. . . "In matematica e pi\u00F9 precisamente in analisi complessa, la sfera di Riemann \u00E8 una particolare superficie di Riemann, definita aggiungendo un \"punto all'infinito\" al piano complesso. \u00C8 anche chiamata retta proiettiva complessa, in simboli , o piano complesso esteso, in simboli \u00C8 possibile quindi vedere la sfera di Riemann da diverse prospettive tra loro complementari. A livello algebrico si considera il punto all'infinito come risultato dell'operazione"@it . . . . . . . "Riemannova koule"@cs . . "Sfera Riemanna"@pl . . "En math\u00E9matiques, la sph\u00E8re de Riemann est une mani\u00E8re de prolonger le plan des nombres complexes avec un point additionnel \u00E0 l'infini, de mani\u00E8re que certaines expressions math\u00E9matiques deviennent convergentes et \u00E9l\u00E9gantes, du moins dans certains contextes. D\u00E9j\u00E0 envisag\u00E9e par le math\u00E9maticien Carl Friedrich Gauss, elle est baptis\u00E9e du nom de son \u00E9l\u00E8ve Bernhard Riemann. Ce plan s'appelle \u00E9galement la droite projective complexe, d\u00E9not\u00E9 ."@fr . . . . . . . . . "De riemann-sfeer, sfeer van Riemann of riemannbol is in de wiskunde een manier om het complexe vlak met een extra punt op oneindig uit te breiden, zodat anders onbepaalde uitdrukkingen als in bepaalde contexten een zinvolle betekenis krijgen. De riemann-sfeer is genoemd naar de 19e-eeuwse wiskundige Bernhard Riemann en wordt ook wel aangeduid als \n* De complexe projectieve lijn \n* Het uitgebreide complexe vlak of (de complexe getallen C verenigd met oneindig)."@nl . . . . . . . . "Rimana sfero"@eo . . . . "\u30EA\u30FC\u30DE\u30F3\u7403\u9762"@ja . . . . "30876799"^^ . . . . . . . . . . "Komplexn\u00ED \u010D\u00EDslo lze zn\u00E1zornit na tzv. Riemannov\u011B kouli. Jedn\u00E1 se o kouli, kter\u00E1 se sv\u00FDm ji\u017En\u00EDm p\u00F3lem dot\u00FDk\u00E1 Gaussovy roviny v jej\u00EDm po\u010D\u00E1tku. Spojen\u00EDm libovoln\u00E9ho bodu Gaussovy roviny se severn\u00EDm p\u00F3lem Riemannovy koule dostaneme bod . P\u0159i\u0159azen\u00ED bod\u016F a je vz\u00E1jemn\u011B jednozna\u010Dn\u00E9. Severn\u00EDmu p\u00F3lu odpov\u00EDd\u00E1 nevlastn\u00ED bod ."@cs . "\u0421\u0444\u0435\u0440\u0430 \u0420\u0456\u043C\u0430\u043D\u0430 \u2014 \u0440\u0456\u043C\u0430\u043D\u043E\u0432\u0430 \u043F\u043E\u0432\u0435\u0440\u0445\u043D\u044F, \u043F\u0440\u0438\u0440\u043E\u0434\u043D\u044F \u0441\u0442\u0440\u0443\u043A\u0442\u0443\u0440\u0430 \u043D\u0430 \u0440\u043E\u0437\u0448\u0438\u0440\u0435\u043D\u0456\u0439 \u043A\u043E\u043C\u043F\u043B\u0435\u043A\u0441\u043D\u0456\u0439 \u043F\u043B\u043E\u0449\u0438\u043D\u0456 \u044F\u043A\u0430 \u0454 \u043A\u043E\u043C\u043F\u043B\u0435\u043A\u0441\u043D\u043E\u044E \u043F\u0440\u043E\u0435\u043A\u0442\u0438\u0432\u043D\u043E\u044E \u043F\u0440\u044F\u043C\u043E\u044E \u0406\u043D\u0448\u0438\u043C\u0438 \u0441\u043B\u043E\u0432\u0430\u043C\u0438 \u0446\u0435 \u043C\u043E\u0434\u0435\u043B\u044C \u0440\u043E\u0437\u0448\u0438\u0440\u0435\u043D\u043E\u0457 \u043A\u043E\u043C\u043F\u043B\u0435\u043A\u0441\u043D\u043E\u0457 \u043F\u043B\u043E\u0449\u0438\u043D\u0438, \u0434\u0435 \u0434\u043E \u0437\u0432\u0438\u0447\u0430\u0439\u043D\u043E\u0457 \u043A\u043E\u043C\u043F\u043B\u0435\u043A\u0441\u043D\u043E\u0457 \u043F\u043B\u043E\u0449\u0438\u043D\u0438 \u0434\u043E\u0434\u0430\u0454\u0442\u044C\u0441\u044F \u0442\u043E\u0447\u043A\u0430 \u043D\u0430 \u043D\u0435\u0441\u043A\u0456\u043D\u0447\u0435\u043D\u043D\u043E\u0441\u0442\u0456. \u0412\u0456\u0434\u043F\u043E\u0432\u0456\u0434\u043D\u043E \u0434\u043E \u043C\u043E\u0434\u0435\u043B\u0456 \u0420\u0456\u043C\u0430\u043D\u0430, \u0442\u043E\u0447\u043A\u0430 \u00AB\u221E\u00BB \u043D\u0430\u0431\u043B\u0438\u0436\u0430\u0454\u0442\u044C\u0441\u044F \u0434\u043E \u0434\u0443\u0436\u0435 \u0432\u0435\u043B\u0438\u043A\u0438\u0445 \u0447\u0438\u0441\u0435\u043B, \u0442\u0430\u043A \u0441\u0430\u043C\u043E \u044F\u043A \u0442\u043E\u0447\u043A\u0430 \u00AB0\u00BB \u0454 \u0431\u043B\u0438\u0437\u044C\u043A\u043E\u044E \u0434\u043E \u0434\u0443\u0436\u0435 \u043C\u0430\u043B\u0438\u0445 \u0447\u0438\u0441\u0435\u043B. \u042F\u043A \u0434\u0456\u0439\u0441\u043D\u0438\u0439 \u043C\u043D\u043E\u0433\u043E\u0432\u0438\u0434 \u0434\u0438\u0444\u0435\u043E\u043C\u043E\u0440\u0444\u043D\u0430 \u0434\u0432\u043E\u0432\u0438\u043C\u0456\u0440\u043D\u0456\u0439 \u0441\u0444\u0435\u0440\u0456"@uk . . "En matem\u00E1tica, la esfera de Riemann (o plano complejo extendido), llamada as\u00ED en honor al matem\u00E1tico del siglo XIX Bernhard Riemann, es una esfera obtenida del plano complejo mediante la adici\u00F3n de un punto del infinito. La esfera es la representaci\u00F3n geom\u00E9trica de los n\u00FAmeros complejos extendidos, denotado como \u00F3 ,\u200B (v\u00E9ase fig.1 y fig.2), la cual consiste en los n\u00FAmeros complejos ordinarios en conjunci\u00F3n con el s\u00EDmbolo para representar el infinito. Los n\u00FAmeros complejos extendidos son comunes en an\u00E1lisis complejo porque permiten la divisi\u00F3n por cero en algunas circunstancias, en el sentido de hacer expresiones bien definidas tales como: Por ejemplo, cualquier funci\u00F3n racional sobre el plano complejo puede ser extendida como una funci\u00F3n continua sobre la esfera de Riemann, con los polos de la funci\u00F3n racional mapeados al infinito. M\u00E1s generalmente, cualquier funci\u00F3n meromorfa puede ser pensada como una funci\u00F3n continua cuyo codominio es la esfera de Riemann. En geometr\u00EDa, la esfera de Riemann es