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دوران (هندسة) Rotación (matemáticas) Rotation (avbildning) 回転 (数学) Rotação (matemática) Biraketa (matematika) Обертання (математика) Turnado (matematiko) Rotation (mathematics) Поворот Rotació (matemàtiques) Otočení Rotation vectorielle Rotazione (matematica) Drehung 旋转 회전 (기하학) Rotatie (meetkunde)

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( 수학에서 넓은 의미의 회전에 대해서는 회전 문서를 참고하십시오.) 회전(回轉, 영어: rotation) 또는 회전 이동(回轉 移動)은 기하학에서 하나의 점을 중심으로 같은 각도 회전시키는 함수를 가리킨다. 고정점이 있는 아핀 변환이다. 한 고정점을 강체(rigid body)로 가진다고 할 수 있다. 회전은 각도를 가지는데 시계 방향을 음수, 반시계 방향을 양수로 표현한다. 회전 이동은 고정점이 없는 평행 이동이나 고정점의 집합이 초평면인 대칭 이동(반사)과는 다르다. 회전은 수학적으로 사상(map)이다. 고정점을 가지는 모든 회전은 공간에서 회전군이라는 합성으로 군을 이룬다. 하지만 역학이나 물리학에서는 회전의 개념을 좌표 변환으로 받아들인다. 初等幾何学および線型代数学における回転（かいてん、英: rotation）は、平面あるいは空間において固定された一点の周りでの剛体の運動を記述する。回転は、不動点を持たない平行移動とは違うし、剛体を「裏返し」にしてしまう鏡映とも異なる。回転を含めたこれらの変換は等距変換、即ちこれらの変換の前後で二点間の距離を変えない。 回転を考える際には基準系を知ることが重要であり、全ての回転はある特定の基準系に対するものとして記述される。一般に、ある座標系に関する剛体の任意の直交変換に対し、その逆変換が存在して、それを基準系に施すと剛体はもとと同じ座標にいることになる。例えば二次元の座標上の1点を定めて剛体を置いた時、1点を軸として剛体を時計回りに回すことと、剛体を動かさず1点を軸として座標を反時計回りに回すことは等価である。 En geometrio kaj lineara algebro, turnado estas en ebeno aŭ en spaco, kiu priskribas la moviĝon de solido ĉirkaŭ fiksa punkto. Turnado estas malsama de , kiu ne havas fiksajn punktojn, kaj de . Turnado, movo kaj reflekto estas izometrioj; ili lasas la distancojn inter ĉiu du punktoj neŝanĝitajn post la transformo. Matematikan, biraketa edo errotazia geometrian jatorria duen kontzeptu bat da. Edozein biraketa, espazio jakin batean, bere jatorrizko posizioan gutxienez puntu bat mantentzen duen mugimendu zehatz bat da. Errotazio bat beste mugimendu mota batzuekiko ezberdina da (translazioa, adibidez, puntu finkorik ez duena; edo islapena, plano bat mantentzen duena). Поверта́ння у геометрії та лінійній алгебрі — рух, який зберігає орієнтацію простору (площини) та має нерухомі точки. Повертання відрізняється від паралельного перенесення, яке не має нерухомих точок, однак зберігає орієнтацію. Також відрізняється від відбиття, яке змінює орієнтацію, хоча має нерухомі точки. Повертання та інші згадані перетворення є ізометріями; вони залишають незмінними відстані між двома будь-якими точками. الدوران هو واحد من 3 أنواع من التحويلات التي تحافظ على الأبعاد، في المستوى أو الفراغ، بالإضافة إلى الإزاحة والانعكاس. 旋转在几何和线性代数中是描述刚体围绕一个固定点的运动的在平面或空间中的。旋转不同于没有固定点的平移，和翻转变换的形体的反射。旋转和上面提及的变换是等距的，它们保留在任何两点之间的距离在变换之后不变。 Em álgebra linear e geometria, uma rotação é uma transformação geométrica de um sistema de coordenadas. Em outras palavras, uma rotação é um tipo de isometria – note entretanto que há outras isometrias além das rotações, tais como translações e reflexões. “Fizemos um ponto O no plano π agora orientado (como a tradição recomenda, o sentido positivo é o anti-horário). Dado um ângulo α, a rotação de centro O e amplitude α é a transformação que a cada ponto A do plano π associa o ponto A’ = Rα(A) de forma que se tenha A’O = AO, AôA’ = α e o sentido de A para A’ (em torno de O), positivo”. Soit E un espace vectoriel euclidien. Une rotation vectorielle de E est un élément du groupe spécial orthogonal SO(E). Si on choisit une base orthonormée de E, sa matrice dans cette base est orthogonale directe. In matematica, e in particolare in geometria, una rotazione è una trasformazione del piano o dello spazio euclideo che sposta gli oggetti in modo rigido e che lascia fisso almeno un punto, nel caso del piano, o una retta, nel caso dello spazio. I punti che restano fissi nella trasformazione formano più in generale un sottospazio: quando questo insieme è un punto o una retta, si chiama rispettivamente il centro e l'asse della rotazione. Più precisamente, una