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Statements

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dbr:Total_order
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Ordine totale Tuteca ordo 전순서 집합 全順序 Ordre total Lineární uspořádání Линейно упорядоченное множество Лінійно впорядкована множина Linjär ordning Total order Orden total Porządek liniowy Totale orde ترتيب كلي Ordre total 全序关系
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数学における線型順序(せんけいじゅんじょ、英: linear order)、全順序(ぜんじゅんじょ、英: total order)または単純順序(たんじゅんじゅんじょ、英: simple order)は、推移的、反対称かつ完全な二項関係を言う。集合と全順序を組にしたものは、全順序集合 (totally ordered set), 線型順序集合 (linearly ordered set), 単純順序集合 (simply ordered set) あるいは鎖 (chain) と呼ばれる。 即ち、集合 X が関係 ≤ によって全順序付けられるとき、X の任意の元 a, b, c に対して、以下の条件 反対称律: a ≤ b かつ b ≤ a ならば a = b;推移律: a ≤ b かつ b ≤ c ならば a ≤ c;完全律 (比較可能): a ≤ b または b ≤ a の何れかが必ず成り立つ; が満足される。 En matematiko, tuteca ordo, lineara ordo aŭ simpla ordo sur aro X estas ĉiu duargumenta rilato sur X kiu estas malsimetria, transitiva, kaj tuteca. Tio signifas ke se ni nomos iun tian rilaton per ≤ , tiam jenaj propozicioj veros por ĉiuj a, b kaj c en X: se a ≤ b kaj b ≤ a tiam a = b (malsimetrio)se a ≤ b kaj b ≤ c tiam a ≤ c (transitiveco)a ≤ b aŭ b ≤ a (tuteco) Aro parigita kun asociita tuteca ordo sur ĝi nomiĝas tutece orda aro, lineare orda aro, simple orda aro, aŭ ĉeno. Alternative, oni povas difini tutece orda aro kiel aparta speco de latiso, nome unu en kiu ni havas في نظرية المجموعات، الترتيب الكلي، وقد يسمى الترتيب الخطي أوالترتيب البسيط أوالترتيب (غير القطعي), هو علاقة ثنائية, (يرمز إليها هنا ب ≤) معرفة على مجموعة X ما، Porządek liniowy – częściowy porządek będący zarazem łańcuchem, czyli taki, w którym każde dwa elementy rozpatrywanego zbioru są porównywalne. In mathematics, a total order, simple order, linear order, connex order, or full order is a binary relation on some set , which is antisymmetric, transitive, and a connex relation. A set paired with a total order is called a chain, a totally ordered set, a simply ordered set, a linearly ordered set, or a loset. Formally, a binary relation is a total order on a set if the following statements hold for all and in : AntisymmetryIf and then ;TransitivityIf and then ;Connexity or . 순서론에서, 전순서 집합(全順序集合, 영어: totally ordered set, toset)는 임의의 두 원소를 비교할 수 있는 부분 순서 집합이다. En linjär ordning eller totalordning är inom matematik en binär relation på en mängd som ordnar elementen i en stigande eller fallande ordning. En sådan ordnad mängd som relationen är definierad på sägs vara en linjärt ordnad mängd eller en totalt ordnad mängd. Лінійно впорядкована множина (ланцюг) — частково впорядкована множина (множина на якій задане відношення нестрогого порядку), в якій для будь-яких двох елементів і виконується чи Тобто, для вимога рефлексивності посилена до вимоги повноти. Частковий випадок лінійно впорядкованої множини — цілком впорядкована множина. Іншими словами: лінійний порядок = частковий порядок з умовою повноти. Лінійний порядок використовується в * , * теорії порядку, * теорії категорій. In de wiskunde is een totale orde of lineaire orde een ordeningsrelatie op een verzameling die het meest lijkt op de ordening zoals die bekend is van de getallenrechte. Een verzameling met een dergelijke orde erop, heet een totaal geordende, of lineair geordende verzameling. Een totaal of lineair geordende verzameling kan, zoals de term lineair al doet vermoeden, voorgesteld worden als een rechte lijn of een deelverzameling daarvan, met aan de ene kant van een element de opvolgers ervan en aan de andere kant zijn voorgangers. Een totaal geordende verzameling wordt met betrekking tot de ordening wel aangeduid als keten. Лине́йно упоря́доченное мно́жество или цепь ― частично упорядоченное множество, в котором для любых двух элементов и имеет место или . Важнейший частный случай линейно упорядоченных множеств ― вполне упорядоченные множества. 