el ejemplo protot\u00EDpico de una superficie de Riemann, y una de las m\u00E1s simples variedades complejas. En geometr\u00EDa proyectiva, la esfera puede ser pensada como la recta proyectiva compleja , el espacio proyectivo de todos las en . Como con cualquier superficie de Riemann compacta, la esfera tambi\u00E9n puede ser vista como una curva algebraica proyectiva, haciendo de esto un ejemplo fundamental de geometr\u00EDa algebraica. Tambi\u00E9n encuentra utilidad en otras disciplinas que dependen del an\u00E1lisis y de la geometr\u00EDa, como puede ser la mec\u00E1nica cu\u00E1ntica y otras ramas de la f\u00EDsica."@es . . "In matematica e pi\u00F9 precisamente in analisi complessa, la sfera di Riemann \u00E8 una particolare superficie di Riemann, definita aggiungendo un \"punto all'infinito\" al piano complesso. \u00C8 anche chiamata retta proiettiva complessa, in simboli , o piano complesso esteso, in simboli \u00C8 possibile quindi vedere la sfera di Riemann da diverse prospettive tra loro complementari. A livello algebrico si considera il punto all'infinito come risultato dell'operazione In questo contesto il piano complesso esteso \u00E8 analogo alla retta reale estesa. Da un punto di vista topologico, il piano complesso esteso \u00E8 effettivamente una sfera, come mostrato dalla proiezione stereografica. In analisi complessa la sfera di Riemann \u00E8 la pi\u00F9 semplice superficie di Riemann compatta e quindi un oggetto centrale della teoria, utile a definire le funzioni meromorfe. La sfera di Riemann \u00E8 centrale anche in altri campi della geometria, ad esempio in geometria proiettiva e geometria algebrica in quanto esempio fondamentale di variet\u00E0 complessa, spazio proiettivo e variet\u00E0 algebrica."@it . . . "In mathematics, the Riemann sphere, named after Bernhard Riemann, is a model of the extended complex plane, the complex plane plus a point at infinity. This extended plane represents the extended complex numbers, that is, the complex numbers plus a value \u221E for infinity. With the Riemann model, the point \"\u221E\" is near to very large numbers, just as the point \"0\" is near to very small numbers. The extended complex numbers are useful in complex analysis because they allow for division by zero in some circumstances, in a way that makes expressions such as well-behaved. For example, any rational function on the complex plane can be extended to a holomorphic function on the Riemann sphere, with the poles of the rational function mapping to infinity. More generally, any meromorphic function can be thought of as a holomorphic function whose codomain is the Riemann sphere. In geometry, the Riemann sphere is the prototypical example of a Riemann surface, and is one of the simplest complex manifolds. In