. . . "31856"^^ . . . . "Let be a differentiable manifold and a locally finite atlas so that are open subsets and are diffeomorphisms. \n\nLet be a differentiable partition of unity subordinate to the given atlas, i.e. such that for all .\n\nThen define the metric on by\n:\n\nwhere is the Euclidean metric on and is its pullback along .\n\nThis is readily seen to be a metric on ."@en . . . "Riemannm\u00E5ngfald eller Riemannsk m\u00E5ngfald \u00E4r ett begrepp inom matematiken. Det betecknar en glatt m\u00E5ngfald tillsammans med en inre produkt p\u00E5 varje tangentrum som varierar glatt \u00F6ver m\u00E5ngfalden. Begreppet introducerades av Bernhard Riemann under hans f\u00F6rel\u00E4sningar 1854."@sv . . . "\u0641\u064A \u0627\u0644\u0647\u0646\u062F\u0633\u0629 \u0627\u0644\u062A\u0641\u0627\u0636\u0644\u064A\u0629\u060C \u0645\u062A\u0639\u062F\u062F \u0634\u0639\u0628 \u0631\u064A\u0645\u0627\u0646\u064A \u0623\u0648 \u0641\u0636\u0627\u0621 \u0631\u064A\u0645\u0627\u0646\u064A (\u0628\u0627\u0644\u0625\u0646\u062C\u0644\u064A\u0632\u064A\u0629: Riemannian manifold)\u200F \u0647\u0648 \u0645\u0632\u0648\u062F \u0628\u062C\u062F\u0627\u0621 \u062F\u0627\u062E\u0644\u064A..."@ar . "Rimana sterna\u0135o"@eo . "Variedade de Riemann"@pt . . . . . . "En diferenciala geometrio, rimana sterna\u0135o estas glata sterna\u0135o, ekipita per dulineara metriko je \u0109iu punkto (la rimana metriko)."@eo . "In de riemann-meetkunde, een deelgebied van de wiskunde, is een riemann-vari\u00EBteit een re\u00EBle differentieerbare vari\u00EBteit waarvan in elk punt de raakruimte is uitgerust met een inproduct , een riemann-metriek, op een wijze die van punt tot punt glad varieert. De metriek is een positief-definiete symmetrische tensor, een zogenaamde metrische tensor. Riemann-vari\u00EBteiten moeten niet worden verward met riemann-oppervlakken, vari\u00EBteiten die lokaal als patches van het complexe vlak verschijnen."@nl . "En matem\u00E0tiques, i m\u00E9s espec\u00EDficament en geometria diferencial, una varietat riemanniana \u00E9s una varietat diferenciable real dotada d'una m\u00E8trica riemanniana, \u00E9s a dir, un camp tensorial diferenciable que dota cada espai tangent d'un producte escalar. L'estudi de les varietats riemannianes es coneix com a geometria riemanniana. El nom prov\u00E9 del matem\u00E0tic alemany del s. XIX Bernhard Riemann, qui amb el seu estudi de les varietats de dimensi\u00F3 arbitr\u00E0ria fou el fundador de la geometria riemanniana."@ca . . . "\u0420\u0456\u043C\u0430\u043D\u0456\u0432 \u043C\u043D\u043E\u0433\u043E\u0432\u0438\u0434"@uk . "\u0645\u062A\u0639\u062F\u062F \u0634\u0639\u0628 \u0631\u064A\u0645\u0627\u0646\u064A"@ar . . . . . . "Em geometria de Riemann, uma variedade de Riemann (a designa\u00E7\u00E3o variedade riemanniana tamb\u00E9m \u00E9 encontrada) \u00E9 uma variedade diferenci\u00E1vel real na qual cada espa\u00E7o tangente \u00E9 dotado de um produto interior de maneira que varie suavemente ponto a ponto. Isto permite que se definam v\u00E1rias no\u00E7\u00F5es m\u00E9tricas como comprimento de curvas, \u00E2ngulos, \u00E1reas (ou volumes), curvaturas, gradientes de fun\u00E7\u00F5es e diverg\u00EAncia de campos vetoriais."@pt . "Riemann-vari\u00EBteit"@nl . . "Variedad de Riemann"@es . "En diferenciala geometrio, rimana sterna\u0135o estas glata sterna\u0135o, ekipita per dulineara metriko je \u0109iu punkto (la rimana metriko)."@eo . . . . . "\u0420\u0438\u043C\u0430\u043D\u043E\u0432\u043E \u043C\u043D\u043E\u0433\u043E\u043E\u0431\u0440\u0430\u0437\u0438\u0435"@ru . . . . . . . . "En math\u00E9matiques, et plus pr\u00E9cis\u00E9ment en g\u00E9om\u00E9trie, la vari\u00E9t\u00E9 riemannienne est l'objet de base \u00E9tudi\u00E9 en g\u00E9om\u00E9trie riemannienne.Il s'agit d'une vari\u00E9t\u00E9, c'est-\u00E0-dire un espace courbe g\u00E9n\u00E9ralisant les courbes (de dimension 1) ou les surfaces (de dimension 2) \u00E0 une dimension n quelconque, et sur laquelle il est possible d'effectuer des calculs de longueur."@fr . . "\u0420\u0456\u043C\u0430\u043D\u0456\u0432 \u043C\u043D\u043E\u0433\u043E\u0432\u0438\u0434 \u2014 \u0433\u043B\u0430\u0434\u043A\u0438\u0439 \u043C\u043D\u043E\u0433\u043E\u0432\u0438\u0434 \u0437 \u0432\u0438\u0437\u043D\u0430\u0447\u0435\u043D\u0438\u043C \u0443 \u043A\u043E\u0436\u043D\u0456\u0439 \u0442\u043E\u0447\u0446\u0456 \u0441\u043A\u0430\u043B\u044F\u0440\u043D\u0438\u043C \u0434\u043E\u0431\u0443\u0442\u043A\u043E\u043C \u043D\u0430 \u0434\u043E\u0442\u0438\u0447\u043D\u043E\u043C\u0443 \u043F\u0440\u043E\u0441\u0442\u043E\u0440\u0456, \u0442\u0430\u043A \u0449\u043E \u0441\u043A\u0430\u043B\u044F\u0440\u043D\u0438\u0439 \u0434\u043E\u0431\u0443\u0442\u043E\u043A \u0433\u043B\u0430\u0434\u043A\u043E \u0437\u043C\u0456\u043D\u044E\u0454\u0442\u044C\u0441\u044F \u0432\u0456\u0434 \u0442\u043E\u0447\u043A\u0438 \u0434\u043E \u0442\u043E\u0447\u043A\u0438. \u0424\u043E\u0440\u043C\u0430\u043B\u044C\u043D\u043E, \u043D\u0435\u0445\u0430\u0439 M \u2014 \u0434\u0438\u0444\u0435\u0440\u0435\u043D\u0446\u0456\u0439\u043E\u0432\u043D\u0438\u0439 \u043C\u043D\u043E\u0433\u043E\u0432\u0438\u0434 \u0440\u043E\u0437\u043C\u0456\u0440\u043D\u043E\u0441\u0442\u0456 n. \u0420\u0456\u043C\u0430\u043D\u043E\u0432\u043E\u044E \u043C\u0435\u0442\u0440\u0438\u043A\u043E\u044E \u043D\u0430 M \u043D\u0430\u0437\u0438\u0432\u0430\u0454\u0442\u044C\u0441\u044F \u043C\u043D\u043E\u0436\u0438\u043D\u0430 \u0441\u043A\u0430\u043B\u044F\u0440\u043D\u0438\u0445 \u0434\u043E\u0431\u0443\u0442\u043A\u0456\u0432 \u0442\u0430\u043A\u0430 \u0449\u043E, \u0434\u043B\u044F \u0432\u0441\u0456\u0445 \u0433\u043B\u0430\u0434\u043A\u0438\u0445 \u0432\u0435\u043A\u0442\u043E\u0440\u043D\u0438\u0445 \u043F\u043E\u043B\u0456\u0432 X,Y \u043D\u0430 M, \u0454 \u0433\u043B\u0430\u0434\u043A\u043E\u044E \u0444\u0443\u043D\u043A\u0446\u0456\u0454\u044E ."