| dbo:abstract
|
- In algebraic geometry, Cramer's theorem on algebraic curves gives the necessary and sufficient number of points in the real plane falling on an algebraic curve to uniquely determine the curve in non-degenerate cases. This number is where n is the degree of the curve. The theorem is due to Gabriel Cramer, who published it in 1750. For example, a line (of degree 1) is determined by 2 distinct points on it: one and only one line goes through those two points. Likewise, a non-degenerate conic (polynomial equation in x and y with the sum of their powers in any term not exceeding 2, hence with degree 2) is uniquely determined by 5 points in general position (no three of which are on a straight line). The intuition of the conic case is this: Suppose the given points fall on, specifically, an ellipse. Then five pieces of information are necessary and sufficient to identify the ellipse—the horizontal location of the ellipse's center, the vertical location of the center, the major axis (the length of the longest chord), the minor axis (the length of the shortest chord through the center, perpendicular to the major axis), and the ellipse's rotational orientation (the extent to which the major axis departs from the horizontal). Five points in general position suffice to provide these five pieces of information, while four points do not. (en)
- Теорема Крамера об алгебраических кривых даёт необходимое и достаточное условия, при которых число точек на вещественной плоскости, принадлежащие алгебраической кривой, однозначно определяют кривую в невырожденных случаях. Это число равно n(n + 3) / 2, где n — степень кривой. Теорема принадлежит Габриэлю Крамеру, опубликовавшему теорему в 1750. Например, прямая (степени 1) определяется двумя различными точками на ней — одна и только одна прямая проходит через эти две точки. Подобным же образом, (алгебраическое уравнение от x и y с суммой степеней любого члена не превосходящей 2) единственным образом определяется пятью точками в общем положении (никакие три из них не лежат на одной прямой). Интуитивное понимание конического сечения таково: Предположим, что данные точки лежат на эллипсе. Тогда необходимы и достаточны пять величин для определения эллипса — горизонтальное положение центра эллипса, вертикальное положение центра, большая полуось (длина наибольшей хорды), малая полуось (длина наименьшей хорды, проходящей через центр и перпендикулярной главной оси) и поворот эллипса. Пять точек в общем положении достаточны для обеспечения этих пяти величин, в то время как четырёх точек недостаточно. (ru)
|
| rdfs:comment
|
- In algebraic geometry, Cramer's theorem on algebraic curves gives the necessary and sufficient number of points in the real plane falling on an algebraic curve to uniquely determine the curve in non-degenerate cases. This number is where n is the degree of the curve. The theorem is due to Gabriel Cramer, who published it in 1750. (en)
- Теорема Крамера об алгебраических кривых даёт необходимое и достаточное условия, при которых число точек на вещественной плоскости, принадлежащие алгебраической кривой, однозначно определяют кривую в невырожденных случаях. Это число равно n(n + 3) / 2, где n — степень кривой. Теорема принадлежит Габриэлю Крамеру, опубликовавшему теорему в 1750. (ru)
|