rotazione è una isometria di uno spazio euclideo che ne preserva l'orientazione, ed è descritta da una matrice ortogonale speciale. Een rotatie of draaiing in de vlakke meetkunde is een isometrie in het platte vlak, die alle punten over een vaste hoek om een vast punt draait. Rotatie behoudt oriëntatie van een figuur Een bijzonder geval is de triviale rotatie, de identieke afbeelding, waarbij de hoek nul is. Een niet-triviale rotatie wordt ook wel een echte rotatie genoemd. Een echte rotatie heeft in het platte vlak één dekpunt. Поворо́т (враще́ние) — движение плоскости или пространства, при котором по крайней мере одна точка остаётся неподвижной. En geometria i àlgebra lineal, una rotació és una transformació en el pla o en l'espai que descriu el moviment d'un sòlid rígid al voltant d'un eix. En una rotació pura els punts de l'eix són fixos; dit d'una altra manera, la posició dels punts de l'eix queden en el mateix lloc un cop transformats. Una rotació es diferencia d'una translació, la qual desplaça tots els punts del sòlid per igual i no manté punts fixos, i d'una reflexió, que tomben el sòlid creant-ne una imatge especular. Les tres transformacions descrites deixen inalterades les distàncies entre parelles de punts; són isometries. V geometrii představuje otočení neboli rotace v eukleidovské rovině geometrické zobrazení, které je charakterizováno tím, že spojnice všech bodů s pevně zvoleným bodem, tzn. středem otočení, se změní o stejný úhel a vzdálenost bodů od středu otáčení zůstává nezměněna. Otočení v rovině kolem středu o (orientovaný) úhel je tedy takové shodné zobrazení, při kterém je obrazem bodu bod , pro který platí a velikost úhlu je . Obrazem středu otočení je opět bod . Otočení se řadí mezi shodná zobrazení. Unter einer Drehung versteht man in der Geometrie eine Selbstabbildung des euklidischen Raumes mit mindestens einem Fixpunkt, die alle Abstände invariant lässt und die Orientierung erhält. Wird die Orientierung vertauscht, so liegt eine Spiegelung (Geometrie) oder Drehspiegelung vor. Da Drehungen Längen (und folglich Winkel) invariant lassen, ist jede Drehung eine Kongruenzabbildung.Im zwei- und dreidimensionalen Raum gehört zu jeder Drehung ein bestimmter Drehwinkel. Drehungen, deren Drehwinkel sich um 360° oder ein Vielfaches davon unterscheiden, sind identisch. En matemáticas, la rotación es un concepto que tiene su origen en la geometría. Cualquier rotación es un movimiento definido en un determinado espacio que conserva al menos un punto en su posición original.​ Puede describir, por ejemplo, el giro de un cuerpo rígido alrededor de un punto fijo. Una rotación es diferente a otros tipos de movimientos (como la traslación, que no tiene puntos fijos; o la reflexión). Rotation in mathematics is a concept originating in geometry. Any rotation is a motion of a certain space that preserves at least one point. It can describe, for example, the motion of a rigid body around a fixed point. Rotation can have sign (as in the sign of an angle): a clockwise rotation is a negative magnitude so a counterclockwise turn has a positive magnitude.A rotation is different from other types of motions: translations, which have no fixed points, and (hyperplane) reflections, each of them having an entire (n − 1)-dimensional flat of fixed points in a n-dimensional space. En rotationsmatris är en beskrivning av en linjär avbildning som roterar ett geometriskt objekt. Sedan början av 1990-talet har transformationer i form av isometrier (det vill säga främst rotationer och translationer) blivit allt viktigare i datorgrafiksammanhang då man söker efterlikna vår vardagliga tredimensionella värld till exempel i spel. Betraktar man ett någorlunda modernt 3D-spel blir det väldigt tydligt. Allteftersom man springer runt i den tredimensionella världen flyttas (roteras) spelfiguren runt i världen. En typisk rotationsmatris i tre dimensioner är