@uk . . . . . "Riemannian metric"@en . . . . "In geometria differenziale, una variet\u00E0 riemanniana \u00E8 una variet\u00E0 differenziabile su cui sono definite le nozioni di distanza, lunghezza, geodetica, area (o volume) e curvatura. \u00C8 una nozione fondamentale in quanto permette di modellizzare spazi \"curvi\" di dimensione arbitraria. Prende il nome dal matematico tedesco Bernhard Riemann."@it . "\uB9AC\uB9CC \uB2E4\uC591\uCCB4"@ko . "144652"^^ . "Proof"@en . . "\u30EA\u30FC\u30DE\u30F3\u591A\u69D8\u4F53"@ja . "Manifold Riemann"@in . "\u5FAE\u5206\u5E7E\u4F55\u5B66\u306B\u304A\u3051\u308B\u30EA\u30FC\u30DE\u30F3\u591A\u69D8\u4F53\uFF08\u30EA\u30FC\u30DE\u30F3\u305F\u3088\u3046\u305F\u3044\u3001\u82F1: Riemannian manifold\uFF09\u3068\u306F\u3001\u53EF\u5FAE\u5206\u591A\u69D8\u4F53\u306E\u3046\u3061\u305D\u306E\u5404\u70B9\u306B\u57FA\u672C\u8A08\u91CF\u30C6\u30F3\u30BD\u30EB g \u304C\u4E0E\u3048\u3089\u308C\u308B\u3082\u306E\u3092\u8A00\u3046\u3002\u30D9\u30EB\u30F3\u30CF\u30EB\u30C8\u30FB\u30EA\u30FC\u30DE\u30F3\u306B\u3088\u3063\u3066\u5C0E\u5165\u3055\u308C\u305F\u3002"@ja . "R/r082180"@en . . . . . . "In differential geometry, a Riemannian manifold or Riemannian space (M, g), so called after the German mathematician Bernhard Riemann, is a real, smooth manifold M equipped with a positive-definite inner product gp on the tangent space TpM at each point p. The family gp of inner products is called a Riemannian metric (or Riemannian metric tensor). Riemannian geometry is the study of Riemannian manifolds. A common convention is to take g to be smooth, which means that for any smooth coordinate chart (U, x) on M, the n2 functions are smooth functions. These functions are commonly designated as ."@en . . "Vari\u00E9t\u00E9 riemannienne"@fr . "Riemannm\u00E5ngfald eller Riemannsk m\u00E5ngfald \u00E4r ett begrepp inom matematiken. Det betecknar en glatt m\u00E5ngfald tillsammans med en inre produkt p\u00E5 varje tangentrum som varierar glatt \u00F6ver m\u00E5ngfalden. Begreppet introducerades av Bernhard Riemann under hans f\u00F6rel\u00E4sningar 1854."@sv . . . "En la geometr\u00EDa de Riemann, una variedad de Riemann es una variedad diferenciable real en la que cada espacio tangente se equipa con un producto interno de manera que var\u00EDe suavemente punto a punto. Esto permite que se definan varias nociones m\u00E9tricas como longitud de curvas, \u00E1ngulos, \u00E1reas (o vol\u00FAmenes), curvatura, gradiente de funciones y divergencia de campos vectoriales."@es . "\uBBF8\uBD84\uAE30\uD558\uD559\uC5D0\uC11C \uB9AC\uB9CC \uB2E4\uC591\uCCB4(Riemann\u591A\u6A23\u9AD4, \uC601\uC5B4: Riemannian manifold)\uB294 \uAC01 \uC810\uC758 \uC811\uACF5\uAC04 \uC704\uC5D0 \uC591\uC758 \uC815\uBD80\uD638 \uC30D\uC120\uD615 \uD615\uC2DD\uC774 \uC8FC\uC5B4\uC838, \uB450 \uC810 \uC0AC\uC774\uC758 \uAC70\uB9AC\uB97C \uCE21\uC815\uD560 \uC218 \uC788\uB294 \uB9E4\uB044\uB7EC\uC6B4 \uB2E4\uC591\uCCB4\uC774\uB2E4. \uC774 \uAD6C\uC870\uB97C \uB9AC\uB9CC \uACC4\uB7C9(Riemann\u8A08\u91CF, \uC601\uC5B4: Riemannian metric)\uC774\uB77C\uACE0 \uD558\uBA70, \uC774\uB97C \uC0AC\uC6A9\uD558\uC5EC \uB2E4\uC591\uCCB4 \uC704\uC5D0\uC11C \uD3C9\uD589 \uC6B4\uC1A1 \u00B7 \uAC01\uB3C4 \u00B7 \uAE38\uC774 \u00B7 \uBD80\uD53C \u00B7 \uACE1\uB960 \uB530\uC704\uC758 \uAE30\uD558\uD559\uC801 \uAC1C\uB150\uB4E4\uC744 \uC815\uC758\uD560 \uC218 \uC788\uB2E4. \uB9AC\uB9CC \uB2E4\uC591\uCCB4\uC640 \uAD00\uB828\uB41C \uAD6C\uC870\uB97C \uC5F0\uAD6C\uD558\uB294 \uBBF8\uBD84\uAE30\uD558\uD559\uC758 \uBD84\uC57C\uB97C \uB9AC\uB9CC \uAE30\uD558\uD559(Riemann\u5E7E\u4F55\u5B78, \uC601\uC5B4: Riemannian geometry)\uC774\uB77C\uACE0 \uD55C\uB2E4."@ko . "Varietat riemanniana"@ca . . . . "Rozmaito\u015B\u0107 riemannowska"@pl . "Variet\u00E0 riemanniana"@it . . . "Rozmaito\u015B\u0107 riemannowska (przestrze\u0144 Riemanna) \u2013 to rzeczywista rozmaito\u015B\u0107 r\u00F3\u017Cniczkowa wymiaru w kt\u00F3rej zdefiniowana jest odleg\u0142o\u015B\u0107 (metryka) pomi\u0119dzy punktami w nast\u0119puj\u0105cy spos\u00F3b: (1) je\u017Celi wprowadzi si\u0119 w rozmaito\u015Bci uk\u0142ad wsp\u00F3\u0142rz\u0119dnych krzywoliniowych, tak \u017Ce ka\u017Cdy punkt rozmaito\u015Bci ma okre\u015Blone wsp\u00F3\u0142rz\u0119dne to d\u0142ugo\u015B\u0107 infinitezymalnego wektora \u0142\u0105cz\u0105cego dany punkt z infinitezymalnie blisko po\u0142o\u017Conym innym punktem rozmaito\u015Bci zadana jest wzorem gdzie wsp\u00F3\u0142czynniki stanowi\u0105 wsp\u00F3\u0142rz\u0119dne tensora metrycznego. Przy tym \u017C\u0105da si\u0119, by tensor metryczny by\u0142 dodatnio okre\u015Blony w ca\u0142ej