| dbo:abstract
|
- Úplná množina pozorovatelných, též ÚMP, představuje takovou množinu pozorovatelných , které jsou navzájem nezávisle měřitelné, tedy pro operátory odpovídající pozorovatelným platí . Z komutativity daných operátorů plyne i komutativita projekčních operátorů do podprostorů odpovídajících vlastním hodnotám jednotlivých operátorů. Konkrétně tedy mějme: Je-li systém ve stavu , pak je hodnota systému po naměření nějakých hodnot rovna: Pokud je množina operátorů ÚMP, pak musí být výše definovaný projekční operátor projekčním operátorem do jednorozměrného nebo 0rozměrného prostoru. Pokud projektuje do 0 D, pak tato kombinace vlastních hodnot operátorů nemůže být nikdy naměřena, např. máme-li . Pokud projektuje do 1 D, je principiálně možné danou kombinaci vlastních čísel naměřit. Stavový vektor je však po měření až na multiplikativní konstantu určen jednoznačně. Je obecně známo, že fyzikální popis nezávisí na normování stavového vektoru (vždy je konvenčně možno normovat na jednotku), a proto po měření ÚMP přesně známe stav, ve kterém se systém nalézá, bylo na něm provedeno nejúplnější možné měření a pokud provedeme za velmi krátký čas stejné měření, obdržíme s jistotou stejné hodnoty pozorovatelných z ÚMP. V případě jedné částice tvoří ÚMP např. operátory: V případě svou částic lze za ÚMP vzít např. polohy obou částic, hybnost první a polohu druhé, atd. Případně polohu těžiště soustavy a relativní polohu druhé částice vůči první. Možností je daleko více Při řešení úloh většinou volíme takovou ÚMP, jejichž pozorovatelné jsou integrály pohybu. Tento fakt pak zaručuje, že kvantová čísla odpovídající vypočtenému kvantovému stavu se nezmění ani za určitý čas. Nakonec bývá výhodné převést pomocí unitární transformace stavový vektor do proměnných, které nás zajímají. Zajímá-li nás např. rozložení impulzu částice, pak vyjádříme stavový vektor v reprezentaci atd. (cs)
- Ein vollständiger Satz kommutierender Observablen (v.S.k.O.) ist ein Begriff aus der Quantenmechanik, in der Messgrößen wie Energie, Ort oder Impuls durch Operatoren dargestellt und als Observablen bezeichnet werden. Messgrößen, die man gleichzeitig genau bestimmen kann, heißen kommutierende Observablen; sie haben die Eigenschaft, dass ihre Operatoren miteinander vertauschen. Solch ein Verhalten ist in der Quantenmechanik allerdings eher die Ausnahme. Die meisten Paare von Observablen lassen sich nicht gleichzeitig beliebig genau messen, was eine Konsequenz aus der heisenbergschen Unschärferelation ist. Man spricht dann auch von komplementären Observablen. Um einen quantenmechanischen Zustand eindeutig zu charakterisieren, sind oft mehrere Observablen notwendig. Beispielsweise ist es beim Wasserstoffatom nicht ausreichend, nur die Energie anzugeben (mittels der Hauptquantenzahl ), sondern es sind zwei weitere Observablen notwendig: der Betrag des Drehimpulses (Quantenzahl ) und die -Komponente des Drehimpuls (Quantenzahl ). Diese drei Größen bilden dann einen vollständigen Satz kommutierender Observablen. (de)
- In quantum mechanics, a complete set of commuting observables (CSCO) is a set of commuting operators whose common eigenvectors can be used as a basis to express any quantum state. In the case of operators with discrete spectra, a CSCO is a set of commuting observables whose simultaneous eigenspaces span the Hilbert space, so that the eigenvectors are uniquely specified by the corresponding sets of eigenvalues. Since each pair of observables in the set commutes, the observables are all compatible so that the measurement of one observable has no effect on the result of measuring another observable in the set. It is therefore not necessary to specify the order in which the different observables are measured. Measurement of the complete set of observables constitutes a complete measurement, in the sense that it projects the quantum state of the system onto a unique and known vector in the basis defined by the set of operators. That is, to prepare the completely specified state, we have to take any state arbitrarily, and then perform a succession of measurements corresponding to all the observables in the set, until it becomes a uniquely specified vector in the Hilbert space (up to a phase). (en)