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旋转在几何和线性代数中是描述刚体围绕一个固定点的运动的在平面或空间中的。旋转不同于没有固定点的平移，和翻转变换的形体的反射。旋转和上面提及的变换是等距的，它们保留在任何两点之间的距离在变换之后不变。 Soit E un espace vectoriel euclidien. Une rotation vectorielle de E est un élément du groupe spécial orthogonal SO(E). Si on choisit une base orthonormée de E, sa matrice dans cette base est orthogonale directe. الدوران هو واحد من 3 أنواع من التحويلات التي تحافظ على الأبعاد، في المستوى أو الفراغ، بالإضافة إلى الإزاحة والانعكاس. En geometrio kaj lineara algebro, turnado estas en ebeno aŭ en spaco, kiu priskribas la moviĝon de solido ĉirkaŭ fiksa punkto. Turnado estas malsama de , kiu ne havas fiksajn punktojn, kaj de . Turnado, movo kaj reflekto estas izometrioj; ili lasas la distancojn inter ĉiu du punktoj neŝanĝitajn post la transformo. Estas grave scii la kadron de referenco en konsidero de turnadoj, ĉar ĉiuj turnadoj estas priskribitaj relative al aparta kadro de referenco. Ĝenerale por ĉiu sur korpo en koordinatsistemo estas inversa transformo kiu se aplikita al la kadro de referenco rezultas en la korpo estanta je la samaj koordinatoj. Ekzemple en du dimensioj turnado de korpo laŭhorloĝnadle ĉirkaŭ punkto konservante la aksojn fiksitajn estas ekvivalenta al turnado de la aksoj kontraŭhorloĝnadle se la sama angulo ĉirkaŭ la sama punkto dum la korpo estas konservata fiksita. 初等幾何学および線型代数学における回転（かいてん、英: rotation）は、平面あるいは空間において固定された一点の周りでの剛体の運動を記述する。回転は、不動点を持たない平行移動とは違うし、剛体を「裏返し」にしてしまう鏡映とも異なる。回転を含めたこれらの変換は等距変換、即ちこれらの変換の前後で二点間の距離を変えない。 回転を考える際には基準系を知ることが重要であり、全ての回転はある特定の基準系に対するものとして記述される。一般に、ある座標系に関する剛体の任意の直交変換に対し、その逆変換が存在して、それを基準系に施すと剛体はもとと同じ座標にいることになる。例えば二次元の座標上の1点を定めて剛体を置いた時、1点を軸として剛体を時計回りに回すことと、剛体を動かさず1点を軸として座標を反時計回りに回すことは等価である。 En rotationsmatris är en beskrivning av en linjär avbildning som roterar ett geometriskt objekt. Sedan början av 1990-talet har transformationer i form av isometrier (det vill säga främst rotationer och translationer) blivit allt viktigare i datorgrafiksammanhang då man söker efterlikna vår vardagliga tredimensionella värld till exempel i spel. Betraktar man ett någorlunda modernt 3D-spel blir det väldigt tydligt. Allteftersom man springer runt i den tredimensionella världen flyttas (roteras) spelfiguren runt i världen. Rotationer kan realiseras i datorgrafik på flera olika sätt. Två vanliga representationer är via rotationsmatriser och via kvaternioner. Rotationsmatriser lider dock av flera brister, som inte finns i kvaternionrepresentationen. Därför används kvaternioner allt oftare. Matrisrotation kan anges genom att man använder tre stycken Eulervinklar – en för varje axel – eller med en axel och en rotationsvinkel. Detta tillvägagångssätt för med sig vissa problem. En typisk rotationsmatris i tre dimensioner är Den är alltså ett specialfall av en generell rotationsmatris som vid matrismultiplikation roterar en vektor en vinkel kring z-axeln (med andra ord z-axeln är rotationsaxel). Notera att varje rotationsmatris med nödvändighet är ortogonal ty annars blir den omöjligen en isometri och (nästan) omvänt är alla matriser med determinant ett en rotationsmatris för någon vinkel (specialfallet med translation räknas som rotation med rotationscentrum beläget på oändlighetslinjen). Så här realiserar man en rotation via kvaternioner: vi specificerar rotationsaxeln (med krav att ) och rotationsvinkel genom att skapa kvaternionen och dess konjugat . All multiplikation nedan är för övrigt kvaternionmultiplikation, som skiljer sig från vanlig multiplikation. Bilda sedan konjugationsmappningen , där man tänker