全序关系即集合上的反对称的、传递的和的二元关系(一般称其为)。 若满足全序关系,则下列陈述对于中的所有和成立: * 反对称性:若且则 * 传递性:若且则 * 完全性:或 满足全序关系的集合叫做全序集合、线性序集合、简单序集合或链。链还常用来描述偏序集合的全序子集。 全序关系的完全性可以如下这样描述:集合中的任何一对元素都是可相互比较的。 注意完全性条件蕴涵了自反性:,因此全序关系也是(满足“完全性”条件的)偏序关系。 En matemáticas, un orden total, orden lineal, orden simple, o simplemente orden en un conjunto X es una relación binaria sobre X que es: reflexiva, transitiva, antisimétrica, y total; esto es, si se denota una tal relación por ≤, lo siguiente vale para cualesquiera a, b, y c en X: * si a pertenece a X, entonces a ≤ a (reflexiva). * Si a ≤ b y b ≤ c, entonces a ≤ c (transitividad). * Si a ≤ b y b ≤ a, entonces a = b (antisimetría). * a ≤ b o b ≤ a (totalidad o completitud). Por tanto, un orden total es un orden parcial que cumple la . En matemàtiques, un ordre lineal, ordre total, ordre simple o també ordenació és una relació binària (que en aquest article denotarem mitjançant per l'infix ≤) en un conjunt X. Aquesta relació és transitiva, antisimètrica i total. Un conjunt amb un ordre total s'anomena conjunt totalment ordenat, o cadena. Si X és totalment ordenat per ≤, llavors les següents afirmacions són certes per a, b i c de X qualssevol: * Si a ≤ b i b ≤ a, llavors a = b (antisimetria). * Si a ≤ b i b ≤ c, llavors a ≤ c (transitivitat). * Es té que a ≤ b o bé b ≤ a (totalitat). Lineární uspořádání (někdy také úplné uspořádání) je pojem z teorie uspořádání, který formálně zachycuje intuitivní představu o prvcích množiny, které jsou seřazeny „jeden za druhým“. To mimo jiné znamená, že každé dva prvky lineárně uspořádané množiny jsou porovnatelné. En mathématiques, on appelle relation d'ordre total sur un ensemble E toute relation d'ordre ≤ pour laquelle deux éléments de E sont toujours comparables, c'est-à-dire que . On dit alors que E est totalement ordonné par ≤. In matematica, un ordine semplice/ordine totale o ordine lineare (o relazione d'ordine totale o lineare) è una relazione binaria su un insieme X che è riflessiva, antisimmetrica, transitiva (quindi una relazione d'ordine) e totale. Questo significa che, se denotiamo una tale relazione con ≤, valgono i seguenti enunciati per tutti gli a, b e c elementi di X: a ≤ a (riflessività)se a ≤ b e b ≤ a, allora a = b (antisimmetria)se a ≤ b e b ≤ c allora a ≤ c (transitività)a ≤ b oppure b ≤ a (totalità) . A tale reticolo si associa la relazione definita ponendo per due suoi generici elementi a e b:
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Totally ordered set
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全序关系即集合上的反对称的、传递的和的二元关系(一般称其为)。 若满足全序关系,则下列陈述对于中的所有和成立: * 反对称性:若且则 * 传递性:若且则 * 完全性:或 满足全序关系的集合叫做全序集合、线性序集合、简单序集合或链。链还常用来描述偏序集合的全序子集。 全序关系的完全性可以如下这样描述:集合中的任何一对元素都是可相互比较的。 注意完全性条件蕴涵了自反性:,因此全序关系也是(满足“完全性”条件的)偏序关系。 