projective geometry, the sphere can be thought of as the complex projective line P1(C), the projective space of all complex lines in C2. As with any compact Riemann surface, the sphere may also be viewed as a projective algebraic curve, making it a fundamental example in algebraic geometry. It also finds utility in other disciplines that depend on analysis and geometry, such as the Bloch sphere of quantum mechanics and in other branches of physics. The extended complex plane is also called closed complex plane."@en . "20260"^^ . . "\u6570\u5B66\u306B\u304A\u3044\u3066\u30EA\u30FC\u30DE\u30F3\u7403\u9762\uFF08\u30EA\u30FC\u30DE\u30F3\u304D\u3085\u3046\u3081\u3093\u3001\u82F1\u8A9E: Riemann sphere\uFF09\u306F\u3001\u7121\u9650\u9060\u70B9\u3092\u4E00\u70B9\u8FFD\u52A0\u3057\u3066\u8907\u7D20\u5E73\u9762\u3092\u62E1\u5F35\u3059\u308B\u4E00\u624B\u6CD5\u3067\u3042\u308A\u3001\u3053\u3053\u306B\u7121\u9650\u9060\u70B9 1/0 = \u221E \u306F\u3001\u5C11\u306A\u304F\u3068\u3082\u3042\u308B\u610F\u5473\u3067\u6574\u5408\u7684\u304B\u3064\u6709\u7528\u3067\u3042\u308B\u300219 \u4E16\u7D00\u306E\u6570\u5B66\u8005\u30D9\u30EB\u30F3\u30CF\u30EB\u30C8\u30FB\u30EA\u30FC\u30DE\u30F3\u304B\u3089\u540D\u4ED8\u3051\u3089\u308C\u305F\u3002\u3053\u308C\u306F\u307E\u305F\u3001\u4EE5\u4E0B\u306E\u901A\u308A\u306B\u3082\u547C\u3070\u308C\u308B\u3002 \n* \u8907\u7D20\u5C04\u5F71\u76F4\u7DDA\u3068\u8A00\u3044\u3001CP1 \u3068\u66F8\u304F\u3002 \n* \u62E1\u5F35\u8907\u7D20\u5E73\u9762\u3068\u8A00\u3044\u3001 \u307E\u305F\u306F C \u222A {\u221E} \u3068\u66F8\u304F\u3002 \u7D14\u4EE3\u6570\u7684\u306B\u306F\u3001\u7121\u9650\u9060\u70B9\u3092\u8FFD\u52A0\u3057\u305F\u8907\u7D20\u6570\u5168\u4F53\u306F\u3001\u62E1\u5F35\u8907\u7D20\u6570\u3068\u3057\u3066\u77E5\u3089\u308C\u308B\u6570\u4F53\u7CFB\u3092\u69CB\u6210\u3059\u308B\u3002\u7121\u9650\u3092\u4F34\u3046\u7B97\u8853\u306F\u3001\u901A\u5E38\u306E\u4EE3\u6570\u898F\u5247\u3059\u3079\u3066\u306B\u5F93\u3046\u8A33\u3067\u306F\u306A\u3044\u306E\u3067\u3001\u62E1\u5F35\u8907\u7D20\u6570\u5168\u4F53\u306F\u4F53\u3092\u69CB\u6210\u3057\u306A\u3044\u3002\u3057\u304B\u3057\u30EA\u30FC\u30DE\u30F3\u7403\u9762\u306F\u3001\u5E7E\u4F55\u5B66\u7684\u307E\u305F\u89E3\u6790\u5B66\u7684\u306B\u7121\u9650\u9060\u306B\u304A\u3044\u3066\u3055\u3048\u3082\u3088\u304F\u632F\u821E\u3044\u3001\u30EA\u30FC\u30DE\u30F3\u9762\u3068\u3082\u547C\u3070\u308C\u308B 1-\u6B21\u5143\u8907\u7D20\u591A\u69D8\u4F53\u3092\u306A\u3059\u3002 \u8907\u7D20\u89E3\u6790\u306B\u304A\u3044\u3066\u3001\u30EA\u30FC\u30DE\u30F3\u7403\u9762\u306F\u6709\u7406\u578B\u95A2\u6570\u306E\u6D17\u7DF4\u3055\u308C\u305F\u7406\u8AD6\u3067\u91CD\u8981\u306A\u5F79\u5272\u3092\u679C\u305F\u3059\u3002\u30EA\u30FC\u30DE\u30F3\u7403\u9762\u306F\u3001\u5C04\u5F71\u5E7E\u4F55\u5B66\u3084\u4EE3\u6570\u5E7E\u4F55\u5B66\u3067\u306F\u3001\u8907\u7D20\u591A\u69D8\u4F53\u3001\u5C04\u5F71\u7A7A\u9593\u3001\u4EE3\u6570\u591A\u69D8\u4F53\u306E\u6839\u6E90\u7684\u306A\u4E8B\u4F8B\u3068\u3057\u3066\u5E38\u306B\u767B\u5834\u3059\u308B\u3002\u30EA\u30FC\u30DE\u30F3\u7403\u9762\u306F\u307E\u305F\u3001\u91CF\u5B50\u529B\u5B66\u305D\u306E\u4ED6\u306E\u7269\u7406\u5B66\u306E\u5206\u91CE\u7B49\u3001\u89E3\u6790\u5B66\u3068\u5E7E\u4F55\u5B66\u306B\u4F9D\u5B58\u3059\u308B\u4ED6\u306E\u5B66\u554F\u5206\u91CE\u306B\u304A\u3044\u3066\u3082\u3001\u6709\u7528\u6027\u3092\u767A\u63EE\u3057\u3066\u3044\u308B\u3002"@ja . . . . "984075603"^^ . . . . "Esfera de Riemann"@es . "\u03A3\u03C6\u03B1\u03AF\u03C1\u03B1 \u03C4\u03BF\u03C5 \u03A1\u03AF\u03BC\u03B1\u03BD"@el . . . "Riemann sphere"@en . . . "Na matem\u00E1tica, a esfera de Riemann \u00E9 uma maneira de ampliar o plano de n\u00FAmeros complexos com um ponto no infinito adicional, de uma maneira que faz com que express\u00F5es como sejam bem adequadas e \u00FAteis, pelo menos em determinados contextos. \u00C9 nomeado devido ao matem\u00E1tico do s\u00E9culo XIX Bernhard Riemann. \u00C9 tamb\u00E9m chamada \n* complexa, notada , e \n* plano complexo estendido, notado ou . Em um n\u00EDvel puramente alg\u00E9brico, os n\u00FAmeros complexos, com um elemento extra infinito, constituem um sistema conhecido como n\u00FAmeros complexos estendidos. Aritm\u00E9tica com o infinito n\u00E3o obedece todas as regras usuais da \u00E1lgebra, e assim os n\u00FAmeros complexos estendidos n\u00E3o formam um corpo. No entanto, a esfera de Riemann \u00E9 geom\u00E9trica e analiticamente bem estabelecida, at\u00E9 ao infinito, \u00E9 uma variedade complexa monodimensional, tamb\u00E9m chamado de superf\u00EDcie de Riemann. Em an\u00E1lise complexa, a esfera de Riemann facilita uma teoria elegante de fun\u00E7\u00F5es merom\u00F3rficas. A esfera de Riemann est\u00E1 presente na geometria projetiva e geometria alg\u00E9brica como um exemplo fundamental de uma variedade complexa, espa\u00E7o projetivo e variedade alg\u00E9brica. Ele tamb\u00E9m encontra utilidade em outras disciplinas que dependem de an\u00E1lise e geometria, como a mec\u00E2nica qu\u00E2ntica e outros ramos da f\u00EDsica."@pt . . "De riemann-sfeer, sfeer van Riemann of riemannbol is in de wiskunde een manier om het complexe vlak met een extra punt op oneindig uit te breiden, zodat anders onbepaalde uitdrukkingen als in bepaalde contexten een zinvolle betekenis krijgen. De riemann-sfeer is genoemd naar de 19e-eeuwse wiskundige Bernhard Riemann en wordt ook wel aangeduid als \n* De complexe projectieve lijn \n* Het uitgebreide complexe vlak of (de complexe getallen C verenigd met oneindig)."