Chebyshev's equation is the second order linear differential equation where p is a real (or complex) constant. The equation is named after Russian mathematician Pafnuty Chebyshev. The solutions can be obtained by power series: where the coefficients obey the recurrence relation The series converges for (note, x may be complex), as may be seen by applyingthe ratio test to the recurrence. The recurrence may be started with arbitrary values of a0 and a1,leading to the two-dimensional space of solutions that arises from second orderdifferential equations. The standard choices are: and
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| - Chebyshev equation (en)
- معادلة تشيبيشيف (ar)
- Equació de Txebixov (ca)
- Ekvacio de Ĉebiŝev (eo)
- Ecuación de Chebyshev (es)
- チェビシェフ方程式 (ja)
- 切比雪夫方程 (zh)
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| - معادلة تشيبيشيف (بالإنجليزية: Chebyshev equation) هي المعادلة التفاضلية العادية التالية الخطية ومن الدرجة الثانية:
* بوابة رياضيات (ar)
- チェビシェフ方程式（チェビシェフほうていしき、英語: Chebyshev equation）は、p を実定数とする二階線型常微分方程式 のことである。方程式の名称は、ロシアの数学者パフヌティ・チェビシェフにちなむ。 この方程式の解の全体は、冪級数 で、その各係数が漸化式 によって与えられるものの全体として得られる。上述の級数は漸化式に対してダランベールの収束判定法を用いることにより、x ∈ [−1, 1] において収束することが示される。この漸化式は勝手な a0 および a1 を初期値にとれる。それゆえ、二階方程式から生じる二次元の解空間が上記の冪級数解全体として得られるのである。通常は
* a0 = 1, a1 = 0 のときの解 および
* a0 = 0, a1 = 1 のときの解 を選び、一般解はこの2つの任意の線型結合で与えられる。 p が整数ならば、2つの関数のいずれか一方はその和が有限個の項で終わる（p が偶数なら F の、p が奇数なら G の項がたかだか有限個である）。このとき関数はp-次多項式（もちろん全域で収束する）となる。また、この多項式はチェビシェフ多項式に比例する。すなわち、 （pが偶数の場合） （pが奇数の場合） この記事は、クリエイティブ・コモンズ・ライセンス 表示-継承 3.0 非移植のもと提供されているオンライン数学辞典『PlanetMath』の項目の本文を含む (ja)
- 切比雪夫方程（英語：Chebyshev equation）是指二阶线性常微分方程 其中p为一实常数。该方程是以俄罗斯数学家巴夫尼提·切比雪夫的名字命名的。 方程的解为幂级数 其中系数可通过以下递推关系式计算： 级数在上收敛（对递推关系式应用比值审敛法可得）。 递推关系的初值a0与a1可为任意值，由此可得微分方程不同的特解。通常初值可取为： a0 = 1 ; a1 = 0，可得解 以及 a0 = 0 ; a1 = 1，可得解 通解可表示为以上两特解的任意线性组合。 当p为整数时，两个函数中有一个为有限项：p为偶数时F为有限项，反之G为有限项。此时，那个为有限项的函数是一个p次多项式，并与p次切比雪夫多项式成比例： （p为偶数） （p为奇数） (zh)
- L'equació de Txebixov és una equació diferencial lineal de segon ordre, en funció de les variables x i y s'escriuː on p és un nombre constant real (o complex). L'equació rep el seu nom pel matemàtic rus Pafnuti Txebixov. Les solucions poden ser obtingudes a partir de la sèrie de potències: on els coeficients obeeixen la relació de recurrència La sèrie convergeix per a (on x pot ser complex), com es pot demostrar tot aplicant el criteri de d'Alembert a la recurrència. a0 = 1, a1 = 0, que porta a la solució i a0 = 0, a1 = 1, que porta a la solució Si p és parellː Si p és senarː (ca)
- Ekvacio de Ĉebiŝev estas ordinara diferenciala ekvacio de la dua ordo kie p estas reela konstanto. La ekvacio estas nomita post rusia matematikisto Pafnutij Ĉebiŝov. La solvaĵoj estas ricevita per : kie la koeficientoj obeas la Ĉi tiu serio konverĝas por x en [-1, 1], kio povas vidiĝi per apliko de la al la rikura rormulo. La rikuro povas esti startita kun ajnaj valoroj de a0 kaj a1, donante la du-dimensian spacon de solvaĵoj, kio estas pro la dua ordo de la diferenciala ekvacio. Estas du sendependaj solvaĵoj kiuj estas serioj por la valoroj de a0 kaj a1: a0 = 1 ; a1 = 0a0 = 0 ; a1 = 1 (eo)
