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- In fluid dynamics, d'Alembert's paradox (or the hydrodynamic paradox) is a contradiction reached in 1752 by French mathematician Jean le Rond d'Alembert. D'Alembert proved that – for incompressible and inviscid potential flow – the drag force is zero on a body moving with constant velocity relative to the fluid. Zero drag is in direct contradiction to the observation of substantial drag on bodies moving relative to fluids, such as air and water; especially at high velocities corresponding with high Reynolds numbers. It is a particular example of the reversibility paradox. D’Alembert, working on a 1749 Prize Problem of the Berlin Academy on flow drag, concluded: "It seems to me that the theory (potential flow), developed in all possible rigor, gives, at least in several cases, a strictly vanishing resistance, a singular paradox which I leave to future Geometers [i.e. mathematicians - the two terms were used interchangeably at that time] to elucidate". A physical paradox indicates flaws in the theory. Fluid mechanics was thus discredited by engineers from the start, which resulted in an unfortunate split – between the field of hydraulics, observing phenomena which could not be explained, and theoretical fluid mechanics explaining phenomena which could not be observed – in the words of the Chemistry Nobel Laureate Sir Cyril Hinshelwood. According to scientific consensus, the occurrence of the paradox is due to the neglected effects of viscosity. In conjunction with scientific experiments, there were huge advances in the theory of viscous fluid friction during the 19th century. With respect to the paradox, this culminated in the discovery and description of thin boundary layers by Ludwig Prandtl in 1904. Even at very high Reynolds numbers, the thin boundary layers remain as a result of viscous forces. These viscous forces cause friction drag on streamlined objects, and for bluff bodies the additional result is flow separation and a low-pressure wake behind the object, leading to form drag. The general view in the fluid mechanics community is that, from a practical point of view, the paradox is solved along the lines suggested by Prandtl. A formal mathematical proof is lacking, and difficult to provide, as in so many other fluid-flow problems involving the Navier–Stokes equations (which are used to describe viscous flow). (en)
- Das d’Alembertsche Paradoxon ist eine Aussage in der Strömungsmechanik, die sich aus dem Energieerhaltungssatz herleiten lässt (s. u.). Das Paradoxon wurde erstmals 1752 von Jean Baptiste le Rond d’Alembert formuliert. Es besagt, dass ein beliebig geformter, undurchlässiger Körper in einer unbegrenzten, reibungslosen und stationären Parallelanströmung keinen Widerstand erfährt, also keine Kraft in Richtung der Strömung, wenn die Voraussetzung erfüllt ist, dass die durch den Körper bewirkte Störung der Strömung in großer Entfernung vom Körper abklingt. Kräfte senkrecht zur Anströmungsrichtung (dynamischer Auftrieb wie beim Tragflügel) sind dabei nicht ausgeschlossen, so dass beispielsweise ein unbegrenzter horizontaler Segelflug ohne Energieaufwand möglich wäre. Eine Quelle, also ein Körper, aus dem Flüssigkeit