In mathematics, a total order, simple order, linear order, connex order, or full order is a binary relation on some set , which is antisymmetric, transitive, and a connex relation. A set paired with a total order is called a chain, a totally ordered set, a simply ordered set, a linearly ordered set, or a loset. Formally, a binary relation is a total order on a set if the following statements hold for all and in : AntisymmetryIf and then ;TransitivityIf and then ;Connexity or . Antisymmetry eliminates uncertain cases when both precedes and precedes . A relation having the connex property means that any pair of elements in the set of the relation are comparable under the relation. This also means that the set can be diagrammed as a line of elements, giving it the name linear. The connex property also implies reflexivity, i.e., a ≤ a. Therefore, a total order is also a (special case of a) partial order, as, for a partial order, the connex property is replaced by the weaker reflexivity property. An extension of a given partial order to a total order is called a linear extension of that partial order. 순서론에서, 전순서 집합(全順序集合, 영어: totally ordered set, toset)는 임의의 두 원소를 비교할 수 있는 부분 순서 집합이다. Лине́йно упоря́доченное мно́жество или цепь ― частично упорядоченное множество, в котором для любых двух элементов и имеет место или . Важнейший частный случай линейно упорядоченных множеств ― вполне упорядоченные множества. En matematiko, tuteca ordo, lineara ordo aŭ simpla ordo sur aro X estas ĉiu duargumenta rilato sur X kiu estas malsimetria, transitiva, kaj tuteca. Tio signifas ke se ni nomos iun tian rilaton per ≤ , tiam jenaj propozicioj veros por ĉiuj a, b kaj c en X: se a ≤ b kaj b ≤ a tiam a = b (malsimetrio)se a ≤ b kaj b ≤ c tiam a ≤ c (transitiveco)a ≤ b aŭ b ≤ a (tuteco) Aro parigita kun asociita tuteca ordo sur ĝi nomiĝas tutece orda aro, lineare orda aro, simple orda aro, aŭ ĉeno. Rilata propraĵo de tuteco povas esti priskribita tiamaniere: ke ĉiu paro de eroj en la aro estas reciproke komparebla sub la rilato. Rimarku ke la kondiĉo de tuteco implicas refleksivecon, tio estas a ≤ a. Tial tuteca ordo estas ankaŭ , tio estas, duargumenta rilato kiu estas refleksiva, malsimetria kaj transitiva. Tuteca ordo povas ankaŭ esti difinita kiel parta ordo kiu estas tuteca. Alternative, oni povas difini tutece orda aro kiel aparta speco de latiso, nome unu en kiu ni havas { a ∨ b, a ∧ b } = { a, b } por ĉiuj a, b. Ni tiam skribas a ≤ b se kaj nur se a = a ∧ b. Sekvas, ke tutece orda aro estas . Se a kaj b estas membroj de aro kiu estas tutece ordita per ≤, tiam ni povas difini duargumentan rilaton a < b kiel: a ≤ b kaj a ≠ b. Ĉi tiu rilato estas transitiva (a < b kaj b < c implicas ke a < c) kaj, malkiel ≤, (t.e., ekzakte unu de a < b, b < a kaj a = b veras). Ni povas procedi laŭ la alia vojo kaj starti per ekelekti < kiel transitivan triĥotoman duargumentan rilaton; tiam se ni difinas a ≤ b signifi a < b aŭ a = b , tiam ≤ povas esti montrita esti tuteca ordo. Tutece ordaj aroj formas de la de aroj, kun la strukturkonservantaj transformoj estante mapoj kiuj respektas la ordojn, t.e. mapojn f tiaj ke se a ≤ b tiam f(a) ≤ f(b). Reciproke unuvalora surĵeto inter du tutece ordaj aroj kiu respektas la du ordojn estas izomorfio en ĉi tiu kategorio. En mathématiques, on appelle relation d'ordre total sur un ensemble E toute relation d'ordre ≤ pour laquelle deux éléments de E sont toujours comparables, c'est-à-dire que . On dit alors que E est totalement ordonné par ≤. Porządek liniowy – częściowy porządek będący zarazem łańcuchem, czyli taki, w którym każde dwa elementy rozpatrywanego zbioru są porównywalne. En linjär ordning eller totalordning är inom matematik en binär relation på en mängd som ordnar elementen i en stigande eller fallande ordning. En sådan ordnad mängd som relationen är definierad på sägs vara en linjärt ordnad mängd eller en totalt ordnad mängd. En matemàtiques, un ordre lineal, ordre total, ordre simple o també ordenació és una relació binària (que en aquest article denotarem mitjançant per l'infix ≤) en