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- Gullstrand–Painlevé coordinates are a particular set of coordinates for the Schwarzschild metric – a solution to the Einstein field equations which describes a black hole. The ingoing coordinates are such that the time coordinate follows the proper time of a free-falling observer who starts from far away at zero velocity, and the spatial slices are flat. There is no coordinate singularity at the Schwarzschild radius (event horizon). The outgoing ones are simply the time reverse of ingoing coordinates (the time is the proper time along outgoing particles that reach infinity with zero velocity). The solution was proposed independently by Paul Painlevé in 1921 and Allvar Gullstrand in 1922. It was not explicitly shown until 1933 in Lemaître's paper that these solutions were simply coordinate transformations of the usual Schwarzschild solution, although Einstein immediately believed that to be true. (en)
- Les coordonnées de Painlevé-Gullstrand sont un système de coordonnées d'espace-temps utilisées pour étudier la métrique de Schwarzschild. (fr)
- Le metriche di Painlevé-Gullstrand (PG) furono proposte indipendentemente da Paul Painlevé nel 1921 e Allvar Gullstrand nel 1922 come soluzione delle equazioni di Einstein della relatività generale per un sistema sfericamente simmetrico. Non venne riconosciuto fino al 1933 da parte del giornale di Lemaître che queste soluzioni erano semplicemente trasformazioni in coordinate della classica soluzione di Schwarzschild. Sia Painlevé che Gullstrand usarono questa soluzione per affermare che la teoria di Einstein era incompleta nel fatto che dava soluzioni multiple per il campo gravitazionale di un corpo sferico, e inoltre forniva una fisica differente (loro argomentavano che la lunghezza di un'asta poteva essere nelle direzioni tangenziali talvolta più lunga e talvolta più corta che in quelle radiali). Il "trucco" della proposta di Painlevé era che non rimaneva più ancorato ad una piena (e statica) forma quadratica ma invece permetteva un prodotto spazio-tempo trasversale rendendo la forma metrica non più statica ma stazionaria e la direzione non più simmetrica ma orientata preferenzialmente. In un secondo e più lungo articolo (14 novembre 1921), Painlevé spiega come ottenne la sua soluzione: risolvendo direttamente le equazioni di Einstein per una generica forma sfericamente simmetrica della metrica.Il risultato, l'equazione (4) del suo lavoro, dipendeva da due valori arbitrari della coordinata r che davano una doppia infinità di soluzioni. Noi sappiamo che questi rappresentano semplicemente le variabili delle coordinate spaziali e temporali. Painlevé scrisse ad Einstein per presentare la sua soluzione e invitò Einstein a Parigi per un dibattito. Einstein rispose con una lettera (7 dicembre) scusandosi per non essere potuto venire subito, e spiegando perché non era convinto della tesi di Painlevé con critiche e soluzioni che enfatizzavano che le coordinate da sole non avevano senso. Alla fine Einstein andò a Parigi a inizio aprile ed il 5 dello stesso mese, in un dibattito al "Collège de France" con Painlevé, Becquerel, Brillouin, Cartan De Donder, Hadamard, Langevin e Nordaman su "gli infiniti potenziali" Einstein, perplesso dal termine non quadratico dell'elemento lineare, rigettò la soluzione di Painlevé. Questo ostacolò a lungo l'accettazione della tesi di Painlevé, principalmente a p. 34 per il dibattito sull'orizzonte e il penultimo paragrafo portando alla fine Einstein a dichiarare il dibattito privo di senso. (it)
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- Les coordonnées de Painlevé-Gullstrand sont un système de coordonnées d'espace-temps utilisées pour étudier la métrique de Schwarzschild. (fr)
- Gullstrand–Painlevé coordinates are a particular set of coordinates for the Schwarzschild metric – a solution to the Einstein field equations which describes a black hole. The ingoing coordinates are such that the time coordinate follows the proper time of a free-falling observer who starts from far away at zero velocity, and the spatial slices are flat. There is no coordinate singularity at the Schwarzschild radius (event horizon). The outgoing ones are simply the time reverse of ingoing coordinates (the time is the proper time along outgoing particles that reach infinity with zero velocity). (en)
- Le metriche di Painlevé-Gullstrand (PG) furono proposte indipendentemente da Paul Painlevé nel 1921 e Allvar Gullstrand nel 1922 come soluzione delle equazioni di Einstein della relatività generale per un sistema sfericamente simmetrico. Non venne riconosciuto fino al 1933 da parte del giornale di Lemaître che queste soluzioni erano semplicemente trasformazioni in coordinate della classica soluzione di Schwarzschild. Sia Painlevé che Gullstrand usarono questa soluzione per affermare che la teoria di Einstein era incompleta nel fatto che dava soluzioni multiple per il campo gravitazionale di un corpo sferico, e inoltre forniva una fisica differente (loro argomentavano che la lunghezza di un'asta poteva essere nelle direzioni tangenziali talvolta più lunga e talvolta più corta che in quell (it)
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- Coordonnées de Painlevé-Gullstrand (fr)
- Gullstrand–Painlevé coordinates (en)
- Coordinate di Gullstrand-Painlevé (it)
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