ausströmt, erfährt sogar einen Vortrieb, d. h. eine Kraft, die der Strömung entgegengerichtet ist. Umgekehrt erfährt eine Senke eine Kraft in Strömungsrichtung. Die Aussage des Paradoxons von d’Alembert ist paradox in dem Sinne, dass sie unserer Alltagserfahrung widerspricht, da in realen Strömungen im Allgemeinen weder die Reibungskräfte noch die Störung der Strömung durch den Körper vollständig vernachlässigt werden können, so dass die Voraussetzungen der Aussage nicht erfüllt sind. Die Begründung mit dem Energiesatz geht wie folgt: Wenn eine Kraftkomponente in Richtung der gleichförmigen Bewegung des Körpers erforderlich wäre, um die Bewegung aufrechtzuerhalten, so würde von der Kraft ständig mechanische Arbeit an der Flüssigkeit (oder dem Gas) geleistet. Die Energie kann aber von der idealen Flüssigkeit (oder dem Gas) nicht aufgenommen werden, weil es weder Reibungsverluste gibt, die eine Umwandlung in Wärme erlauben würden, noch Veränderungen in der kinetischen Energie der Flüssigkeit (wegen der vorausgesetzten Stationarität, d. h. der überall gleichbleibenden Strömungsgeschwindigkeiten). Nach dem Energieerhaltungssatz muss daher die Kraftkomponente in Bewegungsrichtung null sein. (de)
- La paradoja de D'Alembert, es una contradicción a la que llegó D'Alembert luego de estudiar matemáticamente el fenómeno de la resistencia producida sobre un cuerpo cuando una corriente de fluido (líquido o gas) circula sobre él. D'Alembert aplicó la teoría de flujo potencial para modelar el fenómeno, y concluyó que la fuerza resultante sobre el cuerpo sobre el cual fluye el aire es cero, lo cual se contradice con la observación. (es)
- Considérons un solide animé d'un mouvement de translation rectiligne uniforme dans un fluide parfait incompressible et au repos, ou un solide immobile dans un fluide ayant une vitesse V ; le mouvement étant supposé permanent, la pression p est donnée par la formule de Bernoulli : du fait de l'hypothèse d'absence de viscosité du fluide (fluide parfait), il n'y a pas de résistance à l'avancement du solide dans ledit fluide. C'est le paradoxe de D'Alembert. Ce paradoxe est lié à la réversibilité du mouvement du fluide parfait. Dans les écoulements de fluides réels, des phénomènes irréversibles apparaissent, tels que la formation d'une surface de discontinuité (sillage) à l'arrière du solide. L'origine de telles irréversibilités est la viscosité , même faible, des fluides réels.Ce sillage (encore appelé zone d'eau morte) est le lieu de mouvements tourbillonnaires du fluide. Ces tourbillons qui s'établissent à l'arrière des corps sont en nette dépression, cette dépression étant la cause d'un fort de culot (qui s'ajoute au de la partie avant). Des exemples d'écoulements parfait et réel sont donnés ci-dessous, ainsi qu'un exemple d'écoulement réel sur une plaque plane carrée.
* Écoulement sans viscosité et avec viscosité.
* Écoulement réel autour d'une plaque carrée (relevé par Eiffel]. (fr)
- ダランベールのパラドックス（英語: D'Alembert's paradox）とは、静止している理想流体（粘性が0である流体）中に物体を等速直線運動させたときに、物体には抵抗力が働かないという、一見直感に反する事実（パラドックス）のこと。1743年のダランベールの力学に関する著書に記されており、1768年まで考察が洗練されていった。 (ja)