przestrzeni \u2013 oznacza to, \u017Ce infinitezymalne przemieszczenie musi by\u0107 liczb\u0105 dodatni\u0105 w ka\u017Cdym miejscu rozmaito\u015Bci \u2013 analogicznie jak w przestrzeni euklidesowej. Warunek dodatniej okre\u015Blono\u015Bci oznacza matematycznie, \u017Ce wszystkie minory g\u0142\u00F3wne liczone wzd\u0142u\u017C przek\u0105tnej macierzy tensora powinny by\u0107 dodatnie, pocz\u0105wszy od wyznacznika tensora, tj. np. dla ka\u017Cdego (2) Tensor metryczny pozwala oblicza\u0107 d\u0142ugo\u015Bci krzywych w rozmaito\u015Bci (patrz ni\u017Cej). (3) Metryk\u0119 (odleg\u0142o\u015B\u0107) pomi\u0119dzy dowolnymi punktami rozmaito\u015Bci definiuje si\u0119 jako d\u0142ugo\u015B\u0107 najkr\u00F3tszej krzywej zawartej w i \u0142\u0105cz\u0105cej te punkty. Krzywa ta jest lini\u0105 geodezyjn\u0105, gdy jednak punkty s\u0105 infinitezymalnie odleg\u0142e, tj. to geodezyjna redukuje si\u0119 do odcinka prostej euklidesowej \u2013 metryka jest wtedy r\u00F3wna d\u0142ugo\u015Bci elementu liniowego Rozmaito\u015B\u0107 riemannowska jest wiec przestrzeni\u0105 metryczn\u0105, z metryk\u0105 zdefiniowan\u0105 w oparciu o r\u00F3\u017Cniczkowe elementy liniowe kt\u00F3rych wsp\u00F3\u0142czynniki s\u0105 elementami tensora metrycznego. (4) Tensor metryczny pozwala oblicza\u0107 inne wielko\u015Bci geometryczne na rozmaito\u015Bci: krzywizny, pola powierzchni, obj\u0119to\u015Bci (krzywych, powierzchni, przestrzeni), k\u0105ty, gradienty czy dywergencje funkcji, rotacje p\u00F3l wektorowych, a tak\u017Ce zapisywa\u0107 r\u00F3wnania obiekt\u00F3w geometrycznych, np. krzywych, powierzchni itp. zawartych w rozmaito\u015Bci. W ten spos\u00F3b definiuje si\u0119 geometri\u0119 na rozmaito\u015Bci. Nazwa rozmaito\u015Bci pochodzi od Bernharda Riemanna. Uwaga: Je\u017Celi zamiast warunku dodatniej okre\u015Blono\u015Bci tensora metrycznego na\u0142o\u017Cy si\u0119 mniej wymagaj\u0105cy warunek, by tensor by\u0142 niezdegenerowany, to uzyskuje si\u0119 w og\u00F3lnym przypadku rozmaito\u015Bci pseudoriemannowskie. Albert Einstein u\u017Cy\u0142 teorii pseudorozmaito\u015Bci Riemanna w sformu\u0142owaniu og\u00F3lnej teorii wzgl\u0119dno\u015Bci."@pl . . "\u9ECE\u66FC\u6D41\u5F62\uFF08Riemannian manifold\uFF09\u662F\u4E00\u500B\u5FAE\u5206\u6D41\u5F62\uFF0C\u5176\u4E2D\u6BCF\u9EDEp\u7684\u5207\u7A7A\u9593\u90FD\u5B9A\u7FA9\u4E86\u9EDE\u7A4D\uFF0C\u800C\u4E14\u5176\u6578\u503C\u96A8p\u5E73\u6ED1\u5730\u6539\u8B8A\u3002\u5B83\u5BB9\u8A31\u6211\u5011\u5B9A\u7FA9\u5F27\u7DDA\u9577\u5EA6\u3001\u89D2\u5EA6\u3001\u9762\u7A4D\u3001\u9AD4\u7A4D\u3001\u66F2\u7387\u3001\u51FD\u6578\u68AF\u5EA6\u53CA\u5411\u91CF\u57DF\u7684\u6563\u5EA6\u3002 \u6BCF\u500BRn\u7684\u5E73\u6ED1\u5B50\u6D41\u5F62\u53EF\u4EE5\u5BFC\u51FA\u9ECE\u66FC\u5EA6\u91CF\uFF1A\u628ARn\u7684\u9EDE\u7A4D\u90FD\u9650\u5236\u65BC\u5207\u7A7A\u9593\u5167\u3002\u5BE6\u969B\u4E0A\uFF0C\u6839\u636E\u7EB3\u4EC0\u5D4C\u5165\u5B9A\u7406\uFF0C\u6240\u6709\u9ECE\u66FC\u6D41\u5F62\u90FD\u53EF\u4EE5\u9019\u6A23\u4EA7\u751F\u3002 \u6211\u5011\u53EF\u4EE5\u5B9A\u7FA9\u9ECE\u66FC\u6D41\u5F62\u70BA\u548CRn\u7684\u5E73\u6ED1\u5B50\u6D41\u5F62\u662F\u7B49\u8DDD\u540C\u6784\u7684\u5EA6\u91CF\u7A7A\u9593\uFF0C\u7B49\u8DDD\u662F\u6307\u5176\uFF08intrinsic metric\uFF09\u548C\u4E0A\u8FF0\u4ECERn\u5BFC\u51FA\u7684\u5EA6\u91CF\u662F\u76F8\u540C\u7684\u3002\u8FD9\u5C0D\u5EFA\u7ACB\u9ECE\u66FC\u5E7E\u4F55\u662F\u5F88\u6709\u7528\u7684\u3002 \u9ECE\u66FC\u6D41\u5F62\u53EF\u4EE5\u5B9A\u4E49\u4E3A\u5E73\u6ED1\u6D41\u5F62\uFF0C\u5176\u4E2D\u7ED9\u51FA\u4E86\u4E00\u4E2A\u5207\u4E1B\u7684\u6B63\u5B9A\u4E8C\u6B21\u5F62\u7684\u5149\u6ED1\u622A\u9762\u3002\u5B83\u53EF\u7522\u751F\u5EA6\u91CF\u7A7A\u9593\uFF1A \u5982\u679C\u03B3 : [a, b] \u2192 M\u662F\u9ECE\u66FC\u6D41\u5F62M\u4E2D\u4E00\u6BB5\u9023\u7E8C\u53EF\u5FAE\u5206\u7684\u5F27\u7DDA\uFF0C\u6211\u5011\u53EF\u4EE5\u5B9A\u7FA9\u5B83\u7684\u9577\u5EA6L\uFF08\u03B3\uFF09\u70BA \uFF08\u6CE8\u610F\uFF1A\u03B3'\uFF08t\uFF09\u662F\u5207\u7A7A\u9593M\u5728\u03B3\uFF08t\uFF09\u9EDE\u7684\u5143\u7D20\uFF1B||\u00B7||\u662F\u5207\u7A7A\u9593\u7684\u5167\u7A4D\u6240\u5F97\u51FA\u7684\u7BC4\u6578\u3002\uFF09 \u4F7F\u7528\u8FD9\u4E2A\u957F\u5EA6\u7684\u5B9A\u4E49\uFF0C\u6BCF\u4E2A\u8FDE\u901A\u7684\u9ECE\u66FC\u6D41\u5F62M\u5F88\u81EA\u7136\u7684\u6210\u4E3A\u4E00\u4E2A\u5EA6\u91CF\u7A7A\u9593\uFF08\u751A\u81F3\u662F\uFF09\uFF1A\u5728x\u8207y\u5169\u9EDE\u4E4B\u9593\u7684\u8DDD\u96E2d\uFF08x, y\uFF09\u5B9A\u7FA9\u70BA\uFF1A d(x,y) = inf{ L(\u03B3) : \u03B3\u662F\u8FDE\u63A5x\u548Cy\u7684\u4E00\u6761\u5149\u6ED1\u66F2\u7EBF}\u3002 \u867D\u7136\u9ECE\u66FC\u6D41\u5F62\u901A\u5E38\u662F\u5F2F\u66F2\u7684\uFF0C\u201C\u76F4\u7DDA\u201D\u7684\u6982\u5FF5\u4F9D\u7136\u5B58\u5728\uFF1A\u90A3\u5C31\u662F\u6E2C\u5730\u7DDA\u3002 \u5728\u9ECE\u66FC\u6D41\u5F62\u4E2D\uFF0C\u6E2C\u5730\u7DDA\u5B8C\u5907\u7684\u6982\u5FF5\uFF0C\u548C\u62D3\u64B2\u5B8C\u5907\u53CA\u5EA6\u91CF\u5B8C\u5907\u662F\u7B49\u4EF7\u7684\uFF1A\u6BCF\u4E2A\u5B8C\u5907\u6027\u90FD\u53EF\u4EE5\u63A8\u51FA\u5176\u4ED6\u7684\u5B8C\u5907\u6027\uFF0C\u8FD9\u5C31\u662F\u7684\u5185\u5BB9\u3002"@zh . . . . "Riemann\u016Fv prostor"@cs . . . "Em geometria de Riemann, uma variedade de Riemann (a designa\u00E7\u00E3o variedade riemanniana tamb\u00E9m \u00E9 encontrada) \u00E9 uma variedade diferenci\u00E1vel real na qual cada espa\u00E7o tangente \u00E9 dotado de um produto interior de maneira que varie suavemente ponto a ponto. Isto permite que se definam v\u00E1rias no\u00E7\u00F5es m\u00E9tricas como comprimento de curvas, \u00E2ngulos, \u00E1reas (ou volumes), curvaturas, gradientes de fun\u00E7\u00F5es e diverg\u00EAncia de campos vetoriais."