un conjunt X. Aquesta relació és transitiva, antisimètrica i total. Un conjunt amb un ordre total s'anomena conjunt totalment ordenat, o cadena. Si X és totalment ordenat per ≤, llavors les següents afirmacions són certes per a, b i c de X qualssevol: * Si a ≤ b i b ≤ a, llavors a = b (antisimetria). * Si a ≤ b i b ≤ c, llavors a ≤ c (transitivitat). * Es té que a ≤ b o bé b ≤ a (totalitat). L'antisimetria elimina els casos incerts en què a precedeix b i alhora b precedeix a. Una relació amb la propietat de «totalitat» vol dir que tot parell d'elements del conjunt de la relació són comparables per la relació. Això també vol dir que el conjunt es pot simbolitzar com una línia d'elements. La totalitat també implica la reflexivitat, és a dir, a ≤ a. Per tant, un ordre total és també un ordre parcial. L'ordre parcial té una forma més feble de la tercera condició (només requereix reflexivitat, no totalitat). Una extensió d'un ordre parcial donat a un ordre total s'anomena extensió lineal de l'ordre parcial. في نظرية المجموعات، الترتيب الكلي، وقد يسمى الترتيب الخطي أوالترتيب البسيط أوالترتيب (غير القطعي), هو علاقة ثنائية, (يرمز إليها هنا ب ≤) معرفة على مجموعة X ما، In de wiskunde is een totale orde of lineaire orde een ordeningsrelatie op een verzameling die het meest lijkt op de ordening zoals die bekend is van de getallenrechte. Een verzameling met een dergelijke orde erop, heet een totaal geordende, of lineair geordende verzameling. Een totaal of lineair geordende verzameling kan, zoals de term lineair al doet vermoeden, voorgesteld worden als een rechte lijn of een deelverzameling daarvan, met aan de ene kant van een element de opvolgers ervan en aan de andere kant zijn voorgangers. Een totaal geordende verzameling wordt met betrekking tot de ordening wel aangeduid als keten. In matematica, un ordine semplice/ordine totale o ordine lineare (o relazione d'ordine totale o lineare) è una relazione binaria su un insieme X che è riflessiva, antisimmetrica, transitiva (quindi una relazione d'ordine) e totale. Questo significa che, se denotiamo una tale relazione con ≤, valgono i seguenti enunciati per tutti gli a, b e c elementi di X: a ≤ a (riflessività)se a ≤ b e b ≤ a, allora a = b (antisimmetria)se a ≤ b e b ≤ c allora a ≤ c (transitività)a ≤ b oppure b ≤ a (totalità) Un insieme munito di un ordine totale viene chiamato insieme totalmente ordinato, o anche insieme linearmente ordinato, o catena. La stessa definizione si può dare per i preordini: un preordine che soddisfi la proprietà di totalità si dice preordine totale. La proprietà di totalità di una relazione si può descrivere dicendo che due suoi elementi qualsiasi costituiscono una coppia confrontabile per la relazione stessa. Notare che la proprietà di totalità implica la riflessività, cioè che per ogni elemento a sia a ≤ a. Un ordine totale è in particolare un ordine parziale, cioè è una relazione binaria riflessiva, antisimmetrica e transitiva. Un ordine totale si può anche definire come un ordine parziale che è anche una relazione totale. Alternativamente un insieme totalmente ordinato si può definire a partire da un particolare tipo di reticolo per il quale sia . A tale reticolo si associa la relazione definita ponendo per due suoi generici elementi a e b: a ≤ b se e solo se . Se a e b sono elementi di un insieme totalmente ordinato dalla relazione ≤, allora si può definire la relazione binaria a < b chiedendo: a ≤ b e a ≠ b. Questa relazione, come la ≤, è transitiva (a < b e b < c implicano a < c) ma, contrariamente a ≤, è tricotomica, cioè tale che è vero uno e uno solo dei tre fatti a < b, b < a e a = b. Si può anche seguire il percorso costruttivo opposto, cioè partire da una relazione binaria transitiva tricotomica <, definire la relazione a ≤ b per esprimere la relazione "a < b o a = b" e dimostrare che ≤ è un ordine totale. 