- De hydrodynamische paradox of paradox van d'Alembert – naar de Franse natuurkundige d'Alembert die in 1752 tot dit paradoxale resultaat kwam – is dat, voor een volledig ondergedompeld voorwerp dat zich voortbeweegt door een vloeistof, in waarnemingen een weerstand wordt gemeten, terwijl er volgens de stromingstheorie voor een ideale vloeistof geen weerstand is. D'Alembert ging hierbij uit van een ideale vloeistof. Bij het aanstromen van een voorwerp is er, in een ideale vloeistof, een punt waar deze vloeistof tot rust komt ten opzichte van het lichaam. Dit is het S en de stroomlijn is de stuwpuntsstroomlijn. Volgens de Wet van Bernoulli is de druk in dit punt: waarbij: De druk die veroorzaakt wordt door de stuwing is de stuwdruk. De snelheidsveranderingen die optreden tijdens het omstromen van het voorwerp – doordat aan de continuïteitsvergelijking moet worden voldaan – veroorzaken drukveranderingen en met de potentiaaltheorie zijn deze uit te rekenen. Deze drukverdeling op het oppervlak van het lichaam resulteert in een kracht. Omdat er in een ideale vloeistof geen wrijving is, is de drukverdeling aan de voor- en achterzijde symmetrisch (zie figuur 2), en is er geen resulterende kracht. Dat er in werkelijkheid wel een weerstand wordt waargenomen, komt doordat een echte vloeistof wel enige wrijving heeft, ten gevolge van viscositeit. Ludwig Prandtl kwam in 1904 met de theorie – onderbouwd door waarnemingen in experimenten – dat er een grenslaag bestaat, tussen het oppervlak van het voorwerp en de stroming verder naar buiten. In de grenslaag nemen de vloeistofdeeltjes direct aan de huid de snelheid van het voorwerp aan, door de wrijving. Hierdoor gaat er stromingsenergie verloren, en is de Wet van Bernoulli niet langer geldig in de grenslaag. De stromingsenergie neemt verder naar achteren toe af, en de kinetische energie van de vloeistofdeeltjes is onvoldoende is om aan de achterzijde weer omgezet te worden in de stuwdruk. Daardoor treedt loslating van de grenslaag op, waarbij achter het loslatingspunt wervelingen optreden die de druk omlaag brengen. Met als gevolg een drukverschil tussen de voor- en achterkant (zie figuur 3), resulterend in een drukweerstand, RP. (nl)
- In fluidodinamica il paradosso di d'Alembert consiste nell'osservare che in un fluido sotto le ipotesi di modello a potenziale, che implicano che il flusso sia irrotazionale (quindi a vorticità nulla) e subsonico, non possono svilupparsi forze aerodinamiche poiché esse si ricavano proprio per integrazione della vorticità. (it)
- Paradoks d'Alamberta, paradoks Eulera – paradoks w mechanice płynów sformułowany przez Jeana le Rond d’Alemberta. Paradoks ten polega na tym, że ze wzorów wynika, iż siła działająca na ciało opływane płynem nielepkim przy ruchu potencjalnym (bezwirowym) równa jest zero - co jest sprzeczne z doświadczeniem. (pl)
- O paradoxo de D'Alembert, é uma contradição percebida por D'Alembert, um iluminista, após estudar matematicamente o fenômeno da resistência produzida sobre um corpo quando uma corrente de fluido (líquido ou gás) circula sobre ele. D'Alembert aplicou a para modelar o fenômeno, e concluiu que a força resultante sobre o corpo imerso no escoamento é zero, o que contradiz a observação. Ele estava interessado em estudar a resistência ao avanço de embarcações, grande desafio para a época e de extrema importância, tendo em vista a importância do domínio dos mares. Ao modelar o escoamento, D'Alembert utilizou a teoria de escoamento potencial, que só é válida para fluido ideal (não viscoso), porém ele não tinha consciência disso, achava que estava modelando o fluido real, pois na época não se tinha conhecimento da influência da viscosidade no escoamento, que só veio a ser modelado pelas equações de Navier-Stokes. (pt)