@pt . . . . "\u0420\u0438\u043C\u0430\u043D\u043E\u0432\u043E \u043C\u043D\u043E\u0433\u043E\u043E\u0431\u0440\u0430\u0437\u0438\u0435, \u0438\u043B\u0438 \u0440\u0438\u043C\u0430\u043D\u043E\u0432\u043E \u043F\u0440\u043E\u0441\u0442\u0440\u0430\u043D\u0441\u0442\u0432\u043E (M, g), \u2014 \u044D\u0442\u043E (\u0432\u0435\u0449\u0435\u0441\u0442\u0432\u0435\u043D\u043D\u043E\u0435) \u0433\u043B\u0430\u0434\u043A\u043E\u0435 \u043C\u043D\u043E\u0433\u043E\u043E\u0431\u0440\u0430\u0437\u0438\u0435 M, \u0432 \u043A\u043E\u0442\u043E\u0440\u043E\u043C \u043A\u0430\u0436\u0434\u043E\u0435 \u043A\u0430\u0441\u0430\u0442\u0435\u043B\u044C\u043D\u043E\u0435 \u043F\u0440\u043E\u0441\u0442\u0440\u0430\u043D\u0441\u0442\u0432\u043E \u0441\u043D\u0430\u0431\u0436\u0435\u043D\u043E \u0441\u043A\u0430\u043B\u044F\u0440\u043D\u044B\u043C \u043F\u0440\u043E\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043D\u0438\u0435\u043C g \u2014 \u043C\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u0435\u0441\u043A\u0438\u043C \u0442\u0435\u043D\u0437\u043E\u0440\u043E\u043C, \u043C\u0435\u043D\u044F\u044E\u0449\u0438\u043C\u0441\u044F \u043E\u0442 \u0442\u043E\u0447\u043A\u0438 \u043A \u0442\u043E\u0447\u043A\u0435 \u0433\u043B\u0430\u0434\u043A\u0438\u043C \u043E\u0431\u0440\u0430\u0437\u043E\u043C. \u0414\u0440\u0443\u0433\u0438\u043C\u0438 \u0441\u043B\u043E\u0432\u0430\u043C\u0438, \u0440\u0438\u043C\u0430\u043D\u043E\u0432\u043E \u043C\u043D\u043E\u0433\u043E\u043E\u0431\u0440\u0430\u0437\u0438\u0435 \u2014 \u044D\u0442\u043E \u0434\u0438\u0444\u0444\u0435\u0440\u0435\u043D\u0446\u0438\u0440\u0443\u0435\u043C\u043E\u0435 \u043C\u043D\u043E\u0433\u043E\u043E\u0431\u0440\u0430\u0437\u0438\u0435, \u0432 \u043A\u043E\u0442\u043E\u0440\u043E\u043C \u043A\u0430\u0441\u0430\u0442\u0435\u043B\u044C\u043D\u043E\u0435 \u043F\u0440\u043E\u0441\u0442\u0440\u0430\u043D\u0441\u0442\u0432\u043E \u0432 \u043A\u0430\u0436\u0434\u043E\u0439 \u0442\u043E\u0447\u043A\u0435 \u044F\u0432\u043B\u044F\u0435\u0442\u0441\u044F \u043A\u043E\u043D\u0435\u0447\u043D\u043E\u043C\u0435\u0440\u043D\u044B\u043C \u0435\u0432\u043A\u043B\u0438\u0434\u043E\u0432\u044B\u043C \u043F\u0440\u043E\u0441\u0442\u0440\u0430\u043D\u0441\u0442\u0432\u043E\u043C. \u042D\u0442\u043E \u043F\u043E\u0437\u0432\u043E\u043B\u044F\u0435\u0442 \u043E\u043F\u0440\u0435\u0434\u0435\u043B\u0438\u0442\u044C \u0440\u0430\u0437\u043B\u0438\u0447\u043D\u044B\u0435 \u0433\u0435\u043E\u043C\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u0435\u0441\u043A\u0438\u0435 \u043F\u043E\u043D\u044F\u0442\u0438\u044F \u043D\u0430 \u0440\u0438\u043C\u0430\u043D\u043E\u0432\u044B\u0445 \u043C\u043D\u043E\u0433\u043E\u043E\u0431\u0440\u0430\u0437\u0438\u044F\u0445, \u0442\u0430\u043A\u0438\u0435 \u043A\u0430\u043A \u0443\u0433\u043B\u044B, \u0434\u043B\u0438\u043D\u044B \u043A\u0440\u0438\u0432\u044B\u0445, \u043F\u043B\u043E\u0449\u0430\u0434\u0438 (\u0438\u043B\u0438 \u043E\u0431\u044A\u0451\u043C\u044B), \u043A\u0440\u0438\u0432\u0438\u0437\u043D\u0443, \u0433\u0440\u0430\u0434\u0438\u0435\u043D\u0442 \u0444\u0443\u043D\u043A\u0446\u0438\u0438 \u0438 \u0434\u0438\u0432\u0435\u0440\u0433\u0435\u043D\u0446\u0438\u0438 \u0432\u0435\u043A\u0442\u043E\u0440\u043D\u044B\u0445 \u043F\u043E\u043B\u0435\u0439. \u0420\u0438\u043C\u0430\u043D\u043E\u0432\u0430 \u043C\u0435\u0442\u0440\u0438\u043A\u0430 g \u2014 \u044D\u0442\u043E \u043F\u043E\u043B\u043E\u0436\u0438\u0442\u0435\u043B\u044C\u043D\u043E \u043E\u043F\u0440\u0435\u0434\u0435\u043B\u0451\u043D\u043D\u044B\u0439 \u0441\u0438\u043C\u043C\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u0435\u0441\u043A\u0438\u0439 \u0442\u0435\u043D\u0437\u043E\u0440 \u2014 \u043C\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u0435\u0441\u043A\u0438\u0439 \u0442\u0435\u043D\u0437\u043E\u0440; \u0442\u043E\u0447\u043D\u0435\u0435 \u2014 \u044D\u0442\u043E \u0433\u043B\u0430\u0434\u043A\u043E\u0435 \u043A\u043E\u0432\u0430\u0440\u0438\u0430\u043D\u0442\u043D\u043E\u0435 \u0441\u0438\u043C\u043C\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u043D\u043E\u0435 \u043F\u043E\u043B\u043E\u0436\u0438\u0442\u0435\u043B\u044C\u043D\u043E \u043E\u043F\u0440\u0435\u0434\u0435\u043B\u0435\u043D\u043D\u043E\u0435 \u0442\u0435\u043D\u0437\u043E\u0440\u043D\u043E\u0435 \u043F\u043E\u043B\u0435 \u0432\u0430\u043B\u0435\u043D\u0442\u043D\u043E\u0441\u0442\u0438 (0,2). \u041D\u0435 \u0441\u0442\u043E\u0438\u0442 \u043F\u0443\u0442\u0430\u0442\u044C \u0440\u0438\u043C\u0430\u043D\u043E\u0432\u044B \u043C\u043D\u043E\u0433\u043E\u043E\u0431\u0440\u0430\u0437\u0438\u044F \u0441 \u0440\u0438\u043C\u0430\u043D\u043E\u0432\u044B\u043C\u0438 \u043F\u043E\u0432\u0435\u0440\u0445\u043D\u043E\u0441\u0442\u044F\u043C\u0438 \u2014 \u043C\u043D\u043E\u0433\u043E\u043E\u0431\u0440\u0430\u0437\u0438\u044F\u043C\u0438, \u043A\u043E\u0442\u043E\u0440\u044B\u0435 \u043B\u043E\u043A\u0430\u043B\u044C\u043D\u043E \u0432\u044B\u0433\u043B\u044F\u0434\u044F\u0442 \u043A\u0430\u043A \u0441\u043A\u043B\u0435\u0439\u043A\u0438 \u043A\u043E\u043C\u043F\u043B\u0435\u043A\u0441\u043D\u044B\u0445 \u043F\u043B\u043E\u0441\u043A\u043E\u0441\u0442\u0435\u0439. \u0422\u0435\u0440\u043C\u0438\u043D \u043D\u0430\u0437\u0432\u0430\u043D \u0432 \u0447\u0435\u0441\u0442\u044C \u043D\u0435\u043C\u0435\u0446\u043A\u043E\u0433\u043E \u043C\u0430\u0442\u0435\u043C\u0430\u0442\u0438\u043A\u0430 \u0411\u0435\u0440\u043D\u0445\u0430\u0440\u0434\u0430 \u0420\u0438\u043C\u0430\u043D\u0430."