- Chebyshev's equation is the second order linear differential equation where p is a real (or complex) constant. The equation is named after Russian mathematician Pafnuty Chebyshev. The solutions can be obtained by power series: where the coefficients obey the recurrence relation The series converges for (note, x may be complex), as may be seen by applyingthe ratio test to the recurrence. The recurrence may be started with arbitrary values of a0 and a1,leading to the two-dimensional space of solutions that arises from second orderdifferential equations. The standard choices are: and (en)
- La ecuación de Chebyshev es la ecuación diferencial lineal de segundo orden. donde p es una constante real (o compleja). La ecuación lleva el nombre del matemático ruso Pafnuty Chebyshev. Las soluciones se pueden obtener por series de potencias: donde los coeficientes obedecen la relación de recurrencia La serie converge para (nota, x puede ser complejo), como se puede ver aplicando el criterio de d'Alembert a la recurrencia. a0 = 1 ; a1 = 0, conducen a la solución y a0 = 0 ; a1 = 1, conducen a la solución La solución general es cualquier combinación lineal de estas dos. si p es par si p es impar (es)
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| - L'equació de Txebixov és una equació diferencial lineal de segon ordre, en funció de les variables x i y s'escriuː on p és un nombre constant real (o complex). L'equació rep el seu nom pel matemàtic rus Pafnuti Txebixov. Les solucions poden ser obtingudes a partir de la sèrie de potències: on els coeficients obeeixen la relació de recurrència La sèrie convergeix per a (on x pot ser complex), com es pot demostrar tot aplicant el criteri de d'Alembert a la recurrència. La recurrència pot ser iniciada amb valors arbitraris d'a0 i a1, portant un espai bidimensional de solucions que sorgeix d'equacions diferencial de segon ordre. Les formes estàndards escollides són: a0 = 1, a1 = 0, que porta a la solució i a0 = 0, a1 = 1, que porta a la solució La solució general és qualsevol combinació lineal de les equacions F i G. Quan p és un enter no negatiu, la sèrie d'una o l'altra de les dues funcions acaba després d'un número finit de termes: F acaba si p és parell, i G ho fa si p és senar. En aquest cas, la funció és un polinomi de grau p i és proporcional al polinomi de Txebixov de primera classeː Si p és parellː Si p és senarː (ca)
- معادلة تشيبيشيف (بالإنجليزية: Chebyshev equation) هي المعادلة التفاضلية العادية التالية الخطية ومن الدرجة الثانية:
* بوابة رياضيات (ar)
- Ekvacio de Ĉebiŝev estas ordinara diferenciala ekvacio de la dua ordo kie p estas reela konstanto. La ekvacio estas nomita post rusia matematikisto Pafnutij Ĉebiŝov. La solvaĵoj estas ricevita per : kie la koeficientoj obeas la Ĉi tiu serio konverĝas por x en [-1, 1], kio povas vidiĝi per apliko de la al la rikura rormulo. La rikuro povas esti startita kun ajnaj valoroj de a0 kaj a1, donante la du-dimensian spacon de solvaĵoj, kio estas pro la dua ordo de la diferenciala ekvacio. Estas du sendependaj solvaĵoj kiuj estas serioj por la valoroj de a0 kaj a1: a0 = 1 ; a1 = 0a0 = 0 ; a1 = 1 La ĝenerala solvaĵo estas ĉiu lineara kombinaĵo de ĉi tiuj du. Se p estas entjero, unu aŭ la alia el la du funkcioj havas sian serion finitan post finia kvanto de termoj: F finias se p estas para, kaj G finias se p estas nepara. En ĉi tiu okazo, tiu funkcio kiu estas polinomo de p-a grado (konverĝanta ĉie), kaj ĉi tiu polinomo estas proporcia kun la p-a . (eo)