- Парадокс Д’Аламбера (парадокс Д’Аламбера — Эйлера) — утверждение в гидродинамике идеальной жидкости, согласно которому при стационарном (не обязательно потенциальном и безотрывном) обтекании твёрдого тела безграничным поступательным прямолинейным потоком невязкой жидкости, при условии выравнивания параметров далеко впереди и позади тела, сила сопротивления равна нулю. (ru)
- 在流体动力学中，達朗貝爾佯謬（英語：d'Alembert's paradox，又稱為流體動力學佯謬 ）是法国数学家让·勒朗·达朗贝尔在1752年提出的矛盾。達朗貝爾证明，对于不可压缩和无粘性的势流，當物體相对于流体以恒定速度移动時，物體將不會受到任何阻力。 但是實際上所觀測到相對於流體（比如空氣和水 ）運動的物體，尤其在与高雷诺数相对应的高速情形，阻力卻相當可觀，這點與零阻力的證明直接矛盾。而这也是可逆性佯謬的具體例子。 達朗貝爾於1749年在柏林学院對流动阻力问题的研究中得出结论：「在我看來，這個儘可能以嚴謹態度發展起來的理論（勢流），至少在一些情況下，給出了一個完全消失的阻力，這個奇異的佯謬，我留待未來的幾何學家來闡明。（幾何學家即為數學家，在當時這兩個術語可以互換使用）」指出該理论存在著缺陷。 因此，流體力學從一開始就被工程師們質疑，以诺贝尔奖获得者西里尔·欣谢尔伍德爵士的話來說，這導致了理論流体力学领域（解釋無法觀察到的現象）與水力学（觀察無法解釋的現象）领域之间不幸發生分裂 。 根据科学共识，佯謬的成因是由于忽略了粘度效应。隨著與科學實驗結合，粘性流體摩擦理論在19世紀取得了巨大的進步。1904年，路德维希·普朗特发现並描述了薄边界层，從而解決了該佯謬。即使在非常高的雷諾數下，粘滯力依然會產生薄邊界層。對於流線型物體，這些粘滯力會產生，對於鈍體（bluff body），還會額外導致流體分離以及物體背後的低壓尾流，進而造成形狀阻力（Form drag）。 流體力學學界的普遍觀點是，从实际的角度来看，這個佯謬是按照普朗特提出的思路解决的。 但就像许多其他涉及纳维-斯托克斯方程（用于描述粘性流动）的流体问题一樣，該佯謬的正式数学证明仍付之闕如，且难以給出。 (zh)
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- La paradoja de D'Alembert, es una contradicción a la que llegó D'Alembert luego de estudiar matemáticamente el fenómeno de la resistencia producida sobre un cuerpo cuando una corriente de fluido (líquido o gas) circula sobre él. D'Alembert aplicó la teoría de flujo potencial para modelar el fenómeno, y concluyó que la fuerza resultante sobre el cuerpo sobre el cual fluye el aire es cero, lo cual se contradice con la observación. (es)
- ダランベールのパラドックス（英語: D'Alembert's paradox）とは、静止している理想流体（粘性が0である流体）中に物体を等速直線運動させたときに、物体には抵抗力が働かないという、一見直感に反する事実（パラドックス）のこと。1743年のダランベールの力学に関する著書に記されており、1768年まで考察が洗練されていった。 (ja)
- In fluidodinamica il paradosso di d'Alembert consiste nell'osservare che in un fluido sotto le ipotesi di modello a potenziale, che implicano che il flusso sia irrotazionale (quindi a vorticità nulla) e subsonico, non possono svilupparsi forze aerodinamiche poiché esse si ricavano proprio per integrazione della vorticità. (it)
- Paradoks d'Alamberta, paradoks Eulera – paradoks w mechanice płynów sformułowany przez Jeana le Rond d’Alemberta. Paradoks ten polega na tym, że ze wzorów wynika, iż siła działająca na ciało opływane płynem nielepkim przy ruchu potencjalnym (bezwirowym) równa jest zero - co jest sprzeczne z doświadczeniem. (pl)
- Парадокс Д’Аламбера (парадокс Д’Аламбера — Эйлера) — утверждение в гидродинамике идеальной жидкости, согласно которому при стационарном (не обязательно потенциальном и безотрывном) обтекании твёрдого тела безграничным поступательным прямолинейным потоком невязкой жидкости, при условии выравнивания параметров далеко впереди и позади тела, сила сопротивления равна нулю. (ru)