@ru . "\u0420\u0456\u043C\u0430\u043D\u0456\u0432 \u043C\u043D\u043E\u0433\u043E\u0432\u0438\u0434 \u2014 \u0433\u043B\u0430\u0434\u043A\u0438\u0439 \u043C\u043D\u043E\u0433\u043E\u0432\u0438\u0434 \u0437 \u0432\u0438\u0437\u043D\u0430\u0447\u0435\u043D\u0438\u043C \u0443 \u043A\u043E\u0436\u043D\u0456\u0439 \u0442\u043E\u0447\u0446\u0456 \u0441\u043A\u0430\u043B\u044F\u0440\u043D\u0438\u043C \u0434\u043E\u0431\u0443\u0442\u043A\u043E\u043C \u043D\u0430 \u0434\u043E\u0442\u0438\u0447\u043D\u043E\u043C\u0443 \u043F\u0440\u043E\u0441\u0442\u043E\u0440\u0456, \u0442\u0430\u043A \u0449\u043E \u0441\u043A\u0430\u043B\u044F\u0440\u043D\u0438\u0439 \u0434\u043E\u0431\u0443\u0442\u043E\u043A \u0433\u043B\u0430\u0434\u043A\u043E \u0437\u043C\u0456\u043D\u044E\u0454\u0442\u044C\u0441\u044F \u0432\u0456\u0434 \u0442\u043E\u0447\u043A\u0438 \u0434\u043E \u0442\u043E\u0447\u043A\u0438. \u0424\u043E\u0440\u043C\u0430\u043B\u044C\u043D\u043E, \u043D\u0435\u0445\u0430\u0439 M \u2014 \u0434\u0438\u0444\u0435\u0440\u0435\u043D\u0446\u0456\u0439\u043E\u0432\u043D\u0438\u0439 \u043C\u043D\u043E\u0433\u043E\u0432\u0438\u0434 \u0440\u043E\u0437\u043C\u0456\u0440\u043D\u043E\u0441\u0442\u0456 n. \u0420\u0456\u043C\u0430\u043D\u043E\u0432\u043E\u044E \u043C\u0435\u0442\u0440\u0438\u043A\u043E\u044E \u043D\u0430 M \u043D\u0430\u0437\u0438\u0432\u0430\u0454\u0442\u044C\u0441\u044F \u043C\u043D\u043E\u0436\u0438\u043D\u0430 \u0441\u043A\u0430\u043B\u044F\u0440\u043D\u0438\u0445 \u0434\u043E\u0431\u0443\u0442\u043A\u0456\u0432 \u0442\u0430\u043A\u0430 \u0449\u043E, \u0434\u043B\u044F \u0432\u0441\u0456\u0445 \u0433\u043B\u0430\u0434\u043A\u0438\u0445 \u0432\u0435\u043A\u0442\u043E\u0440\u043D\u0438\u0445 \u043F\u043E\u043B\u0456\u0432 X,Y \u043D\u0430 M, \u0454 \u0433\u043B\u0430\u0434\u043A\u043E\u044E \u0444\u0443\u043D\u043A\u0446\u0456\u0454\u044E ."@uk . "En math\u00E9matiques, et plus pr\u00E9cis\u00E9ment en g\u00E9om\u00E9trie, la vari\u00E9t\u00E9 riemannienne est l'objet de base \u00E9tudi\u00E9 en g\u00E9om\u00E9trie riemannienne.Il s'agit d'une vari\u00E9t\u00E9, c'est-\u00E0-dire un espace courbe g\u00E9n\u00E9ralisant les courbes (de dimension 1) ou les surfaces (de dimension 2) \u00E0 une dimension n quelconque, et sur laquelle il est possible d'effectuer des calculs de longueur. En termes techniques, une vari\u00E9t\u00E9 riemannienne est une vari\u00E9t\u00E9 diff\u00E9rentielle munie d'une structure suppl\u00E9mentaire appel\u00E9e m\u00E9trique riemannienne permettant de calculer le produit scalaire de deux vecteurs tangents \u00E0 la vari\u00E9t\u00E9 en un m\u00EAme point. Cette m\u00E9trique permet de d\u00E9finir la longueur d'un chemin entre deux points de la vari\u00E9t\u00E9, puis les g\u00E9od\u00E9siques qui r\u00E9pondent \u00E0 un probl\u00E8me de plus court chemin. Les concepts fondamentaux qu'on associe \u00E0 la vari\u00E9t\u00E9 riemannienne sont la connexion de Levi-Civita et la courbure."@fr . . "\u0641\u064A \u0627\u0644\u0647\u0646\u062F\u0633\u0629 \u0627\u0644\u062A\u0641\u0627\u0636\u0644\u064A\u0629\u060C \u0645\u062A\u0639\u062F\u062F \u0634\u0639\u0628 \u0631\u064A\u0645\u0627\u0646\u064A \u0623\u0648 \u0641\u0636\u0627\u0621 \u0631\u064A\u0645\u0627\u0646\u064A (\u0628\u0627\u0644\u0625\u0646\u062C\u0644\u064A\u0632\u064A\u0629: Riemannian manifold)\u200F \u0647\u0648 \u0645\u0632\u0648\u062F \u0628\u062C\u062F\u0627\u0621 \u062F\u0627\u062E\u0644\u064A..."@ar . "Dalam geometri diferensial, sebuah manifold Riemann atau ruang Riemannan adalah sebuah yang dilengkapi dengan sebuah di di setiap titik . Jika dan adalah pada , maka merupakan sebuah fungsi mulus. Keluarga dari darab dalam disebut sebuah . Istilah ini diambil dari nama matematikawan Jerman Bernhard Riemann. Studi mengenai manifold Riemann ini melingkupi subjek yang disebut geometri Riemann. Metrik Riemann (tensor) membuatnya memungkinkan untuk mendefinisikan berbagai titik geometrik pada sebuah manifold Riemann, seperti sudut, jarak kurva, luas (atau volume), , gradien fungsi dan ."