- En mecánica cuántica, un conjunto completo de observables compatibles (CCOC) es un conjunto de operadores que cuyos eigenvectores ordinarios pueden utilizarse como base para expresar cualquier estado. En el caso de los operadores con espectros discretos, un CCOC es un conjunto de observables compatibles cuyos espacios propios simultáneos abarcan el espacio de Hilbert, de modo que los eignenvectores están especificados de forma única por los correspondientes conjuntos de valores propios. Dado que cada par de observables en el conjunto conmuta, los observables son todos compatibles, de modo que la medición de un observable no tiene ningún efecto sobre el resultado de la medición de otro observable en el conjunto. Por lo tanto, no es necesario especificar el orden en que se miden los diferentes observables. La medición del conjunto completo de observables constituye una medición completa, en el sentido de que proyecta el estado cuántico del sistema sobre un vector único y conocido en la base definida por el conjunto de operadores. Es decir, para preparar el estado completamente especificado, tenemos que tomar un estado cualquiera de forma arbitraria, y luego realizar una sucesión de mediciones correspondientes a todos los observables del conjunto, hasta que se convierta en un vector único y especificado en el espacio de Hilbert (salvo fase). (es)
- En mécanique quantique, un ensemble complet d'observables qui commutent, fréquemment abrégé ECOC, est un ensemble d'observables qui réunissent les deux conditions suivantes : 1.
* elles commutent deux à deux ; 2.
* il existe une unique base orthonormée de vecteurs propres communs à toutes les observables. C'est en ce sens que l'ensemble est dit complet. Par exemple, dans le cas de l'atome d'hydrogène, le Hamiltonien , le carré de la norme du moment angulaire et sa projection sur un axe arbitraire z forment un ECOC (si on ignore le spin du proton et de l'électron ainsi que le mouvement du centre de masse de l'atome). Puisque les observables commutent entre elles, elles sont compatibles, c'est-à-dire que la mesure de l'une des observables n'aura aucune influence sur les résultats de mesure d'une autre observable de l'ECOC. On n'a donc pas à préciser l'ordre des mesures des différentes observables de l'ECOC. Comme l'ensemble d'observable est d'autre part supposé complet, on peut réaliser une mesure complète, c'est-à-dire de l'ensemble des observables de l'ensemble, ce qui projettera l'état du système sur un vecteur unique et connu – grâce aux résultats de mesure – de la base. La notion d'ECOC et de mesure complète est donc utile lors de la préparation d'un état quantique bien déterminé. De plus, les états faisant partie de la base de l'ECOC sont complètement caractérisés par la donnée de leurs valeurs propres , , ..., associées à chacun des observables , , ... de l'ECOC. Pour reprendre l'exemple de l'atome d'hydrogène ci-dessus, les états de la base sont notés par leurs nombres quantiques , sans que la fonction d'onde ou l'orbitale atomique correspondante n'apparaisse explicitement. (fr)
- 量子力学における交換するオブザーバブルの完全集合（complete set of commuting observables、CSCO）とは、交換するオブザーバブルの集合で、それらのオブザーバブルの固有値（つまり測定値）が系の状態を可能な限り完全に指定しているような集合のこと。 CSCOのオブザーバブルはすべて互いに交換するため、CSCOのオブザーバブルはすべて両立でき、CSCOのあるオブザーバブルの測定は、CSCOの別のオブザーバブルの測定に何の影響も与えない。よって別々のオブザーバブルを測定する順番を考える必要はない。 CSCOの測定は、系の量子状態をCSCOの既知の同時固有ベクトルに射影するという意味で、完全な測定を構成する。 可能な限り完全に特定された状態、すなわちCSCOの同時固有ベクトルを準備するためには、任意の状態を取ってから、ヒルベルト空間内のCSCOの同時固有ベクトルになるまで、CSCO内のすべてのオブザーバブルの測定を連続的に行わなければならない。 (ja)
