Der Satz von Krein-Milman (nach Mark Grigorjewitsch Krein und David Milman) ist ein Lehrsatz aus dem mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis. (de)
- In the mathematical theory of functional analysis, the Krein–Milman theorem is a proposition about compact convex sets in locally convex topological vector spaces (TVSs). Krein–Milman theorem — A compact convex subset of a Hausdorff locally convex topological vector space is equal to the closed convex hull of its extreme points. This theorem generalizes to infinite-dimensional spaces and to arbitrary compact convex sets the following basic observation: a convex (i.e. "filled") triangle, including its perimeter and the area "inside of it", is equal to the convex hull of its three vertices, where these vertices are exactly the extreme points of this shape. This observation also holds for any other convex polygon in the plane (en)
- Le théorème de Krein-Milman est un théorème, démontré par Mark Krein et David Milman en 1940, qui généralise à certains espaces vectoriels topologiques un résultat géométrique portant sur les ensembles convexes énoncé par Hermann Minkowski en dimension finie (et souvent improprement dénommé lui-même « théorème de Krein-Milman »). Une forme particulièrement simplifiée du théorème s'énonce : tout polygone convexe est l'enveloppe convexe de l'ensemble de ses sommets. Cela est vrai aussi d'un polytope convexe. (fr)
- 数学の函数解析学の分野において、クレイン＝ミルマンの定理（クレイン＝ミルマンのていり、英: Krein–Milman theorem）とは、位相ベクトル空間内の凸集合に関するある命題である。この定理の容易に可視化できる特別な場合では、与えられた凸多角形に対し、その角の部分だけで全体の形を復元できるということが述べられている。しかしその多角形が凸でない場合には、角として与えられた点から多角形を描く方法が多く存在し得るため、この定理の内容は偽となる。 正式には、 を（ハウスドルフと仮定される）局所凸位相ベクトル空間とし、 を のコンパクトな凸部分集合とするとき、 はその極点の閉凸包となることが、この定理では主張されている。 上述の閉凸包は、 を含むすべての の閉部分集合の共通部分として定義される。そしてそれは、位相ベクトル空間内の凸包の閉包と等しいことが知られている。定理の証明は、ある部分では容易であるが、「十分な」極点の存在を示すという点に主な難しさがある。 マルク・クレインとによって証明された元の定理の内容は、ここで述べたものより若干一般性に欠けるものとなっている。 その定理より以前に、ヘルマン・ミンコフスキーは、 が有限次元であるなら はその極点の集合の凸包と等しいことを示していた。クレイン＝ミルマンの定理は、その結果を任意の局所凸空間 に対して一般化するものであったが、閉包が必要となり得るという注意も付されていた。 (ja)
- 함수해석학의 수학 정리에서 크레인-밀만 정리는 위상 벡터 공간의 볼록 집합에 관한 정리이다. 이 정리의 쉽게 시각화 할 수 있고 주어진 볼록 다각형을 나타내는 특별한 경우에는, 다각형 모양을 복원하기 위해서는 다각형의 꼭짓점만이 필요하다. 이 정리의 명제는 다각형이 볼록이 아닐 때는 거짓이다, 그러면 주어진 점을 꼭짓점으로 나타내는 다각형을 그리는 많은 방법이 있다. 형식적으로, 를 국소 볼록 공간이라 하고 (하우스도르프 공간이라고 가정되었다), 를 의 콤팩트 볼록 부분집합이라고 하자. 그러면, 정리는 는 그 극점의 닫힌 볼록 폐포라고 한다. 위의 닫힌 볼록 폐포는 를 포함하는 의 모든 닫힌 볼록 부분 집합의 교집합으로 정의된다. 이것은 위상 벡터 공간에서 볼록 폐포의 폐포에서도 같다. 이 정리의 한 방향은 쉽다; 가장 큰 문제는 '충분한' 극점이 있다는 것을 보이는 것이다. 마르크 크레인과 에 의해 증명된 원래 명제는 이것보다는 어떻게든 덜 일반적이다. 헤르만 민코프스키는 이미 가 유한 차원일 때,ㅣ는 그 극점의 집합의 볼록 폐포와 같다는 것을 이미 증명했다. 크레인–밀만 정리는 이것을 조건과 함께 산술적 국소 볼록 로 일반화 시킨다: 폐포가 필요하다. (ko)