@in . . "\u9ECE\u66FC\u6D41\u5F62\uFF08Riemannian manifold\uFF09\u662F\u4E00\u500B\u5FAE\u5206\u6D41\u5F62\uFF0C\u5176\u4E2D\u6BCF\u9EDEp\u7684\u5207\u7A7A\u9593\u90FD\u5B9A\u7FA9\u4E86\u9EDE\u7A4D\uFF0C\u800C\u4E14\u5176\u6578\u503C\u96A8p\u5E73\u6ED1\u5730\u6539\u8B8A\u3002\u5B83\u5BB9\u8A31\u6211\u5011\u5B9A\u7FA9\u5F27\u7DDA\u9577\u5EA6\u3001\u89D2\u5EA6\u3001\u9762\u7A4D\u3001\u9AD4\u7A4D\u3001\u66F2\u7387\u3001\u51FD\u6578\u68AF\u5EA6\u53CA\u5411\u91CF\u57DF\u7684\u6563\u5EA6\u3002 \u6BCF\u500BRn\u7684\u5E73\u6ED1\u5B50\u6D41\u5F62\u53EF\u4EE5\u5BFC\u51FA\u9ECE\u66FC\u5EA6\u91CF\uFF1A\u628ARn\u7684\u9EDE\u7A4D\u90FD\u9650\u5236\u65BC\u5207\u7A7A\u9593\u5167\u3002\u5BE6\u969B\u4E0A\uFF0C\u6839\u636E\u7EB3\u4EC0\u5D4C\u5165\u5B9A\u7406\uFF0C\u6240\u6709\u9ECE\u66FC\u6D41\u5F62\u90FD\u53EF\u4EE5\u9019\u6A23\u4EA7\u751F\u3002 \u6211\u5011\u53EF\u4EE5\u5B9A\u7FA9\u9ECE\u66FC\u6D41\u5F62\u70BA\u548CRn\u7684\u5E73\u6ED1\u5B50\u6D41\u5F62\u662F\u7B49\u8DDD\u540C\u6784\u7684\u5EA6\u91CF\u7A7A\u9593\uFF0C\u7B49\u8DDD\u662F\u6307\u5176\uFF08intrinsic metric\uFF09\u548C\u4E0A\u8FF0\u4ECERn\u5BFC\u51FA\u7684\u5EA6\u91CF\u662F\u76F8\u540C\u7684\u3002\u8FD9\u5C0D\u5EFA\u7ACB\u9ECE\u66FC\u5E7E\u4F55\u662F\u5F88\u6709\u7528\u7684\u3002 \u9ECE\u66FC\u6D41\u5F62\u53EF\u4EE5\u5B9A\u4E49\u4E3A\u5E73\u6ED1\u6D41\u5F62\uFF0C\u5176\u4E2D\u7ED9\u51FA\u4E86\u4E00\u4E2A\u5207\u4E1B\u7684\u6B63\u5B9A\u4E8C\u6B21\u5F62\u7684\u5149\u6ED1\u622A\u9762\u3002\u5B83\u53EF\u7522\u751F\u5EA6\u91CF\u7A7A\u9593\uFF1A \u5982\u679C\u03B3 : [a, b] \u2192 M\u662F\u9ECE\u66FC\u6D41\u5F62M\u4E2D\u4E00\u6BB5\u9023\u7E8C\u53EF\u5FAE\u5206\u7684\u5F27\u7DDA\uFF0C\u6211\u5011\u53EF\u4EE5\u5B9A\u7FA9\u5B83\u7684\u9577\u5EA6L\uFF08\u03B3\uFF09\u70BA \uFF08\u6CE8\u610F\uFF1A\u03B3'\uFF08t\uFF09\u662F\u5207\u7A7A\u9593M\u5728\u03B3\uFF08t\uFF09\u9EDE\u7684\u5143\u7D20\uFF1B||\u00B7||\u662F\u5207\u7A7A\u9593\u7684\u5167\u7A4D\u6240\u5F97\u51FA\u7684\u7BC4\u6578\u3002\uFF09 \u4F7F\u7528\u8FD9\u4E2A\u957F\u5EA6\u7684\u5B9A\u4E49\uFF0C\u6BCF\u4E2A\u8FDE\u901A\u7684\u9ECE\u66FC\u6D41\u5F62M\u5F88\u81EA\u7136\u7684\u6210\u4E3A\u4E00\u4E2A\u5EA6\u91CF\u7A7A\u9593\uFF08\u751A\u81F3\u662F\uFF09\uFF1A\u5728x\u8207y\u5169\u9EDE\u4E4B\u9593\u7684\u8DDD\u96E2d\uFF08x, y\uFF09\u5B9A\u7FA9\u70BA\uFF1A d(x,y) = inf{ L(\u03B3) : \u03B3\u662F\u8FDE\u63A5x\u548Cy\u7684\u4E00\u6761\u5149\u6ED1\u66F2\u7EBF}\u3002 \u867D\u7136\u9ECE\u66FC\u6D41\u5F62\u901A\u5E38\u662F\u5F2F\u66F2\u7684\uFF0C\u201C\u76F4\u7DDA\u201D\u7684\u6982\u5FF5\u4F9D\u7136\u5B58\u5728\uFF1A\u90A3\u5C31\u662F\u6E2C\u5730\u7DDA\u3002 \u5728\u9ECE\u66FC\u6D41\u5F62\u4E2D\uFF0C\u6E2C\u5730\u7DDA\u5B8C\u5907\u7684\u6982\u5FF5\uFF0C\u548C\u62D3\u64B2\u5B8C\u5907\u53CA\u5EA6\u91CF\u5B8C\u5907\u662F\u7B49\u4EF7\u7684\uFF1A\u6BCF\u4E2A\u5B8C\u5907\u6027\u90FD\u53EF\u4EE5\u63A8\u51FA\u5176\u4ED6\u7684\u5B8C\u5907\u6027\uFF0C\u8FD9\u5C31\u662F\u7684\u5185\u5BB9\u3002"@zh . . . . . . . . "\u5FAE\u5206\u5E7E\u4F55\u5B66\u306B\u304A\u3051\u308B\u30EA\u30FC\u30DE\u30F3\u591A\u69D8\u4F53\uFF08\u30EA\u30FC\u30DE\u30F3\u305F\u3088\u3046\u305F\u3044\u3001\u82F1: Riemannian manifold\uFF09\u3068\u306F\u3001\u53EF\u5FAE\u5206\u591A\u69D8\u4F53\u306E\u3046\u3061\u305D\u306E\u5404\u70B9\u306B\u57FA\u672C\u8A08\u91CF\u30C6\u30F3\u30BD\u30EB g \u304C\u4E0E\u3048\u3089\u308C\u308B\u3082\u306E\u3092\u8A00\u3046\u3002\u30D9\u30EB\u30F3\u30CF\u30EB\u30C8\u30FB\u30EA\u30FC\u30DE\u30F3\u306B\u3088\u3063\u3066\u5C0E\u5165\u3055\u308C\u305F\u3002"@ja . . . . . . . . "Eine riemannsche Mannigfaltigkeit oder ein riemannscher Raum ist ein Objekt aus dem mathematischen Teilgebiet der riemannschen Geometrie. Diese Mannigfaltigkeiten haben die zus\u00E4tzliche Eigenschaft, dass sie eine Metrik \u00E4hnlich wie ein Pr\u00E4hilbertraum besitzen. Mit Hilfe dieser riemannschen Metrik lassen sich dann die wesentlichen geometrischen Eigenschaften der Mannigfaltigkeit beschreiben. So gelten auf jeder riemannschen Mannigfaltigkeit die folgenden, teilweise \u00E4quivalenten, Eigenschaften: \n* Die k\u00FCrzesten Strecken zwischen unterschiedlichen Punkten (die sogenannten Geod\u00E4ten) sind nicht zwingend Geradenst\u00FCcke, sondern k\u00F6nnen gekr\u00FCmmte Kurven sein. \n* Die Winkelsumme von Dreiecken kann, im Gegensatz zur Ebene, auch gr\u00F6\u00DFer (z. B. Kugel) oder kleiner (hyperbolische R\u00E4ume) als 180\u00B0 sein. \n* Die Parallelverschiebung von Tangentialvektoren entlang geschlossener Kurven kann die Richtung des Vektors \u00E4ndern. \n* Das Ergebnis einer Parallelverschiebung eines Tangentialvektors h\u00E4ngt auch vom Weg ab, entlang dessen der Tangentialvektor verschoben wird. \n* Die Kr\u00FCmmung ist im Allgemeinen eine Funktion des Ortes auf der Mannigfaltigkeit. \n* Abstandsmessungen zwischen unterschiedlichen Punkten sind nur mit Hilfe einer Metrik m\u00F6glich, die vom Ort auf der Mannigfaltigkeit abh\u00E4ngen kann. Der etwas allgemeinere Begriff der pseudo-riemannschen oder semi-riemannschen Mannigfaltigkeit ist in der allgemeinen Relativit\u00E4tstheorie von entscheidender Bedeutung, da in dieser die Raumzeit als solche beschrieben wird."@de . . . "En matem\u00E0tiques, i m\u00E9s espec\u00EDficament en geometria diferencial, una varietat riemanniana \u00E9s una varietat diferenciable real dotada d'una m\u00E8trica riemanniana, \u00E9s a dir, un camp tensorial diferenciable que dota cada espai tangent d'un producte escalar. L'estudi de les varietats riemannianes es coneix com a geometria riemanniana. El nom prov\u00E9 del matem\u00E0tic alemany del s. XIX Bernhard Riemann, qui amb el seu estudi de les varietats de dimensi\u00F3 arbitr\u00E0ria fou el fundador de la geometria riemanniana. La m\u00E8trica riemanniana, tamb\u00E9 dita tensor m\u00E8tric, permet definir diverses nocions m\u00E8triques en la varietat, com ara longitud de corbes, angles, \u00E0rees o volums, curvatura, gradient de funcions i diverg\u00E8ncia de camps vectorials."