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- Als Hilbertraumbasis wird in der Funktionalanalysis eine Basis eines Hilbertraums bezeichnet. Ein Hilbertraum ist ein (oft unendlichdimensionaler) Vektorraum, der mit einem Skalarprodukt ausgestattet ist und mit der induzierten Norm vollständig ist. Der natürliche Basisbegriff eines Hilbertraums ist die Verallgemeinerung der Orthonormalbasis der euklidischen Geometrie, das vollständige Orthonormalsystem bzw. die Hilbertbasis. Manchmal, z. B. in der Wavelettheorie, arbeitet man mit Erzeugendensystemen eines Hilbertraumes, von denen die Orthogonalität nur schwer oder gar nicht nachzuweisen ist. Dieser Artikel beschäftigt sich vornehmlich mit solchen Hilbertraumbasen, die keine Orthonormalsysteme, also keine Hilbertbasen sind. Im endlichdimensionalen Fall ist die Alternative zu einer Orthonormalbasis eine allgemeine, nicht orthogonale Basis. Für jede Basis im Endlichdimensionalen fallen die zwei charakteristischen Eigenschaften zusammen: Eine Basis ist ein maximales linear unabhängiges System und gleichzeitig ein minimales Erzeugendensystem. Im unendlichdimensionalen Fall ist das „stabile“ Abweichen vom Begriff der Hilbert-Basis nicht so einfach. Von Spezialfällen abgesehen, verlangt man von einer Basis jedoch, dass jeder Vektor des Hilbertraums eindeutig bestimmte Koordinaten besitzt, die sich stetig mit dem Vektor ändern, sowie dass jeder Vektor durch seine Koordinaten eineindeutig bestimmt wird, mehr noch, dass es zu jedem System zulässiger Koordinaten einen stetig von diesen Koordinaten abhängenden Vektor gibt. Mit anderen Worten, es soll eine bijektive, in beide Richtungen stetige lineare Abbildung des Hilbertraumes in einen Koordinatenraum geben. (de)
- Als Hilbertraumbasis wird in der Funktionalanalysis eine Basis eines Hilbertraums bezeichnet. Ein Hilbertraum ist ein (oft unendlichdimensionaler) Vektorraum, der mit einem Skalarprodukt ausgestattet ist und mit der induzierten Norm vollständig ist. Der natürliche Basisbegriff eines Hilbertraums ist die Verallgemeinerung der Orthonormalbasis der euklidischen Geometrie, das vollständige Orthonormalsystem bzw. die Hilbertbasis. Manchmal, z. B. in der Wavelettheorie, arbeitet man mit Erzeugendensystemen eines Hilbertraumes, von denen die Orthogonalität nur schwer oder gar nicht nachzuweisen ist. Dieser Artikel beschäftigt sich vornehmlich mit solchen Hilbertraumbasen, die keine Orthonormalsysteme, also keine Hilbertbasen sind. Im endlichdimensionalen Fall ist die Alternative zu einer Orthonormalbasis eine allgemeine, nicht orthogonale Basis. Für jede Basis im Endlichdimensionalen fallen die zwei charakteristischen Eigenschaften zusammen: Eine Basis ist ein maximales linear unabhängiges System und gleichzeitig ein minimales Erzeugendensystem. Im unendlichdimensionalen Fall ist das „stabile“ Abweichen vom Begriff der Hilbert-Basis nicht so einfach. Von Spezialfällen abgesehen, verlangt man von einer Basis jedoch, dass jeder Vektor des Hilbertraums eindeutig bestimmte Koordinaten besitzt, die sich stetig mit dem Vektor ändern, sowie dass jeder Vektor durch seine Koordinaten eineindeutig bestimmt wird, mehr noch, dass es zu jedem System zulässiger Koordinaten einen stetig von diesen Koordinaten abhängenden Vektor gibt. Mit anderen Worten, es soll eine bijektive, in beide Richtungen stetige lineare Abbildung des Hilbertraumes in einen Koordinatenraum geben. (de)
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- Als Hilbertraumbasis wird in der Funktionalanalysis eine Basis eines Hilbertraums bezeichnet. Ein Hilbertraum ist ein (oft unendlichdimensionaler) Vektorraum, der mit einem Skalarprodukt ausgestattet ist und mit der induzierten Norm vollständig ist. Der natürliche Basisbegriff eines Hilbertraums ist die Verallgemeinerung der Orthonormalbasis der euklidischen Geometrie, das vollständige Orthonormalsystem bzw. die Hilbertbasis. Manchmal, z. B. in der Wavelettheorie, arbeitet man mit Erzeugendensystemen eines Hilbertraumes, von denen die Orthogonalität nur schwer oder gar nicht nachzuweisen ist. (de)
- Als Hilbertraumbasis wird in der Funktionalanalysis eine Basis eines Hilbertraums bezeichnet. Ein Hilbertraum ist ein (oft unendlichdimensionaler) Vektorraum, der mit einem Skalarprodukt ausgestattet ist und mit der induzierten Norm vollständig ist. Der natürliche Basisbegriff eines Hilbertraums ist die Verallgemeinerung der Orthonormalbasis der euklidischen Geometrie, das vollständige Orthonormalsystem bzw. die Hilbertbasis. Manchmal, z. B. in der Wavelettheorie, arbeitet man mit Erzeugendensystemen eines Hilbertraumes, von denen die Orthogonalität nur schwer oder gar nicht nachzuweisen ist. (de)
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