- Il teorema di Krein-Milman è una proposizione riguardante gli insiemi convessi in uno spazio vettoriale topologico. Un caso particolare di questo teorema afferma che, dato un poligono convesso, è sufficiente sapere quali sono i suoi angoli per ricostruirne l'immagine intera. L'enunciato è falso però se il poligono non è convesso: in questo caso, ci sono più modi per disegnare un poligono dati gli angoli. Formalmente, si consideri uno spazio vettoriale topologico localmente convesso , che si assume di Hausdorff. Preso un suo sottinsieme compatto e convesso, il teorema afferma che esso è l'inviluppo convesso chiuso dei suoi punti estremali. Hermann Minkowski aveva già dimostrato che in uno spazio di dimensione finita ogni sottinsieme convesso era l'inviluppo convesso dei propri punti estremali. Il teorema di Krein-Milman è una generalizzazione ad arbitrari spazi localmente convessi, con l'aggiunta però della chiusura. Il teorema prende il nome dai matematici Mark Krejn e David Mil'man. (it)
- Twierdzenie Krejna-Milmana – twierdzenie analizy funkcjonalnej sformułowane w 1940 roku przez radzieckich matematyków Marka Krejna i Dawida Milmana. Przy założeniu twierdzenia o ideale pierwszym (BPI) jest ono równoważne aksjomatowi wyboru (AC) na gruncie aksjomatyki Zermela-Fraenkla: Zwarty zbiór wypukły lokalnie wypukłej przestrzeni liniowo-topologicznej jest domknięciem otoczki wypukłej zbioru swoich punktów ekstremalnych. W szczególności może być przestrzenią unormowaną. Pod nazwą „twierdzenie Krejna-Milmana” rozumie się czasami następujące twierdzenie: przestrzeni sprzężonej do rzeczywistej przestrzeni unormowanej ma punkt ekstremalny. (pl)
- Теорема Крейна — Мильмана — важный факт из выпуклого анализа в линейных топологических пространствах.Доказана Марком Крейном и Давидом Мильманом в 1940 году. (ru)
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- Hermann Minkowski (en)
- Ernst Steinitz (en)
- Nicolas Monod (en)
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- David (en)
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- Monod (en)
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- Suppose is a Hausdorff locally convex topological vector space and is a compact and convex subset of
Then is equal to the closed convex hull of its extreme points:
Moreover, if then is equal to the closed convex hull of if and only if where is closure of (en)
- Every non-empty compact convex subset of a Hausdorff locally convex topological vector space has an extreme point; that is, the set of its extreme points is not empty. (en)
- A compact convex subset of a Hausdorff locally convex topological vector space is equal to the closed convex hull of its extreme points. (en)
- If is a compact subset of a Hausdorff locally convex topological vector space then the set of extreme points of has the same closed convex hull as (en)
- Suppose is a Hausdorff locally convex topological vector space and is a non-empty convex subset of with the property that whenever is a cover of by closed subsets of such that has the finite intersection property, then is not empty.