@ca . "Dalam geometri diferensial, sebuah manifold Riemann atau ruang Riemannan adalah sebuah yang dilengkapi dengan sebuah di di setiap titik . Jika dan adalah pada , maka merupakan sebuah fungsi mulus. Keluarga dari darab dalam disebut sebuah . Istilah ini diambil dari nama matematikawan Jerman Bernhard Riemann. Studi mengenai manifold Riemann ini melingkupi subjek yang disebut geometri Riemann."@in . . . . "Eine riemannsche Mannigfaltigkeit oder ein riemannscher Raum ist ein Objekt aus dem mathematischen Teilgebiet der riemannschen Geometrie. Diese Mannigfaltigkeiten haben die zus\u00E4tzliche Eigenschaft, dass sie eine Metrik \u00E4hnlich wie ein Pr\u00E4hilbertraum besitzen. Mit Hilfe dieser riemannschen Metrik lassen sich dann die wesentlichen geometrischen Eigenschaften der Mannigfaltigkeit beschreiben. So gelten auf jeder riemannschen Mannigfaltigkeit die folgenden, teilweise \u00E4quivalenten, Eigenschaften:"@de . . . . . . "Riemannov\u00FDm (riemannovsk\u00FDm) prostorem nebo t\u00E9\u017E Riemanovou varietou, je v matematice a fyzice ozna\u010Dov\u00E1n prostor, na kter\u00E9m je mo\u017En\u00E9 m\u011B\u0159it vzd\u00E1lenosti bod\u016F a \u00FAhly te\u010Dn\u00FDch vektor\u016F. Pojmenov\u00E1n\u00ED je po matematikovi Bernhardovi Riemannovi. Speci\u00E1ln\u00ED p\u0159\u00EDpady Riemannov\u00FDch prostor\u016F jsou Euklidovsk\u00E1, Loba\u010Devsk\u00E9ho a sf\u00E9rick\u00E1 geometrie."@cs . . . . . "Riemannsche Mannigfaltigkeit"@de . . . . . . . . . . "In geometria differenziale, una variet\u00E0 riemanniana \u00E8 una variet\u00E0 differenziabile su cui sono definite le nozioni di distanza, lunghezza, geodetica, area (o volume) e curvatura. \u00C8 una nozione fondamentale in quanto permette di modellizzare spazi \"curvi\" di dimensione arbitraria. Prende il nome dal matematico tedesco Bernhard Riemann."@it . "Riemannm\u00E5ngfald"@sv . . "In de riemann-meetkunde, een deelgebied van de wiskunde, is een riemann-vari\u00EBteit een re\u00EBle differentieerbare vari\u00EBteit waarvan in elk punt de raakruimte is uitgerust met een inproduct , een riemann-metriek, op een wijze die van punt tot punt glad varieert. De metriek is een positief-definiete symmetrische tensor, een zogenaamde metrische tensor. In andere woorden, een riemann-vari\u00EBteit is een differentieerbare vari\u00EBteit, waarvan de raakruimte in elk punt een eindig-dimensionale euclidische ruimte is, waar aan elk punt een zekere metriek kan worden toegekend. Als metriek kan men verschillende meetkundige begrippen, zoals hoeken, lengten van krommen, oppervlakken (of volumen), kromming, de gradi\u00EBnt van functies en de divergentie van vectorvelden, op een riemann-vari\u00EBteit defini\u00EBren. De riemann-vari\u00EBteit is naast de lorentz-vari\u00EBteit de meest gangbare wiskundige vertaling van het begrip gekromde ruimte. Bernhard Riemann, naar wie het begrip genoemd is, onderzocht intrinsieke eigenschappen van oppervlakken en andere gekromde ruimten, dat wil zeggen eigenschappen die niet afhangen van een inbedding in een hogerdimensionale euclidische ruimte of van het gebruik van een welbepaald co\u00F6rdinatenstelsel. Riemann-vari\u00EBteiten moeten niet worden verward met riemann-oppervlakken, vari\u00EBteiten die lokaal als patches van het complexe vlak verschijnen."@nl . . . . . "Riemannov\u00FDm (riemannovsk\u00FDm) prostorem nebo t\u00E9\u017E Riemanovou varietou, je v matematice a fyzice ozna\u010Dov\u00E1n prostor, na kter\u00E9m je mo\u017En\u00E9 m\u011B\u0159it vzd\u00E1lenosti bod\u016F a \u00FAhly te\u010Dn\u00FDch vektor\u016F. Pojmenov\u00E1n\u00ED je po matematikovi Bernhardovi Riemannovi. Speci\u00E1ln\u00ED p\u0159\u00EDpady Riemannov\u00FDch prostor\u016F jsou Euklidovsk\u00E1, Loba\u010Devsk\u00E9ho a sf\u00E9rick\u00E1 geometrie."@cs . . . . . . . . "Rozmaito\u015B\u0107 riemannowska (przestrze\u0144 Riemanna) \u2013 to rzeczywista rozmaito\u015B\u0107 r\u00F3\u017Cniczkowa wymiaru w kt\u00F3rej zdefiniowana jest odleg\u0142o\u015B\u0107 (metryka) pomi\u0119dzy punktami w nast\u0119puj\u0105cy spos\u00F3b: (1) je\u017Celi wprowadzi si\u0119 w rozmaito\u015Bci uk\u0142ad wsp\u00F3\u0142rz\u0119dnych krzywoliniowych, tak \u017Ce ka\u017Cdy punkt rozmaito\u015Bci ma okre\u015Blone wsp\u00F3\u0142rz\u0119dne to d\u0142ugo\u015B\u0107 infinitezymalnego wektora \u0142\u0105cz\u0105cego dany punkt z infinitezymalnie blisko po\u0142o\u017Conym innym punktem rozmaito\u015Bci zadana jest wzorem dla ka\u017Cdego (2) Tensor metryczny pozwala oblicza\u0107 d\u0142ugo\u015Bci krzywych w rozmaito\u015Bci (patrz ni\u017Cej). Uwaga:"@pl . . . . . . . . "1116645110"^^ . "Riemannian manifold"@en . "En la geometr\u00EDa de Riemann, una variedad de Riemann es una variedad diferenciable real en la que cada espacio tangente se equipa con un producto interno de manera que var\u00EDe suavemente punto a punto. Esto permite que se definan varias nociones m\u00E9tricas como longitud de curvas, \u00E1ngulos, \u00E1reas (o vol\u00FAmenes), curvatura, gradiente de funciones y divergencia de campos vectoriales."