- In de kwantummechanica verwijst een complete verzameling van commuterende observabelen (in het Engels kortweg CSCO) naar een verzameling commuterende operatoren, waarvan de gemeenschappelijke eigenvectoren een basis vormen van de ruimte van toestanden. Anders gezegd: de ruimte van toestanden heeft een basis, waarvan de elementen volledig bepaald zijn door hun eigenwaardes onder de operatoren in de CSCO. Een CSCO doet dus voor een kwantummechanisch systeem wat een volledige verzameling coördinaten doet voor de klassieke mechanica: het is de minimale informatie waarover men moet beschikken om de toestand van het systeem eenduidig te kunnen benoemen. Een subtiel verschil is dat in de kwantummechanica de ruimte van toestanden een projectieve vectorruimte is - een CSCO labelt alle basisvectoren, en een algemene toestand is hier een lineaire combinatie van. (nl)
- По́лная систе́ма коммути́рующих наблюда́емых (ПСКН) — множество перестановочных (коммутирующих) самосопряжённых операторов, описывающих квантовые наблюдаемые и определяющих обобщённый базис пространства чистых состояний квантовой системы. Это понятие впервые было предложено Дираком и является одним из основных в квантовой механике. Обобщенные собственные значения операторов ПСКН называются квантовыми числами. (ru)
|
| dbo:wikiPageExternalLink
| |
| dbo:wikiPageID
| |
| dbo:wikiPageLength
|
- 18106 (xsd:nonNegativeInteger)
|
| dbo:wikiPageRevisionID
| |
| dbo:wikiPageWikiLink
| |
| dbp:proof
|
- Let be a complete set of common orthonormal eigenkets of the two compatible observables and , corresponding to the sets of real-valued eigenvalues and respectively. Then we can write
:
Now, we can expand any arbitrary state ket in the complete set as
:
So, using the above result, we can see that
:
This implies , which means that the two operators commute. (en)
- ----
When has non-degenerate eigenvalues:
----
Let be a complete set of orthonormal eigenkets of the self-adjoint operator corresponding to the set of real-valued eigenvalues .
If the self-adjoint operators and commute, we can write
:
So, if , we can say that is an eigenket of corresponding to the eigenvalue . Since both and are eigenkets associated with the same non-degenerate eigenvalue , they can differ at most by a multiplicative constant. We call this constant . So,
: ,
which means is an eigenket of , and thus of and simultaneously. In the case of , the non-zero vector is an eigenket of with the eigenvalue .
----
When has degenerate eigenvalues:
----
Suppose each is -fold degenerate. Let the corresponding orthonormal eigenkets be .
Since , we reason as above to find that is an eigenket of corresponding to the degenerate eigenvalue . So, we can expand in the basis of the degenerate eigenkets of :
:
The are the expansion coefficients. The coefficients form a self-adjoint matrix, since . Next step would be to diagonalize the matrix . To do so, we sum over all with constants . So,
:
So, will be an eigenket of with the eigenvalue if we have
:
This constitutes a system of linear equations for the constants . A non-trivial solution exists if
:
This is an equation of order in , and has roots. For each root we have a non-trivial solution , say, . Due to the self-adjoint of , all solutions are linearly independent. Therefore they form the new basis
:
is simultaneously an eigenket of and with eigenvalues and respectively. (en)
|
| dbp:title
|
- Proof that compatible observables commute (en)
- Proof that commuting observables possess a complete set of common eigenfunctions (en)
|
| dbp:wikiPageUsesTemplate
| |
| dcterms:subject
| |
| gold:hypernym
| |
| rdfs:comment
|
