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- Jade Mirror of the Four Unknowns, Siyuan yujian (四元玉鉴), also referred to as Jade Mirror of the Four Origins, is a 1303 mathematical monograph by Yuan dynasty mathematician Zhu Shijie. Zhu advanced Chinese algebra with this Magnum opus. The book consists of an introduction and three books, with a total of 288 problems. The first four problems in the introduction illustrate his method of the four unknowns. He showed how to convert a problem stated verbally into a system of polynomial equations (up to the 14th order), by using up to four unknowns: 天 Heaven, 地 Earth, 人 Man, 物 Matter, and then how to reduce the system to a single polynomial equation in one unknown by successive elimination of unknowns. He then solved the high-order equation by Southern Song dynasty mathematician Qin Jiushao's "Ling long kai fang" method published in Shùshū Jiǔzhāng (“Mathematical Treatise in Nine Sections”) in 1247 (more than 570 years before English mathematician William Horner's method using synthetic division). To do this, he makes use of the Pascal triangle, which he labels as the diagram of an ancient method first discovered by Jia Xian before 1050. Zhu also solved square and cube roots problems by solving quadratic and cubic equations, and added to the understanding of series and progressions, classifying them according to the coefficients of the Pascal triangle. He also showed how to solve systems of linear equations by reducing the matrix of their coefficients to diagonal form. His methods predate Blaise Pascal, William Horner, and modern matrix methods by many centuries. The preface of the book describes how Zhu travelled around China for 20 years as a teacher of mathematics. Jade Mirror of the Four Unknowns consists of four books, with 24 classes and 288 problems, in which 232 problems deal with Tian yuan shu, 36 problems deal with variable of two variables, 13 problems of three variables, and 7 problems of four variables. (en)
- Le Miroir de Jade des Quatre Inconnues, ou Siyuan yujian (四元玉鉴), également connu sous le nom de Miroir de Jade des Quatre Origines, est une monographie mathématique de 1303 écrite par le mathématicien Zhu Shijie de la dynastie Yuan. Le livre se compose d'une introduction et de trois volumes, le tout contenant un total de 288 problèmes. Les quatre premiers problèmes de l'introduction servent à illustrer sa méthode des quatre inconnues. Il montre comment convertir un problème énoncé verbalement en un système d'équations polynomiales (jusqu'au 14e ordre), en utilisant jusqu'à quatre inconnues : 天Ciel, 地Terre, 人Homme et 物Matter. Puis il montre comment réduire ce système à une seule équation polynomiale à une inconnue, par élimination successive des inconnues. Il résout ensuite l'équation de degré supérieur posée par le mathématicien Qin Jiushao, qui a vécu sous la dynastie Song, dans sa méthode "Ling long kai fang", publiée en 1247 dans le Shùshū Jiǔzhāng (“Traité mathématique en neuf sections”). Pour ce faire, Zhu utilise ce que nous appelons le triangle de Pascal, et qui est pour lui "la méthode de Jia Xian présentée dans le Shi Suo Suan Shu", Jia étant un mathématicien chinois ayant vécu entre 1010 et 1070. Zhu résout également des problèmes de racines carrées et cubiques en résolvant des équations quadratiques et cubiques, et améliore la compréhension des séries et des progressions, les classant selon les coefficients du triangle de Pascal. Il a également montré comment résoudre des systèmes d'équations linéaires en réduisant la matrice de leurs coefficients à des (en). Ses méthodes datent de plusieurs siècles avant Blaise Pascal, William Horner et les méthodes matricielles modernes. La préface du livre décrit comment Zhu a voyagé en Chine pendant 20 ans en tant que professeur de mathématiques. Le Miroir de Jade des Quatre Inconnues se compose de quatre livres, avec 24 classes et 288 problèmes, dont 232 problèmes à une variable tirés du (en), 36 problèmes à deux variables, 13 problèmes à trois variables, et 7 problèmes à quatre variables. (fr)