- Chebyshev's equation is the second order linear differential equation where p is a real (or complex) constant. The equation is named after Russian mathematician Pafnuty Chebyshev. The solutions can be obtained by power series: where the coefficients obey the recurrence relation The series converges for (note, x may be complex), as may be seen by applyingthe ratio test to the recurrence. The recurrence may be started with arbitrary values of a0 and a1,leading to the two-dimensional space of solutions that arises from second orderdifferential equations. The standard choices are: a0 = 1 ; a1 = 0, leading to the solution and a0 = 0 ; a1 = 1, leading to the solution The general solution is any linear combination of these two. When p is a non-negative integer, one or the other of the two functions has its series terminateafter a finite number of terms: F terminates if p is even, and G terminates if p is odd.In this case, that function is a polynomial of degree p and it is proportional to theChebyshev polynomial of the first kind if p is even if p is odd This article incorporates material from Chebyshev equation on PlanetMath, which is licensed under the Creative Commons Attribution/Share-Alike License. (en)
- La ecuación de Chebyshev es la ecuación diferencial lineal de segundo orden. donde p es una constante real (o compleja). La ecuación lleva el nombre del matemático ruso Pafnuty Chebyshev. Las soluciones se pueden obtener por series de potencias: donde los coeficientes obedecen la relación de recurrencia La serie converge para (nota, x puede ser complejo), como se puede ver aplicando el criterio de d'Alembert a la recurrencia. La recurrencia puede comenzar con valores arbitrarios de a0 y a1, lo que lleva al espacio bidimensional de soluciones que surge de ecuaciones diferenciales de segundo orden. Las opciones estándar son: a0 = 1 ; a1 = 0, conducen a la solución y a0 = 0 ; a1 = 1, conducen a la solución La solución general es cualquier combinación lineal de estas dos. Cuando p es un número entero no negativo, una u otra de las dos funciones tiene su serie acabada con un número finito de términos: F termina si p es par y G termina si p es impar. En este caso, esa función es un polinomio de grado p y es proporcional al polinomio de Chebyshev de primer tipo si p es par si p es impar (es)
- チェビシェフ方程式（チェビシェフほうていしき、英語: Chebyshev equation）は、p を実定数とする二階線型常微分方程式 のことである。方程式の名称は、ロシアの数学者パフヌティ・チェビシェフにちなむ。 この方程式の解の全体は、冪級数 で、その各係数が漸化式 によって与えられるものの全体として得られる。上述の級数は漸化式に対してダランベールの収束判定法を用いることにより、x ∈ [−1, 1] において収束することが示される。この漸化式は勝手な a0 および a1 を初期値にとれる。それゆえ、二階方程式から生じる二次元の解空間が上記の冪級数解全体として得られるのである。通常は
* a0 = 1, a1 = 0 のときの解 および
* a0 = 0, a1 = 1 のときの解 を選び、一般解はこの2つの任意の線型結合で与えられる。 p が整数ならば、2つの関数のいずれか一方はその和が有限個の項で終わる（p が偶数なら F の、p が奇数なら G の項がたかだか有限個である）。このとき関数はp-次多項式（もちろん全域で収束する）となる。また、この多項式はチェビシェフ多項式に比例する。すなわち、 （pが偶数の場合） （pが奇数の場合） この記事は、クリエイティブ・コモンズ・ライセンス 表示-継承 3.0 非移植のもと提供されているオンライン数学辞典『PlanetMath』の項目の本文を含む (ja)
- 切比雪夫方程（英語：Chebyshev equation）是指二阶线性常微分方程 其中p为一实常数。该方程是以俄罗斯数学家巴夫尼提·切比雪夫的名字命名的。 方程的解为幂级数 其中系数可通过以下递推关系式计算： 级数在上收敛（对递推关系式应用比值审敛法可得）。 递推关系的初值a0与a1可为任意值，由此可得微分方程不同的特解。通常初值可取为： a0 = 1 ; a1 = 0，可得解 以及 a0 = 0 ; a1 = 1，可得解 通解可表示为以上两特解的任意线性组合。 当p为整数时，两个函数中有一个为有限项：p为偶数时F为有限项，反之G为有限项。此时，那个为有限项的函数是一个p次多项式，并与p次切比雪夫多项式成比例： （p为偶数） （p为奇数） (zh)
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