- In fluid dynamics, d'Alembert's paradox (or the hydrodynamic paradox) is a contradiction reached in 1752 by French mathematician Jean le Rond d'Alembert. D'Alembert proved that – for incompressible and inviscid potential flow – the drag force is zero on a body moving with constant velocity relative to the fluid. Zero drag is in direct contradiction to the observation of substantial drag on bodies moving relative to fluids, such as air and water; especially at high velocities corresponding with high Reynolds numbers. It is a particular example of the reversibility paradox. (en)
- Das d’Alembertsche Paradoxon ist eine Aussage in der Strömungsmechanik, die sich aus dem Energieerhaltungssatz herleiten lässt (s. u.). Das Paradoxon wurde erstmals 1752 von Jean Baptiste le Rond d’Alembert formuliert. Eine Quelle, also ein Körper, aus dem Flüssigkeit ausströmt, erfährt sogar einen Vortrieb, d. h. eine Kraft, die der Strömung entgegengerichtet ist. Umgekehrt erfährt eine Senke eine Kraft in Strömungsrichtung. (de)
- Considérons un solide animé d'un mouvement de translation rectiligne uniforme dans un fluide parfait incompressible et au repos, ou un solide immobile dans un fluide ayant une vitesse V ; le mouvement étant supposé permanent, la pression p est donnée par la formule de Bernoulli : du fait de l'hypothèse d'absence de viscosité du fluide (fluide parfait), il n'y a pas de résistance à l'avancement du solide dans ledit fluide. C'est le paradoxe de D'Alembert. Des exemples d'écoulements parfait et réel sont donnés ci-dessous, ainsi qu'un exemple d'écoulement réel sur une plaque plane carrée.
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- De hydrodynamische paradox of paradox van d'Alembert – naar de Franse natuurkundige d'Alembert die in 1752 tot dit paradoxale resultaat kwam – is dat, voor een volledig ondergedompeld voorwerp dat zich voortbeweegt door een vloeistof, in waarnemingen een weerstand wordt gemeten, terwijl er volgens de stromingstheorie voor een ideale vloeistof geen weerstand is. waarbij: (nl)
- O paradoxo de D'Alembert, é uma contradição percebida por D'Alembert, um iluminista, após estudar matematicamente o fenômeno da resistência produzida sobre um corpo quando uma corrente de fluido (líquido ou gás) circula sobre ele. D'Alembert aplicou a para modelar o fenômeno, e concluiu que a força resultante sobre o corpo imerso no escoamento é zero, o que contradiz a observação. Ele estava interessado em estudar a resistência ao avanço de embarcações, grande desafio para a época e de extrema importância, tendo em vista a importância do domínio dos mares. (pt)
- 在流体动力学中，達朗貝爾佯謬（英語：d'Alembert's paradox，又稱為流體動力學佯謬 ）是法国数学家让·勒朗·达朗贝尔在1752年提出的矛盾。達朗貝爾证明，对于不可压缩和无粘性的势流，當物體相对于流体以恒定速度移动時，物體將不會受到任何阻力。 但是實際上所觀測到相對於流體（比如空氣和水 ）運動的物體，尤其在与高雷诺数相对应的高速情形，阻力卻相當可觀，這點與零阻力的證明直接矛盾。而这也是可逆性佯謬的具體例子。 達朗貝爾於1749年在柏林学院對流动阻力问题的研究中得出结论：「在我看來，這個儘可能以嚴謹態度發展起來的理論（勢流），至少在一些情況下，給出了一個完全消失的阻力，這個奇異的佯謬，我留待未來的幾何學家來闡明。（幾何學家即為數學家，在當時這兩個術語可以互換使用）」指出該理论存在著缺陷。 因此，流體力學從一開始就被工程師們質疑，以诺贝尔奖获得者西里尔·欣谢尔伍德爵士的話來說，這導致了理論流体力学领域（解釋無法觀察到的現象）與水力学（觀察無法解釋的現象）领域之间不幸發生分裂 。 流體力學學界的普遍觀點是，从实际的角度来看，這個佯謬是按照普朗特提出的思路解决的。 但就像许多其他涉及纳维-斯托克斯方程（用于描述粘性流动）的流体问题一樣，該佯謬的正式数学证明仍付之闕如，且难以給出。 (zh)
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