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- En anàlisi complexa, el principi de Harnack o teorema de Harnack és un de diversos teoremes estretament relacionats sobre la convergència de successions de funcions harmòniques, que es deriven de la desigualtat de Harnack. Si les funcions , , ... són harmòniques en un subconjunt connex obert del pla complex C, i o bé és infinit en cada punt del domini o és finit en cada punt del domini, en ambdós casos de manera uniforme en cada subconjunt compacte de . En aquest últim cas, la funció de és harmònica en el conjunt . (ca)
- Das Harnacksche Prinzip, auch als Satz von Harnack zitiert, ist ein grundlegender Satz aus dem mathematischen Teilgebiet der Funktionentheorie, welcher auf den Mathematiker Axel Harnack (1851–1888) zurückgeht, der diesen Satz in einer Arbeit des Jahres 1886 vorgetragen hat. Das Harnacksche Prinzip behandelt das Konvergenzverhalten monoton wachsender Folgen harmonischer Funktionen. Es beruht auf der ebenfalls von Axel Harnack gefundenen und nach ihm benannten Ungleichung. (de)
- El principio de Harnack, o segundo teorma de Harnack, es un teorema básico de la rama matemática de la teoría de funciones. El matemático Axel Harnack (1851-1888) de nuevo, que ha presentado este conjunto en una obra del año 1886. El principio de Harnack trata del comportamiento de convergencia de secuencias monótonamente crecientes de funciones armónicas. Se basa en la desigualdad de Harnack del mismo autor. (es)
- In the mathematical field of partial differential equations, Harnack's principle or Harnack's theorem is a corollary of Harnack's inequality which deals with the convergence of sequences of harmonic functions. Given a sequence of harmonic functions u1, u2, ... on an open connected subset G of the Euclidean space Rn, which are pointwise monotonically nondecreasing in the sense that for every point x of G, then the limit automatically exists in the extended real number line for every x. Harnack's theorem says that the limit either is infinite at every point of G or it is finite at every point of G. In the latter case, the convergence is uniform on compact sets and the limit is a harmonic function on G. The theorem is a corollary of Harnack's inequality. If un(y) is a Cauchy sequence for any particular value of y, then the Harnack inequality applied to the harmonic function um − un implies, for an arbitrary compact set D containing y, that supD |um − un| is arbitrarily small for sufficiently large m and n. This is exactly the definition of uniform convergence on compact sets. In words, the Harnack inequality is a tool which directly propagates the Cauchy property of a sequence of harmonic functions at a single point to the Cauchy property at all points. Having established uniform convergence on compact sets, the harmonicity of the limit is an immediate corollary of the fact that the mean value property (automatically preserved by uniform convergence) fully characterizes harmonic functions among continuous functions. The proof of uniform convergence on compact sets holds equally well for any linear second-order elliptic partial differential equation, provided that it is linear so that um − un solves the same equation. The only difference is that the more general Harnack inequality holding for solutions of second-order elliptic PDE must be used, rather than that only for harmonic functions. Having established uniform convergence on compact sets, the mean value property is not available in this more general setting, and so the proof of convergence to a new solution must instead make use of other tools, such as the Schauder estimates. (en)
- En analyse complexe, le principe de Harnack est un théorème concernant la convergence de fonctions harmoniques. Si les fonctions , , ... sont harmoniques sur un ouvert connexe du plan complexe C, et en tout point de , alors la limite est soit infinie en chaque point du domaine de définition , soit finie en chaque point de ce domaine. Dans les deux cas, la convergence est uniforme sur chaque sous-ensemble compact de . Dans le second cas, la fonction est harmonique sur . (fr)
- 数学の複素解析の分野におけるハルナックの原理（ハルナックのげんり、英: Harnack's principle）あるいはハルナックの定理とは、調和函数列の収束と密接に関連した原理の一つであり、ハルナックの不等式より従う。 函数 , , ... が複素平面 C のある開連結部分集合 において調和的であり、 内のすべての点において が成立するなら、極限 はその領域 のすべての点において無限大であるか、すべての点において有限であるかのいずれかである。それらいずれの場合も、収束は の各コンパクト部分集合について一様である。後者の場合、函数 は集合 において調和的となる。 (ja)
- 하르나크의 원리(Harnack's principle, -原理)는 복소해석학 및 조화해석학의 정리로, 발트 독일인 수학자 (Carl Gustav Axel Harnack)의 이름이 붙어 있다. 하르나크의 부등식 및 하이네-보렐 정리를 사용하여 쉽게 증명할 수 있다. (ko)
- Het principe van Harnack of de stelling van Harnack is een wiskundige stelling, die valt binnen het vakgebied van de complexe analyse. Het is een van de verschillende nauw verwante stellingen over de convergentie van rijen en van harmonische functies, die volgen uit de ongelijkheid van Harnack. Het principe is genoemd naar de Baltisch-Duitse wiskunde Axel Harnack. Als de functies , harmonisch zijn in een open deelverzameling van het complexe vlak , en in elk punt van geldt: , is de limiet of oneindig in elk punt van het domein of eindig in elk punt van het domein, in beide gevallen uniform in elke compacte deelverzameling van . In het laatste geval is de functie harmonisch in de verzameling . (nl)