@nl . . . "En matem\u00E1tica, la esfera de Riemann (o plano complejo extendido), llamada as\u00ED en honor al matem\u00E1tico del siglo XIX Bernhard Riemann, es una esfera obtenida del plano complejo mediante la adici\u00F3n de un punto del infinito. La esfera es la representaci\u00F3n geom\u00E9trica de los n\u00FAmeros complejos extendidos, denotado como \u00F3 ,\u200B (v\u00E9ase fig.1 y fig.2), la cual consiste en los n\u00FAmeros complejos ordinarios en conjunci\u00F3n con el s\u00EDmbolo para representar el infinito."@es . "La kompleksa ebeno povas esti etendita per unu plia nombro . La modelo de la etendita kompleksa ebeno estas la 2-dimensia sfero, kaj oni nomas tiun modelon la . \u0108i tiun modelon oni ofte traktas kiel 1-dimensia . Ofte oni ne distingas inter Rimana sfero a\u016D etendita kompleksa ebeno (a\u016D etenditaj kompleksaj nombroj)."@eo . "\u0421\u0444\u0435\u0301\u0440\u0430 \u0420\u0438\u0301\u043C\u0430\u043D\u0430 \u2014 \u0440\u0438\u043C\u0430\u043D\u043E\u0432\u0430 \u043F\u043E\u0432\u0435\u0440\u0445\u043D\u043E\u0441\u0442\u044C, \u0435\u0441\u0442\u0435\u0441\u0442\u0432\u0435\u043D\u043D\u0430\u044F \u0441\u0442\u0440\u0443\u043A\u0442\u0443\u0440\u0430 \u043D\u0430 \u0440\u0430\u0441\u0448\u0438\u0440\u0435\u043D\u043D\u043E\u0439 \u043A\u043E\u043C\u043F\u043B\u0435\u043A\u0441\u043D\u043E\u0439 \u043F\u043B\u043E\u0441\u043A\u043E\u0441\u0442\u0438 , \u044F\u0432\u043B\u044F\u044E\u0449\u0430\u044F\u0441\u044F \u043A\u043E\u043C\u043F\u043B\u0435\u043A\u0441\u043D\u043E\u0439 \u043F\u0440\u043E\u0435\u043A\u0442\u0438\u0432\u043D\u043E\u0439 \u043F\u0440\u044F\u043C\u043E\u0439 .\u041A\u0430\u043A \u0432\u0435\u0449\u0435\u0441\u0442\u0432\u0435\u043D\u043D\u043E\u0435 \u0434\u0438\u0444\u0444\u0435\u0440\u0435\u043D\u0446\u0438\u0440\u0443\u0435\u043C\u043E\u0435 \u043C\u043D\u043E\u0433\u043E\u043E\u0431\u0440\u0430\u0437\u0438\u0435 \u0434\u0438\u0444\u0444\u0435\u043E\u043C\u043E\u0440\u0444\u043D\u0430 \u0434\u0432\u0443\u043C\u0435\u0440\u043D\u043E\u0439 \u0441\u0444\u0435\u0440\u0435 . \n* \u041C\u0435\u0434\u0438\u0430\u0444\u0430\u0439\u043B\u044B \u043D\u0430 \u0412\u0438\u043A\u0438\u0441\u043A\u043B\u0430\u0434\u0435"@ru . . . . . . . . . . "Sfera Riemanna lub p\u0142aszczyzna zespolona domkni\u0119ta \u2013 sfera otrzymana z p\u0142aszczyzny zespolonej przez dodanie punktu w niesko\u0144czono\u015Bci. Sfera jest geometryczn\u0105 prezentacj\u0105 rozszerzonego zbioru liczb zespolonych kt\u00F3ry zawiera wszystkie liczby zespolone oraz obiekt reprezentuj\u0105cy niesko\u0144czono\u015B\u0107 i oznaczany symbolem Nazwa pochodzi od matematyka z XIX wieku Bernharda Riemanna. W geometrii sfera Riemanna jest przyk\u0142adem powierzchni Riemanna i jedn\u0105 z najprostszych rozmaito\u015Bci zespolonych."