Then is not empty. (en)
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- Krein–Milman theorem (en)
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- Der Satz von Krein-Milman (nach Mark Grigorjewitsch Krein und David Milman) ist ein Lehrsatz aus dem mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis. (de)
- Le théorème de Krein-Milman est un théorème, démontré par Mark Krein et David Milman en 1940, qui généralise à certains espaces vectoriels topologiques un résultat géométrique portant sur les ensembles convexes énoncé par Hermann Minkowski en dimension finie (et souvent improprement dénommé lui-même « théorème de Krein-Milman »). Une forme particulièrement simplifiée du théorème s'énonce : tout polygone convexe est l'enveloppe convexe de l'ensemble de ses sommets. Cela est vrai aussi d'un polytope convexe. (fr)
- 함수해석학의 수학 정리에서 크레인-밀만 정리는 위상 벡터 공간의 볼록 집합에 관한 정리이다. 이 정리의 쉽게 시각화 할 수 있고 주어진 볼록 다각형을 나타내는 특별한 경우에는, 다각형 모양을 복원하기 위해서는 다각형의 꼭짓점만이 필요하다. 이 정리의 명제는 다각형이 볼록이 아닐 때는 거짓이다, 그러면 주어진 점을 꼭짓점으로 나타내는 다각형을 그리는 많은 방법이 있다. 형식적으로, 를 국소 볼록 공간이라 하고 (하우스도르프 공간이라고 가정되었다), 를 의 콤팩트 볼록 부분집합이라고 하자. 그러면, 정리는 는 그 극점의 닫힌 볼록 폐포라고 한다. 위의 닫힌 볼록 폐포는 를 포함하는 의 모든 닫힌 볼록 부분 집합의 교집합으로 정의된다. 이것은 위상 벡터 공간에서 볼록 폐포의 폐포에서도 같다. 이 정리의 한 방향은 쉽다; 가장 큰 문제는 '충분한' 극점이 있다는 것을 보이는 것이다. 마르크 크레인과 에 의해 증명된 원래 명제는 이것보다는 어떻게든 덜 일반적이다. 헤르만 민코프스키는 이미 가 유한 차원일 때,ㅣ는 그 극점의 집합의 볼록 폐포와 같다는 것을 이미 증명했다. 크레인–밀만 정리는 이것을 조건과 함께 산술적 국소 볼록 로 일반화 시킨다: 폐포가 필요하다. (ko)
- Теорема Крейна — Мильмана — важный факт из выпуклого анализа в линейных топологических пространствах.Доказана Марком Крейном и Давидом Мильманом в 1940 году. (ru)
- In the mathematical theory of functional analysis, the Krein–Milman theorem is a proposition about compact convex sets in locally convex topological vector spaces (TVSs). Krein–Milman theorem — A compact convex subset of a Hausdorff locally convex topological vector space is equal to the closed convex hull of its extreme points. (en)
- Il teorema di Krein-Milman è una proposizione riguardante gli insiemi convessi in uno spazio vettoriale topologico. Un caso particolare di questo teorema afferma che, dato un poligono convesso, è sufficiente sapere quali sono i suoi angoli per ricostruirne l'immagine intera. L'enunciato è falso però se il poligono non è convesso: in questo caso, ci sono più modi per disegnare un poligono dati gli angoli. Il teorema prende il nome dai matematici Mark Krejn e David Mil'man. (it)
- 数学の函数解析学の分野において、クレイン＝ミルマンの定理（クレイン＝ミルマンのていり、英: Krein–Milman theorem）とは、位相ベクトル空間内の凸集合に関するある命題である。この定理の容易に可視化できる特別な場合では、与えられた凸多角形に対し、その角の部分だけで全体の形を復元できるということが述べられている。しかしその多角形が凸でない場合には、角として与えられた点から多角形を描く方法が多く存在し得るため、この定理の内容は偽となる。 正式には、 を（ハウスドルフと仮定される）局所凸位相ベクトル空間とし、 を のコンパクトな凸部分集合とするとき、 はその極点の閉凸包となることが、この定理では主張されている。 上述の閉凸包は、 を含むすべての の閉部分集合の共通部分として定義される。そしてそれは、位相ベクトル空間内の凸包の閉包と等しいことが知られている。定理の証明は、ある部分では容易であるが、「十分な」極点の存在を示すという点に主な難しさがある。 マルク・クレインとによって証明された元の定理の内容は、ここで述べたものより若干一般性に欠けるものとなっている。 (ja)
- Twierdzenie Krejna-Milmana – twierdzenie analizy funkcjonalnej sformułowane w 1940 roku przez radzieckich matematyków Marka Krejna i Dawida Milmana. Przy założeniu twierdzenia o ideale pierwszym (BPI) jest ono równoważne aksjomatowi wyboru (AC) na gruncie aksjomatyki Zermela-Fraenkla: Zwarty zbiór wypukły lokalnie wypukłej przestrzeni liniowo-topologicznej jest domknięciem otoczki wypukłej zbioru swoich punktów ekstremalnych. W szczególności może być przestrzenią unormowaną. Pod nazwą „twierdzenie Krejna-Milmana” rozumie się czasami następujące twierdzenie: (pl)
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- Satz von Krein-Milman (de)
- Théorème de Krein-Milman (fr)
- Teorema di Krein-Milman (it)
- Krein–Milman theorem (en)
- 크레인-밀만 정리 (ko)
- クレイン＝ミルマンの定理 (ja)
- Twierdzenie Krejna-Milmana (pl)
- Теорема Крейна — Мильмана (ru)
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