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- Das Fagnano-Problem ist das folgende nach Giovanni Fagnano benannte Optimierungsproblem. Bestimme das in ein spitzwinkliges Dreieck einbeschriebene Dreieck minimalen Umfangs. Hierbei versteht man unter einem einbeschriebenen Dreieck eines Dreiecks ein Dreieck , dessen Ecken auf den Seiten Dreiecks liegen, das heißt , und . Für das Höhenfußpunktdreieck gilt, dass sein Umfang geringer ist als der eines jeden anderen einbeschriebenen Dreiecks und somit ist es die Lösung des Fagnano-Problems. Zunächst zeigte Giovanni Fagnanos Vater Giulio Carlo Fagnano, dass man zu einem beliebigen festen Punkt U auf 2 Punkte V auf und W auf so konstruieren kann, dass der Umfang des Dreieckes minimal ist. Giovanni Fagnano verwandte dieses Resultat, um dann mit Hilfe der Differentialrechnung von allen möglichen U auf , dasjenige zu bestimmen, für das der Umfang des Dreieckes minimal wird. Später wurden auch mehrere elementargeometrische Beweise gefunden, unter anderem auch von Leopold Fejér und Hermann Amandus Schwarz. Diese Beweise verwenden meist Eigenschaften von Spiegelungen zur Bestimmung eines minimalen Weges. (de)
- En geometría, el problema de Fagnano es una cuestión en la que se plantea que: (es)
- In geometry, Fagnano's problem is an optimization problem that was first stated by Giovanni Fagnano in 1775: For a given acute triangle determine the inscribed triangle of minimal perimeter. The solution is the orthic triangle, with vertices at the base points of the altitudes of the given triangle. (en)
- Le problème de Fagnano, encore appelé « problème du triangle de Schwarz », est un célèbre problème de géométrie euclidienne résolu par le mathématicien italien Giulio Fagnano (1682-1766) et son fils (en) (1715-1797) : Peut-on inscrire un triangle de périmètre minimal dans un triangle acutangle donné ? (fr)
- Problem Fagnana – problem optymalizacyjny postawiony po raz pierwszy przez włoskiego matematyka i duchownego w 1775: Dla danego trójkąta ostrokątnego wyznaczyć trójkąt wpisany o minimalnym obwodzie. Rozwiązaniem problemu Fagnana jest (zwany także trójkątem ortycznym), który powstaje z połączenia spodków wysokości danego trójkąta ostrokątnego. Oryginalny dowód poprawności takiego rozwiązania podany przez Fagnana wykorzystuje metody rachunku różniczkowego oraz wynik pośredni podany przez jego ojca Giulio Carlo de’ Toschi di Fagnana. Później zostały zaprezentowane różne dowody czysto geometryczne, między innymi przez Hermanna Schwarza, Lipóta Fejéra, i . Dowody geometryczne korzystają z własności odbić symetrycznych do skonstruowania pewnej minimalnej ścieżki reprezentującej obwód. Natomiast podał dowód za pomocą iloczynu skalarnego wektorów. (pl)
- Em geometria, o problema de Fagnano é um problema de otimização que foi primeiramente estabelecido por Giovanni Fagnano em 1775: Para um dado determinar o triângulo inscrito de perímetro mínimo. O , com vértices nos pontos base de de um triângulo dado, tem o menor perímetro de todos os triângulos inscritos em um triângulo agudo, portanto, é a solução do problema de Fagnano. A demonstração original de Fagnano usou métodos de cálculo e um resultado intermediário obtido por seu pai, . (pt)
- Задача Фаньяно — классический результат геометрии треугольника. (ru)
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- En geometría, el problema de Fagnano es una cuestión en la que se plantea que: (es)
- In geometry, Fagnano's problem is an optimization problem that was first stated by Giovanni Fagnano in 1775: For a given acute triangle determine the inscribed triangle of minimal perimeter. The solution is the orthic triangle, with vertices at the base points of the altitudes of the given triangle. (en)
- Le problème de Fagnano, encore appelé « problème du triangle de Schwarz », est un célèbre problème de géométrie euclidienne résolu par le mathématicien italien Giulio Fagnano (1682-1766) et son fils (en) (1715-1797) : Peut-on inscrire un triangle de périmètre minimal dans un triangle acutangle donné ? (fr)
- Em geometria, o problema de Fagnano é um problema de otimização que foi primeiramente estabelecido por Giovanni Fagnano em 1775: Para um dado determinar o triângulo inscrito de perímetro mínimo. O , com vértices nos pontos base de de um triângulo dado, tem o menor perímetro de todos os triângulos inscritos em um triângulo agudo, portanto, é a solução do problema de Fagnano. A demonstração original de Fagnano usou métodos de cálculo e um resultado intermediário obtido por seu pai, . (pt)
- Задача Фаньяно — классический результат геометрии треугольника. (ru)
- Das Fagnano-Problem ist das folgende nach Giovanni Fagnano benannte Optimierungsproblem. Bestimme das in ein spitzwinkliges Dreieck einbeschriebene Dreieck minimalen Umfangs. Hierbei versteht man unter einem einbeschriebenen Dreieck eines Dreiecks ein Dreieck , dessen Ecken auf den Seiten Dreiecks liegen, das heißt , und . Für das Höhenfußpunktdreieck gilt, dass sein Umfang geringer ist als der eines jeden anderen einbeschriebenen Dreiecks und somit ist es die Lösung des Fagnano-Problems. (de)
- Problem Fagnana – problem optymalizacyjny postawiony po raz pierwszy przez włoskiego matematyka i duchownego w 1775: Dla danego trójkąta ostrokątnego wyznaczyć trójkąt wpisany o minimalnym obwodzie. Rozwiązaniem problemu Fagnana jest (zwany także trójkątem ortycznym), który powstaje z połączenia spodków wysokości danego trójkąta ostrokątnego. (pl)
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- Fagnano's problem (en)
- Fagnano-Problem (de)
- Problema de Fagnano (es)
- Problème de Fagnano (fr)
- Problem Fagnana (pl)
- Задача Фаньяно (ru)
- Problema de Fagnano (pt)
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