- 量子力学における交換するオブザーバブルの完全集合（complete set of commuting observables、CSCO）とは、交換するオブザーバブルの集合で、それらのオブザーバブルの固有値（つまり測定値）が系の状態を可能な限り完全に指定しているような集合のこと。 CSCOのオブザーバブルはすべて互いに交換するため、CSCOのオブザーバブルはすべて両立でき、CSCOのあるオブザーバブルの測定は、CSCOの別のオブザーバブルの測定に何の影響も与えない。よって別々のオブザーバブルを測定する順番を考える必要はない。 CSCOの測定は、系の量子状態をCSCOの既知の同時固有ベクトルに射影するという意味で、完全な測定を構成する。 可能な限り完全に特定された状態、すなわちCSCOの同時固有ベクトルを準備するためには、任意の状態を取ってから、ヒルベルト空間内のCSCOの同時固有ベクトルになるまで、CSCO内のすべてのオブザーバブルの測定を連続的に行わなければならない。 (ja)
- По́лная систе́ма коммути́рующих наблюда́емых (ПСКН) — множество перестановочных (коммутирующих) самосопряжённых операторов, описывающих квантовые наблюдаемые и определяющих обобщённый базис пространства чистых состояний квантовой системы. Это понятие впервые было предложено Дираком и является одним из основных в квантовой механике. Обобщенные собственные значения операторов ПСКН называются квантовыми числами. (ru)
- Úplná množina pozorovatelných, též ÚMP, představuje takovou množinu pozorovatelných , které jsou navzájem nezávisle měřitelné, tedy pro operátory odpovídající pozorovatelným platí . Z komutativity daných operátorů plyne i komutativita projekčních operátorů do podprostorů odpovídajících vlastním hodnotám jednotlivých operátorů. Konkrétně tedy mějme: Je-li systém ve stavu , pak je hodnota systému po naměření nějakých hodnot rovna: V případě jedné částice tvoří ÚMP např. operátory: (cs)
- Ein vollständiger Satz kommutierender Observablen (v.S.k.O.) ist ein Begriff aus der Quantenmechanik, in der Messgrößen wie Energie, Ort oder Impuls durch Operatoren dargestellt und als Observablen bezeichnet werden. Messgrößen, die man gleichzeitig genau bestimmen kann, heißen kommutierende Observablen; sie haben die Eigenschaft, dass ihre Operatoren miteinander vertauschen. (de)
- In quantum mechanics, a complete set of commuting observables (CSCO) is a set of commuting operators whose common eigenvectors can be used as a basis to express any quantum state. In the case of operators with discrete spectra, a CSCO is a set of commuting observables whose simultaneous eigenspaces span the Hilbert space, so that the eigenvectors are uniquely specified by the corresponding sets of eigenvalues. (en)
- En mecánica cuántica, un conjunto completo de observables compatibles (CCOC) es un conjunto de operadores que cuyos eigenvectores ordinarios pueden utilizarse como base para expresar cualquier estado. En el caso de los operadores con espectros discretos, un CCOC es un conjunto de observables compatibles cuyos espacios propios simultáneos abarcan el espacio de Hilbert, de modo que los eignenvectores están especificados de forma única por los correspondientes conjuntos de valores propios. (es)
- En mécanique quantique, un ensemble complet d'observables qui commutent, fréquemment abrégé ECOC, est un ensemble d'observables qui réunissent les deux conditions suivantes : 1.
* elles commutent deux à deux ; 2.
* il existe une unique base orthonormée de vecteurs propres communs à toutes les observables. C'est en ce sens que l'ensemble est dit complet. (fr)
- In de kwantummechanica verwijst een complete verzameling van commuterende observabelen (in het Engels kortweg CSCO) naar een verzameling commuterende operatoren, waarvan de gemeenschappelijke eigenvectoren een basis vormen van de ruimte van toestanden. Anders gezegd: de ruimte van toestanden heeft een basis, waarvan de elementen volledig bepaald zijn door hun eigenwaardes onder de operatoren in de CSCO. (nl)
|
| rdfs:label
|
- Úplná množina pozorovatelných (cs)
- Vollständiger Satz kommutierender Observablen (de)
- Conjunto completo de observables compatibles (es)
- Complete set of commuting observables (en)
- Ensemble complet d'observables qui commutent (fr)
- 交換するオブザーバブルの完全集合 (ja)
- Complete verzameling van commuterende observabelen (nl)
- Полная система коммутирующих наблюдаемых (ru)
|
| owl:sameAs
| |
| prov:wasDerivedFrom
| |
| foaf:isPrimaryTopicOf
| |
| is dbo:wikiPageDisambiguates
of | |
| is dbo:wikiPageRedirects
of | |
| is dbo:wikiPageWikiLink
of | |
| is rdfs:seeAlso
of | |
| is foaf:primaryTopic
of | |