数学における線型順序(せんけいじゅんじょ、英: linear order)、全順序(ぜんじゅんじょ、英: total order)または単純順序(たんじゅんじゅんじょ、英: simple order)は、推移的、反対称かつ完全な二項関係を言う。集合と全順序を組にしたものは、全順序集合 (totally ordered set), 線型順序集合 (linearly ordered set), 単純順序集合 (simply ordered set) あるいは鎖 (chain) と呼ばれる。 即ち、集合 X が関係 ≤ によって全順序付けられるとき、X の任意の元 a, b, c に対して、以下の条件 反対称律: a ≤ b かつ b ≤ a ならば a = b;推移律: a ≤ b かつ b ≤ c ならば a ≤ c;完全律 (比較可能): a ≤ b または b ≤ a の何れかが必ず成り立つ; が満足される。 反対称性によって a < b でも b < a でもあるような不確定な状態は排除される。完全性を持つ関係は、その集合の任意の二元がその関係でであることを意味する。これはまた、元を直線に並べた図式によってその集合が表せるということでもあり、それは「線型」順序の名の由来である。また完全性から反射性 (a ≤ a) が出るから、全順序は半順序の公理を満たす。半順序は(完全性の代わりに反射性のみが課されるという意味で)全順序よりも弱い条件である。与えられた半順序を拡張して全順序をえることは、半順序のと呼ばれる。 Лінійно впорядкована множина (ланцюг) — частково впорядкована множина (множина на якій задане відношення нестрогого порядку), в якій для будь-яких двох елементів і виконується чи Тобто, для вимога рефлексивності посилена до вимоги повноти. Частковий випадок лінійно впорядкованої множини — цілком впорядкована множина. Іншими словами: лінійний порядок = частковий порядок з умовою повноти. Лінійний порядок використовується в * , * теорії порядку, * теорії категорій. Lineární uspořádání (někdy také úplné uspořádání) je pojem z teorie uspořádání, který formálně zachycuje intuitivní představu o prvcích množiny, které jsou seřazeny „jeden za druhým“. To mimo jiné znamená, že každé dva prvky lineárně uspořádané množiny jsou porovnatelné. En matemáticas, un orden total, orden lineal, orden simple, o simplemente orden en un conjunto X es una relación binaria sobre X que es: reflexiva, transitiva, antisimétrica, y total; esto es, si se denota una tal relación por ≤, lo siguiente vale para cualesquiera a, b, y c en X: * si a pertenece a X, entonces a ≤ a (reflexiva). * Si a ≤ b y b ≤ c, entonces a ≤ c (transitividad). * Si a ≤ b y b ≤ a, entonces a = b (antisimetría). * a ≤ b o b ≤ a (totalidad o completitud). La propiedad de totalidad de esta relación se puede también describir como que todo par de elementos que son comparables bajo la relación. Por tanto, un orden total es un orden parcial que cumple la . Un conjunto dotado de un orden total se denomina conjunto totalmente ordenado, linealmente ordenado, simplemente ordenado, o cadena. Nótese que la condición de totalidad implica reflexividad, esto es, a ≤ a para todo a ∈ X; por lo tanto, un orden total es también un orden parcial, esto es, una relación binaria reflexiva, antisimétrica, y transitiva. Un orden total, entonces, puede también definirse como un orden parcial que sea "total", i.e. que cumpla con la condición de totalidad. Como alternativa, se puede definir un conjunto totalmente ordenado como un tipo particular de retículo, en el que se tiene {a ∨ b, a ∧ b} = {a, b} para cualesquiera a, b. Se escribe entonces a ≤ b si y solo si a = a ∧ b. Se deduce que un conjunto totalmente ordenado es un retículo distributivo. Los conjuntos totalmente ordenados forman una subcategoría completa de la categoría de conjuntos parcialmente ordenados, siendo los morfismos funciones que respetan el orden, es decir, funciones f tales que si a ≤ b entonces f(a) ≤ f(b). Una función biyectiva entre dos conjuntos totalmente ordenados que respete los dos órdenes es un isomorfismo en esta categoría.
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