- Espelho de Jade dos Quatro Desconhecidos Siyuan yujian (四元玉鉴), também conhecido como Espelho de Jade das Quatro Origens, é uma monografia matemática 1303 do matemático da dinastia Yuan, Zhu Shijie. Com esta obra-prima, Zhu levou a álgebra chinesa ao seu nível mais alto. (pt)
- 《四元玉鉴》是中国元朝数学家朱世傑的代表作，成书于大德七年（1303年）。书中主要讲述了多元（一元至四元）高次方程组的建立和化为一元高次方程（最高达14次）的消元法。建立四元高次方程及根据逐次消元法将多元高次方程化为一元高次方程的方法称为四元术。 四元术中根据题目设立四个未知数（天元，地元，人元，物元），和一组四个多元高次非线性方程组。然后从这些方程组中消去一个未知数，得到三个未知数的高次多项式方程组；接着从这三个三元高次方程组中消去第二个未知数，得到两个含两个未知数的高元多项式方程组；下一步从两个二元高次方程组中再消去一个未知数，最后得到只含一个未知数的的高次方程式。 建立方程以及求解方程的机械化方法，是中国传统数学的核心。张苍《九章算术》阐明了解多元线性方程的消元法（即后来高斯重新发现的高斯消元法）。宋朝秦九韶《数学九章》的玲珑开发法解决了一元高次多项式方程的求根问题。朱世杰将张苍消元法推广到多元非线性多项式方程组，将其化为一元高次多项式方程，正可以秦九韶的玲珑开方法求解。在建立方程方面，朱世杰将天元术，推广到多元变数。《四元玉鉴》融汇了张苍消元法，秦九韶玲珑开方法和天元术成就，是中国传统数学的集大成者，将中国传统数学的机械化算法推进到一个高峰。 《四元玉鉴》承前启后，继往开来，其多元多项式方程组的消元法，成为吴文俊院士的特征列数学机械化的基础之一的吴消元法。 此外，《四元玉鉴》还讲述了关于垛积术（三角垛、三角撒星垛、四角垛、圆锥垛、刍童垛、刍甍垛等高阶等差级数的求和问题和反问题）与招差术。 《四元玉鉴》分卷首、上卷、中卷、下卷，24门，收录288问，包括天元术232问，二元术36问，三元术13问，四元术7问。卷首四问是例题，有草（解题步骤），其他284问只有术而没有草。1837年，清代数学家罗士琳补草，刊行《四元玉鉴细草》三卷。 (zh)
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- Espelho de Jade dos Quatro Desconhecidos Siyuan yujian (四元玉鉴), também conhecido como Espelho de Jade das Quatro Origens, é uma monografia matemática 1303 do matemático da dinastia Yuan, Zhu Shijie. Com esta obra-prima, Zhu levou a álgebra chinesa ao seu nível mais alto. (pt)
- Jade Mirror of the Four Unknowns, Siyuan yujian (四元玉鉴), also referred to as Jade Mirror of the Four Origins, is a 1303 mathematical monograph by Yuan dynasty mathematician Zhu Shijie. Zhu advanced Chinese algebra with this Magnum opus. Jade Mirror of the Four Unknowns consists of four books, with 24 classes and 288 problems, in which 232 problems deal with Tian yuan shu, 36 problems deal with variable of two variables, 13 problems of three variables, and 7 problems of four variables. (en)
- Le Miroir de Jade des Quatre Inconnues, ou Siyuan yujian (四元玉鉴), également connu sous le nom de Miroir de Jade des Quatre Origines, est une monographie mathématique de 1303 écrite par le mathématicien Zhu Shijie de la dynastie Yuan. Le Miroir de Jade des Quatre Inconnues se compose de quatre livres, avec 24 classes et 288 problèmes, dont 232 problèmes à une variable tirés du (en), 36 problèmes à deux variables, 13 problèmes à trois variables, et 7 problèmes à quatre variables. (fr)
- 《四元玉鉴》是中国元朝数学家朱世傑的代表作，成书于大德七年（1303年）。书中主要讲述了多元（一元至四元）高次方程组的建立和化为一元高次方程（最高达14次）的消元法。建立四元高次方程及根据逐次消元法将多元高次方程化为一元高次方程的方法称为四元术。 四元术中根据题目设立四个未知数（天元，地元，人元，物元），和一组四个多元高次非线性方程组。然后从这些方程组中消去一个未知数，得到三个未知数的高次多项式方程组；接着从这三个三元高次方程组中消去第二个未知数，得到两个含两个未知数的高元多项式方程组；下一步从两个二元高次方程组中再消去一个未知数，最后得到只含一个未知数的的高次方程式。 建立方程以及求解方程的机械化方法，是中国传统数学的核心。张苍《九章算术》阐明了解多元线性方程的消元法（即后来高斯重新发现的高斯消元法）。宋朝秦九韶《数学九章》的玲珑开发法解决了一元高次多项式方程的求根问题。朱世杰将张苍消元法推广到多元非线性多项式方程组，将其化为一元高次多项式方程，正可以秦九韶的玲珑开方法求解。在建立方程方面，朱世杰将天元术，推广到多元变数。《四元玉鉴》融汇了张苍消元法，秦九韶玲珑开方法和天元术成就，是中国传统数学的集大成者，将中国传统数学的机械化算法推进到一个高峰。 《四元玉鉴》承前启后，继往开来，其多元多项式方程组的消元法，成为吴文俊院士的特征列数学机械化的基础之一的吴消元法。 (zh)
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