- Nierówność Harnacka – twierdzenie matematyczne opisujące zachowanie się ciągów funkcji harmonicznych. (pl)
- Принцип Гарнака (вторая теорема Гарнака) — теорема о свойствах монотонной последовательности гармонических в ограниченной области функций, распространяющая сходимость в некоторой точке на сходимость во всей области. Установлена немецким математиком Акселем Гарнаком в 1886 году. Формально, пусть — положительные гармонические в некоторой области функции; если ряд: сходится хотя бы в одной точке области , то он равномерно сходится внутри . (ru)
- 哈纳克定理（英語：Harnack's principle）是复分析中有关调和函数序列收敛的定理，由得到。 假设, , ...是复平面C的开连通子集上的调和函数，并且在中的每一点都有 如果极限 在上的一点收敛，则在上处处收敛于调和函数 且收敛在的任一闭子区域上一致。 (zh)
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- En anàlisi complexa, el principi de Harnack o teorema de Harnack és un de diversos teoremes estretament relacionats sobre la convergència de successions de funcions harmòniques, que es deriven de la desigualtat de Harnack. Si les funcions , , ... són harmòniques en un subconjunt connex obert del pla complex C, i o bé és infinit en cada punt del domini o és finit en cada punt del domini, en ambdós casos de manera uniforme en cada subconjunt compacte de . En aquest últim cas, la funció de és harmònica en el conjunt . (ca)
- Das Harnacksche Prinzip, auch als Satz von Harnack zitiert, ist ein grundlegender Satz aus dem mathematischen Teilgebiet der Funktionentheorie, welcher auf den Mathematiker Axel Harnack (1851–1888) zurückgeht, der diesen Satz in einer Arbeit des Jahres 1886 vorgetragen hat. Das Harnacksche Prinzip behandelt das Konvergenzverhalten monoton wachsender Folgen harmonischer Funktionen. Es beruht auf der ebenfalls von Axel Harnack gefundenen und nach ihm benannten Ungleichung. (de)
- El principio de Harnack, o segundo teorma de Harnack, es un teorema básico de la rama matemática de la teoría de funciones. El matemático Axel Harnack (1851-1888) de nuevo, que ha presentado este conjunto en una obra del año 1886. El principio de Harnack trata del comportamiento de convergencia de secuencias monótonamente crecientes de funciones armónicas. Se basa en la desigualdad de Harnack del mismo autor. (es)
- En analyse complexe, le principe de Harnack est un théorème concernant la convergence de fonctions harmoniques. Si les fonctions , , ... sont harmoniques sur un ouvert connexe du plan complexe C, et en tout point de , alors la limite est soit infinie en chaque point du domaine de définition , soit finie en chaque point de ce domaine. Dans les deux cas, la convergence est uniforme sur chaque sous-ensemble compact de . Dans le second cas, la fonction est harmonique sur . (fr)
- 数学の複素解析の分野におけるハルナックの原理（ハルナックのげんり、英: Harnack's principle）あるいはハルナックの定理とは、調和函数列の収束と密接に関連した原理の一つであり、ハルナックの不等式より従う。 函数 , , ... が複素平面 C のある開連結部分集合 において調和的であり、 内のすべての点において が成立するなら、極限 はその領域 のすべての点において無限大であるか、すべての点において有限であるかのいずれかである。それらいずれの場合も、収束は の各コンパクト部分集合について一様である。後者の場合、函数 は集合 において調和的となる。 (ja)
- 하르나크의 원리(Harnack's principle, -原理)는 복소해석학 및 조화해석학의 정리로, 발트 독일인 수학자 (Carl Gustav Axel Harnack)의 이름이 붙어 있다. 하르나크의 부등식 및 하이네-보렐 정리를 사용하여 쉽게 증명할 수 있다. (ko)
- Nierówność Harnacka – twierdzenie matematyczne opisujące zachowanie się ciągów funkcji harmonicznych. (pl)
- Принцип Гарнака (вторая теорема Гарнака) — теорема о свойствах монотонной последовательности гармонических в ограниченной области функций, распространяющая сходимость в некоторой точке на сходимость во всей области. Установлена немецким математиком Акселем Гарнаком в 1886 году. Формально, пусть — положительные гармонические в некоторой области функции; если ряд: сходится хотя бы в одной точке области , то он равномерно сходится внутри . (ru)
- 哈纳克定理（英語：Harnack's principle）是复分析中有关调和函数序列收敛的定理，由得到。 假设, , ...是复平面C的开连通子集上的调和函数，并且在中的每一点都有 如果极限 在上的一点收敛，则在上处处收敛于调和函数 且收敛在的任一闭子区域上一致。 (zh)
- In the mathematical field of partial differential equations, Harnack's principle or Harnack's theorem is a corollary of Harnack's inequality which deals with the convergence of sequences of harmonic functions. Given a sequence of harmonic functions u1, u2, ... on an open connected subset G of the Euclidean space Rn, which are pointwise monotonically nondecreasing in the sense that for every point x of G, then the limit (en)
- Het principe van Harnack of de stelling van Harnack is een wiskundige stelling, die valt binnen het vakgebied van de complexe analyse. Het is een van de verschillende nauw verwante stellingen over de convergentie van rijen en van harmonische functies, die volgen uit de ongelijkheid van Harnack. Het principe is genoemd naar de Baltisch-Duitse wiskunde Axel Harnack. Als de functies , harmonisch zijn in een open deelverzameling van het complexe vlak , en in elk punt van geldt: , is de limiet harmonisch in de verzameling . (nl)
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- Principi de Harnack (ca)
- Harnacksches Prinzip (de)
- Principio de Harnack (es)
- Harnack's principle (en)
- Principe de Harnack (fr)
- 하르나크의 원리 (ko)
- Principe van Harnack (nl)
- ハルナックの原理 (ja)
- Twierdzenie Harnacka (pl)
- Принцип Гарнака (ru)
- 哈纳克定理 (zh)
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