@es . . . "L.A. Sidorov"@en . "\u9ECE\u66FC\u6D41\u5F62"@zh . . . . "\uBBF8\uBD84\uAE30\uD558\uD559\uC5D0\uC11C \uB9AC\uB9CC \uB2E4\uC591\uCCB4(Riemann\u591A\u6A23\u9AD4, \uC601\uC5B4: Riemannian manifold)\uB294 \uAC01 \uC810\uC758 \uC811\uACF5\uAC04 \uC704\uC5D0 \uC591\uC758 \uC815\uBD80\uD638 \uC30D\uC120\uD615 \uD615\uC2DD\uC774 \uC8FC\uC5B4\uC838, \uB450 \uC810 \uC0AC\uC774\uC758 \uAC70\uB9AC\uB97C \uCE21\uC815\uD560 \uC218 \uC788\uB294 \uB9E4\uB044\uB7EC\uC6B4 \uB2E4\uC591\uCCB4\uC774\uB2E4. \uC774 \uAD6C\uC870\uB97C \uB9AC\uB9CC \uACC4\uB7C9(Riemann\u8A08\u91CF, \uC601\uC5B4: Riemannian metric)\uC774\uB77C\uACE0 \uD558\uBA70, \uC774\uB97C \uC0AC\uC6A9\uD558\uC5EC \uB2E4\uC591\uCCB4 \uC704\uC5D0\uC11C \uD3C9\uD589 \uC6B4\uC1A1 \u00B7 \uAC01\uB3C4 \u00B7 \uAE38\uC774 \u00B7 \uBD80\uD53C \u00B7 \uACE1\uB960 \uB530\uC704\uC758 \uAE30\uD558\uD559\uC801 \uAC1C\uB150\uB4E4\uC744 \uC815\uC758\uD560 \uC218 \uC788\uB2E4. \uB9AC\uB9CC \uB2E4\uC591\uCCB4\uC640 \uAD00\uB828\uB41C \uAD6C\uC870\uB97C \uC5F0\uAD6C\uD558\uB294 \uBBF8\uBD84\uAE30\uD558\uD559\uC758 \uBD84\uC57C\uB97C \uB9AC\uB9CC \uAE30\uD558\uD559(Riemann\u5E7E\u4F55\u5B78, \uC601\uC5B4: Riemannian geometry)\uC774\uB77C\uACE0 \uD55C\uB2E4."@ko . . . . . "In differential geometry, a Riemannian manifold or Riemannian space (M, g), so called after the German mathematician Bernhard Riemann, is a real, smooth manifold M equipped with a positive-definite inner product gp on the tangent space TpM at each point p. The family gp of inner products is called a Riemannian metric (or Riemannian metric tensor). Riemannian geometry is the study of Riemannian manifolds. A common convention is to take g to be smooth, which means that for any smooth coordinate chart (U, x) on M, the n2 functions are smooth functions. These functions are commonly designated as . With further restrictions on the , one could also consider Lipschitz Riemannian metrics or measurable Riemannian metrics, among many other possibilities. A Riemannian metric (tensor) makes it possible to define several geometric notions on a Riemannian manifold, such as angle at an intersection, length of a curve, area of a surface and higher-dimensional analogues (volume, etc.), extrinsic curvature of submanifolds, and intrinsic curvature of the manifold itself."@en . . . . "\u0420\u0438\u043C\u0430\u043D\u043E\u0432\u043E \u043C\u043D\u043E\u0433\u043E\u043E\u0431\u0440\u0430\u0437\u0438\u0435, \u0438\u043B\u0438 \u0440\u0438\u043C\u0430\u043D\u043E\u0432\u043E \u043F\u0440\u043E\u0441\u0442\u0440\u0430\u043D\u0441\u0442\u0432\u043E (M, g), \u2014 \u044D\u0442\u043E (\u0432\u0435\u0449\u0435\u0441\u0442\u0432\u0435\u043D\u043D\u043E\u0435) \u0433\u043B\u0430\u0434\u043A\u043E\u0435 \u043C\u043D\u043E\u0433\u043E\u043E\u0431\u0440\u0430\u0437\u0438\u0435 M, \u0432 \u043A\u043E\u0442\u043E\u0440\u043E\u043C \u043A\u0430\u0436\u0434\u043E\u0435 \u043A\u0430\u0441\u0430\u0442\u0435\u043B\u044C\u043D\u043E\u0435 \u043F\u0440\u043E\u0441\u0442\u0440\u0430\u043D\u0441\u0442\u0432\u043E \u0441\u043D\u0430\u0431\u0436\u0435\u043D\u043E \u0441\u043A\u0430\u043B\u044F\u0440\u043D\u044B\u043C \u043F\u0440\u043E\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043D\u0438\u0435\u043C g \u2014 \u043C\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u0435\u0441\u043A\u0438\u043C \u0442\u0435\u043D\u0437\u043E\u0440\u043E\u043C, \u043C\u0435\u043D\u044F\u044E\u0449\u0438\u043C\u0441\u044F \u043E\u0442 \u0442\u043E\u0447\u043A\u0438 \u043A \u0442\u043E\u0447\u043A\u0435 \u0433\u043B\u0430\u0434\u043A\u0438\u043C \u043E\u0431\u0440\u0430\u0437\u043E\u043C. \u0414\u0440\u0443\u0433\u0438\u043C\u0438 \u0441\u043B\u043E\u0432\u0430\u043C\u0438, \u0440\u0438\u043C\u0430\u043D\u043E\u0432\u043E \u043C\u043D\u043E\u0433\u043E\u043E\u0431\u0440\u0430\u0437\u0438\u0435 \u2014 \u044D\u0442\u043E \u0434\u0438\u0444\u0444\u0435\u0440\u0435\u043D\u0446\u0438\u0440\u0443\u0435\u043C\u043E\u0435 \u043C\u043D\u043E\u0433\u043E\u043E\u0431\u0440\u0430\u0437\u0438\u0435, \u0432 \u043A\u043E\u0442\u043E\u0440\u043E\u043C \u043A\u0430\u0441\u0430\u0442\u0435\u043B\u044C\u043D\u043E\u0435 \u043F\u0440\u043E\u0441\u0442\u0440\u0430\u043D\u0441\u0442\u0432\u043E \u0432 \u043A\u0430\u0436\u0434\u043E\u0439 \u0442\u043E\u0447\u043A\u0435 \u044F\u0432\u043B\u044F\u0435\u0442\u0441\u044F \u043A\u043E\u043D\u0435\u0447\u043D\u043E\u043C\u0435\u0440\u043D\u044B\u043C \u0435\u0432\u043A\u043B\u0438\u0434\u043E\u0432\u044B\u043C \u043F\u0440\u043E\u0441\u0442\u0440\u0430\u043D\u0441\u0442\u0432\u043E\u043C. \u041D\u0435 \u0441\u0442\u043E\u0438\u0442 \u043F\u0443\u0442\u0430\u0442\u044C \u0440\u0438\u043C\u0430\u043D\u043E\u0432\u044B \u043C\u043D\u043E\u0433\u043E\u043E\u0431\u0440\u0430\u0437\u0438\u044F \u0441 \u0440\u0438\u043C\u0430\u043D\u043E\u0432\u044B\u043C\u0438 \u043F\u043E\u0432\u0435\u0440\u0445\u043D\u043E\u0441\u0442\u044F\u043C\u0438 \u2014 \u043C\u043D\u043E\u0433\u043E\u043E\u0431\u0440\u0430\u0437\u0438\u044F\u043C\u0438, \u043A\u043E\u0442\u043E\u0440\u044B\u0435 \u043B\u043E\u043A\u0430\u043B\u044C\u043D\u043E \u0432\u044B\u0433\u043B\u044F\u0434\u044F\u0442 \u043A\u0430\u043A \u0441\u043A\u043B\u0435\u0439\u043A\u0438 \u043A\u043E\u043C\u043F\u043B\u0435\u043A\u0441\u043D\u044B\u0445 \u043F\u043B\u043E\u0441\u043A\u043E\u0441\u0442\u0435\u0439."@ru . . . .