sig att den helt imaginära kvaternionen representerar den aktuella 3D-punkten (eftersom den är helt imaginär finns det en entydigt förhållande mellan de tre 3D-koordinaterna och kvaternionen ). Då kommer den att rotera punkter (imaginära kvaternioner) en vinkel . Lägg märke till att konjugatet är detsamma som inversa kvaternionen eftersom vi kräver att , vilket är helt analogt med att matrisen måste vara ortogonal (egentligen ännu mer analogt för unitära matriser och konjugatets betydelse för dessa). En trevlig egenskap hos kvaternionrotation är att den sammansatta rotationen ges av produkten. Alltså, ska man rotera punkten först med axel och vinkel (kvaternionen) via och sedan med via fås sammansatta rotationen direkt av , där avser kvaternionprodukten av axlarna och vinklarna (kvaternionerna) och . ( 수학에서 넓은 의미의 회전에 대해서는 회전 문서를 참고하십시오.) 회전(回轉, 영어: rotation) 또는 회전 이동(回轉 移動)은 기하학에서 하나의 점을 중심으로 같은 각도 회전시키는 함수를 가리킨다. 고정점이 있는 아핀 변환이다. 한 고정점을 강체(rigid body)로 가진다고 할 수 있다. 회전은 각도를 가지는데 시계 방향을 음수, 반시계 방향을 양수로 표현한다. 회전 이동은 고정점이 없는 평행 이동이나 고정점의 집합이 초평면인 대칭 이동(반사)과는 다르다. 회전은 수학적으로 사상(map)이다. 고정점을 가지는 모든 회전은 공간에서 회전군이라는 합성으로 군을 이룬다. 하지만 역학이나 물리학에서는 회전의 개념을 좌표 변환으로 받아들인다. Поворо́т (враще́ние) — движение плоскости или пространства, при котором по крайней мере одна точка остаётся неподвижной. Matematikan, biraketa edo errotazia geometrian jatorria duen kontzeptu bat da. Edozein biraketa, espazio jakin batean, bere jatorrizko posizioan gutxienez puntu bat mantentzen duen mugimendu zehatz bat da. Errotazio bat beste mugimendu mota batzuekiko ezberdina da (translazioa, adibidez, puntu finkorik ez duena; edo islapena, plano bat mantentzen duena). Espazio n-dimentsional baterako, errotazioaren ezaugarria da plano bat (n-1)-dimentsional oso bat duela, puntu finkoduna. Erlojuaren orratzen noranzkoan errotazio bat, hitzarmenez, magnitude negatibotzat hartzen da, eta, modu analogoan, erlojuaren orratzen kontrako noranzkoan bira bat egiteak magnitude positiboa du. Matematikoki, errotazio bat aplikazio bat da. Puntu finko baten gaineko errotazio guztiek talde bat osatzen dute konposizio arau batzuen pean, errotazio taldea deritzona (espazio zehatz batena). Baina, orokorrean, mekanikan eta fisikan, kontzeptu hau maiz koordenatu sistema bezala ulertzen da (garrantzitsua, oinarri ortonormal baten transformazio bat baldin bada), gorputz baten edozein mugimendutarako alderantzizko transformazio bat dagoelako, erreferentzia sistemari aplikatuz gero emaitza bezala ematen duena. Adibidez, bi dimentsiotan, gorputz bat erlojuaren noranzkoan biratzea ardatz finkoak mantentzen diren puntu baten inguruan, ardatzak erlojuaren orratzen kontrako noranzkoan puntu beraren inguruan biratzearen baliokidea da, gorputza finko mantentzen den bitartean. Bi errotazio mota hauei transformazio aktiboak eta pasiboak deitzen zaie. Em álgebra linear e geometria, uma rotação é uma transformação geométrica de um sistema de coordenadas. Em outras palavras, uma rotação é um tipo de isometria – note entretanto que há outras isometrias além das rotações, tais como translações e reflexões. “Fizemos um ponto O no plano π agora orientado (como a tradição recomenda, o sentido positivo é o anti-horário). Dado um ângulo α, a rotação de centro O e amplitude α é a transformação que a cada ponto A do plano π associa o ponto A’ = Rα(A) de forma que se tenha A’O = AO, AôA’ = α e o sentido de A para A’ (em torno de O), positivo”. V geometrii představuje otočení neboli rotace v eukleidovské rovině geometrické zobrazení, které je charakterizováno tím, že spojnice všech bodů s pevně zvoleným bodem, tzn. středem otočení, se změní o stejný úhel a vzdálenost bodů od středu otáčení zůstává nezměněna. Otočení v rovině kolem středu o (orientovaný) úhel je tedy takové shodné zobrazení, při kterém je obrazem bodu bod , pro který platí a velikost úhlu je . Obrazem středu otočení je opět bod . Podobně se dá definovat rotace v třírozměrném prostoru jako otočení kolem jisté osy o pevný úhel.Tvar a velikost jednotlivých geometrických útvarů se při otočení nemění. Při otočení se také nemění dimenze otáčeného geometrického útvaru. Otočení se řadí mezi shodná zobrazení. Een rotatie of draaiing in de vlakke meetkunde is een isometrie in het platte vlak, die alle punten over een vaste hoek om een vast punt draait. Rotatie behoudt oriëntatie van een figuur Een bijzonder geval is de triviale rotatie, de identieke afbeelding, waarbij de hoek nul is. Een niet-triviale rotatie wordt ook wel een echte rotatie genoemd. Een echte rotatie heeft in het platte vlak één dekpunt. Unter einer Drehung versteht man in der Geometrie eine Selbstabbildung des euklidischen Raumes mit mindestens einem Fixpunkt, die alle Abstände invariant lässt und die Orientierung erhält. Wird die Orientierung vertauscht, so liegt eine Spiegelung (Geometrie) oder Drehspiegelung vor. Da Drehungen Längen (und folglich Winkel) invariant lassen, ist jede Drehung eine Kongruenzabbildung.Im zwei- und dreidimensionalen Raum gehört zu jeder Drehung ein bestimmter Drehwinkel. Drehungen, deren Drehwinkel sich um 360° oder ein Vielfaches davon unterscheiden, sind identisch. In der Ebene lässt jede echte Drehung (d. h. nicht die Drehung um den Winkel null) nur einen Punkt fest, das Drehzentrum. Ist ein von verschiedener Punkt und sein Bild, dann hängt der Winkel nicht von ab und definiert den Drehwinkel. Eine Drehung um 180° bewirkt dieselbe Abbildung der Ebene wie eine Punktspiegelung am Drehzentrum . Im dreidimensionalen Raum lässt jede echte Drehung genau eine Gerade fest, die Drehachse. Jede zur Drehachse senkrechte Ebene wird durch die Drehung um denselben Drehwinkel gedreht, wobei ihr Schnittpunkt mit der Achse der Fixpunkt ist. In der analytischen Geometrie sind Drehungen spezielle längentreue affine Abbildungen. Wählt man ein kartesisches Koordinatensystem, dessen Ursprung auf der Drehachse liegt, so wird der translatorische Anteil Null. Die Drehung wird dann durch eine Drehmatrix beschrieben. In homogenen Koordinaten lässt sich auch eine Drehung mit Translationsanteil als Matrix beschreiben. Eine Drehung um 180° um ein Drehzentrum Z ist als Doppelspiegelung an zwei zueinander senkrechten Achsen g und h darstellbar. Поверта́ння у геометрії та лінійній алгебрі — рух, який зберігає орієнтацію простору (площини) та має нерухомі точки. Повертання відрізняється від паралельного перенесення, яке не має нерухомих точок, однак зберігає орієнтацію. Також відрізняється від відбиття, яке змінює орієнтацію, хоча має нерухомі точки. Повертання та інші згадані перетворення є ізометріями; вони залишають незмінними відстані між двома будь-якими точками. Rotation in mathematics is a concept originating in geometry. Any rotation is a motion of a certain space that preserves at least one point. It can describe, for example, the motion of a rigid body around a fixed point. Rotation can have sign (as in the sign of an angle): a clockwise rotation is a negative magnitude so a counterclockwise turn has a positive magnitude.A rotation is different from other types of motions: translations, which have no fixed points, and (hyperplane) reflections, each of them having an entire (n − 1)-dimensional flat of fixed points in a n-dimensional space. Mathematically, a rotation is a map. All rotations about a fixed point form a group under composition called the rotation group (of a particular space). But in mechanics and, more generally, in physics, this concept is frequently understood as a coordinate transformation (importantly, a transformation of an orthonormal basis), because for any motion of a body there is an inverse transformation which if applied to the frame of reference results in the body being at the same coordinates. For example, in two dimensions rotating a body clockwise about a point keeping the axes fixed is equivalent to rotating the axes counterclockwise about the same point while the body is kept fixed. These two types of rotation are called active and passive transformations. En matemáticas, la rotación es un concepto que tiene su origen en la geometría. Cualquier rotación es un movimiento definido en un determinado espacio que conserva al menos un punto en su posición original.​ Puede describir, por ejemplo, el giro de un cuerpo rígido alrededor de un punto fijo. Una rotación es diferente a otros tipos de movimientos (como la traslación, que no tiene puntos fijos; o la reflexión). Para un espacio n-dimensional, la rotación se caracteriza por presentar un plano (n-1)-dimensional completo de puntos fijos. Una rotación en el sentido de las agujas del reloj se considera por convenio una magnitud negativa, y de forma análoga, un giro en el sentido contrario a las agujas del reloj tiene una magnitud positiva.​ Matemáticamente, una rotación es una aplicación. Todas las rotaciones sobre un punto fijo forman un grupo bajo unas reglas de composición, denominado grupo de rotación (de un espacio en particular).​ Pero en mecánica y, más generalmente, en física, este concepto se entiende con frecuencia como un sistema de coordenadas (importante, siempre que se trate de una transformación de una base ortonormal), porque para cualquier movimiento de un cuerpo hay una transformación inversa que si se aplica al sistema de referencia da como resultado que el cuerpo siga estando en las mismas coordenadas. Por ejemplo, en dos dimensiones, girar un cuerpo en el sentido del reloj alrededor de un punto donde se mantienen los ejes fijos, equivale a girar los ejes en sentido contrario a las agujas del reloj alrededor del mismo punto mientras el cuerpo se mantiene fijo. Estos dos tipos de rotación se denominan transformaciones activas y pasivas.​ En geometria i àlgebra lineal, una rotació és una transformació en el pla o en l'espai que descriu el moviment d'un sòlid rígid al voltant d'un eix. En una rotació pura els punts de l'eix són fixos; dit d'una altra manera, la posició dels punts de l'eix queden en el mateix lloc un cop transformats. Una rotació es diferencia d'una translació, la qual desplaça tots els punts del sòlid per igual i no manté punts fixos, i d'una reflexió, que tomben el sòlid creant-ne una imatge especular. Les tres transformacions descrites deixen inalterades les distàncies entre parelles de punts; són isometries. In matematica, e in particolare in geometria, una rotazione è una trasformazione del piano o dello spazio euclideo che sposta gli oggetti in modo rigido e che lascia fisso almeno un punto, nel caso del piano, o una retta, nel caso dello spazio. I punti che restano fissi nella trasformazione formano più in generale un sottospazio: quando questo insieme è un punto o una retta, si chiama rispettivamente il centro e l'asse della rotazione. Più precisamente, una rotazione è una isometria di uno spazio euclideo che ne preserva l'orientazione, ed è descritta da una matrice ortogonale speciale. Qualunque sia il numero delle dimensioni dello spazio di rotazione, gli elementi della rotazione sono: 1. * il verso (orario-antiorario); 2. * l'ampiezza dell'angolo di rotazione; 3. * il centro di rotazione (il punto attorno a cui avviene il movimento rotatorio).

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