@pl . "Sph\u00E8re de Riemann"@fr . . "Riemann sphere"@en . . . . "In mathematics, the Riemann sphere, named after Bernhard Riemann, is a model of the extended complex plane, the complex plane plus a point at infinity. This extended plane represents the extended complex numbers, that is, the complex numbers plus a value \u221E for infinity. With the Riemann model, the point \"\u221E\" is near to very large numbers, just as the point \"0\" is near to very small numbers. The extended complex plane is also called closed complex plane."@en . . . "En math\u00E9matiques, la sph\u00E8re de Riemann est une mani\u00E8re de prolonger le plan des nombres complexes avec un point additionnel \u00E0 l'infini, de mani\u00E8re que certaines expressions math\u00E9matiques deviennent convergentes et \u00E9l\u00E9gantes, du moins dans certains contextes. D\u00E9j\u00E0 envisag\u00E9e par le math\u00E9maticien Carl Friedrich Gauss, elle est baptis\u00E9e du nom de son \u00E9l\u00E8ve Bernhard Riemann. Ce plan s'appelle \u00E9galement la droite projective complexe, d\u00E9not\u00E9 ."@fr . "Riemannsf\u00E4ren"@sv . . "\u0421\u0444\u0435\u0440\u0430 \u0420\u0456\u043C\u0430\u043D\u0430 \u2014 \u0440\u0456\u043C\u0430\u043D\u043E\u0432\u0430 \u043F\u043E\u0432\u0435\u0440\u0445\u043D\u044F, \u043F\u0440\u0438\u0440\u043E\u0434\u043D\u044F \u0441\u0442\u0440\u0443\u043A\u0442\u0443\u0440\u0430 \u043D\u0430 \u0440\u043E\u0437\u0448\u0438\u0440\u0435\u043D\u0456\u0439 \u043A\u043E\u043C\u043F\u043B\u0435\u043A\u0441\u043D\u0456\u0439 \u043F\u043B\u043E\u0449\u0438\u043D\u0456 \u044F\u043A\u0430 \u0454 \u043A\u043E\u043C\u043F\u043B\u0435\u043A\u0441\u043D\u043E\u044E \u043F\u0440\u043E\u0435\u043A\u0442\u0438\u0432\u043D\u043E\u044E \u043F\u0440\u044F\u043C\u043E\u044E \u0406\u043D\u0448\u0438\u043C\u0438 \u0441\u043B\u043E\u0432\u0430\u043C\u0438 \u0446\u0435 \u043C\u043E\u0434\u0435\u043B\u044C \u0440\u043E\u0437\u0448\u0438\u0440\u0435\u043D\u043E\u0457 \u043A\u043E\u043C\u043F\u043B\u0435\u043A\u0441\u043D\u043E\u0457 \u043F\u043B\u043E\u0449\u0438\u043D\u0438, \u0434\u0435 \u0434\u043E \u0437\u0432\u0438\u0447\u0430\u0439\u043D\u043E\u0457 \u043A\u043E\u043C\u043F\u043B\u0435\u043A\u0441\u043D\u043E\u0457 \u043F\u043B\u043E\u0449\u0438\u043D\u0438 \u0434\u043E\u0434\u0430\u0454\u0442\u044C\u0441\u044F \u0442\u043E\u0447\u043A\u0430 \u043D\u0430 \u043D\u0435\u0441\u043A\u0456\u043D\u0447\u0435\u043D\u043D\u043E\u0441\u0442\u0456. \u0412\u0456\u0434\u043F\u043E\u0432\u0456\u0434\u043D\u043E \u0434\u043E \u043C\u043E\u0434\u0435\u043B\u0456 \u0420\u0456\u043C\u0430\u043D\u0430, \u0442\u043E\u0447\u043A\u0430 \u00AB\u221E\u00BB \u043D\u0430\u0431\u043B\u0438\u0436\u0430\u0454\u0442\u044C\u0441\u044F \u0434\u043E \u0434\u0443\u0436\u0435 \u0432\u0435\u043B\u0438\u043A\u0438\u0445 \u0447\u0438\u0441\u0435\u043B, \u0442\u0430\u043A \u0441\u0430\u043C\u043E \u044F\u043A \u0442\u043E\u0447\u043A\u0430 \u00AB0\u00BB \u0454 \u0431\u043B\u0438\u0437\u044C\u043A\u043E\u044E \u0434\u043E \u0434\u0443\u0436\u0435 \u043C\u0430\u043B\u0438\u0445 \u0447\u0438\u0441\u0435\u043B. \u042F\u043A \u0434\u0456\u0439\u0441\u043D\u0438\u0439 \u043C\u043D\u043E\u0433\u043E\u0432\u0438\u0434 \u0434\u0438\u0444\u0435\u043E\u043C\u043E\u0440\u0444\u043D\u0430 \u0434\u0432\u043E\u0432\u0438\u043C\u0456\u0440\u043D\u0456\u0439 \u0441\u0444\u0435\u0440\u0456"@uk . . . . . . "\u0421\u0444\u0435\u0440\u0430 \u0420\u0438\u043C\u0430\u043D\u0430"@ru . . . "Sfera di Riemann"@it . "\u03A3\u03C4\u03B1 \u03BC\u03B1\u03B8\u03B7\u03BC\u03B1\u03C4\u03B9\u03BA\u03AC, \u03B7 \u03C3\u03C6\u03B1\u03AF\u03C1\u03B1 \u03C4\u03BF\u03C5 Riemann, \u03B7 \u03BF\u03C0\u03BF\u03AF\u03B1 \u03C0\u03AE\u03C1\u03B5 \u03C4\u03BF \u03CC\u03BD\u03BF\u03BC\u03AC \u03C4\u03B7\u03C2 \u03B1\u03C0\u03CC \u03C4\u03BF\u03BD \u03BC\u03B1\u03B8\u03B7\u03BC\u03B1\u03C4\u03B9\u03BA\u03CC \u03C4\u03BF\u03C5 19\u03BF\u03C5 \u03B1\u03B9\u03CE\u03BD\u03B1 Bernhard Riemann, \u03B5\u03AF\u03BD\u03B1\u03B9 \u03AD\u03BD\u03B1 \u03BC\u03BF\u03BD\u03C4\u03AD\u03BB\u03BF \u03C4\u03BF\u03C5 \u03B5\u03C0\u03B5\u03BA\u03C4\u03B5\u03C4\u03B1\u03BC\u03AD\u03BD\u03BF\u03C5 \u03BC\u03B9\u03B3\u03B1\u03B4\u03B9\u03BA\u03BF\u03CD \u03B5\u03C0\u03B9\u03C0\u03AD\u03B4\u03BF\u03C5, \u03B4\u03B7\u03BB\u03B1\u03B4\u03AE \u03C4\u03BF\u03C5 \u03BC\u03B9\u03B3\u03B1\u03B4\u03B9\u03BA\u03BF\u03CD \u03B5\u03C0\u03B9\u03C0\u03AD\u03B4\u03BF\u03C5 \u03C3\u03C5\u03BC\u03C0\u03BB\u03B7\u03C1\u03C9\u03BC\u03AD\u03BD\u03BF\u03C5 \u03BC\u03B5 \u03AD\u03BD\u03B1 \u03C3\u03B7\u03BC\u03B5\u03AF\u03BF \u03C3\u03C4\u03BF \u03AC\u03C0\u03B5\u03B9\u03C1\u03BF. \u0391\u03C5\u03C4\u03CC \u03C4\u03BF \u03B5\u03C0\u03B5\u03BA\u03C4\u03B5\u03C4\u03B1\u03BC\u03AD\u03BD\u03BF \u03BC\u03B9\u03B3\u03B1\u03B4\u03B9\u03BA\u03CC \u03B5\u03C0\u03AF\u03C0\u03B5\u03B4\u03BF \u03B1\u03C0\u03B5\u03B9\u03BA\u03BF\u03BD\u03AF\u03B6\u03B5\u03B9 \u03C4\u03BF\u03C5\u03C2 \u03B5\u03C0\u03B5\u03BA\u03C4\u03B5\u03C4\u03B1\u03BC\u03AD\u03BD\u03BF\u03C5\u03C2 \u03BC\u03B9\u03B3\u03B1\u03B4\u03B9\u03BA\u03BF\u03CD\u03C2 \u03B1\u03C1\u03B9\u03B8\u03BC\u03BF\u03CD\u03C2, \u03BF\u03B9 \u03BF\u03C0\u03BF\u03AF\u03BF\u03B9 \u03B5\u03AF\u03BD\u03B1\u03B9 \u03BF\u03B9 \u03BC\u03B9\u03B3\u03B1\u03B4\u03B9\u03BA\u03BF\u03AF \u03B1\u03C1\u03B9\u03B8\u03BC\u03BF\u03AF \u03BC\u03B1\u03B6\u03AF \u03BC\u03B5 \u03C4\u03B7\u03BD \u03C4\u03B9\u03BC\u03AE \"\u221E\" \u03B3\u03B9\u03B1 \u03C4\u03BF \u03AC\u03C0\u03B5\u03B9\u03C1\u03BF. \u039C\u03B5 \u03C4\u03BF \u03BC\u03BF\u03BD\u03C4\u03AD\u03BB\u03BF \u03C4\u03BF\u03C5 Riemann, \u03C4\u03BF \u03C3\u03B7\u03BC\u03B5\u03AF\u03BF \"\u221E\" \u03B5\u03AF\u03BD\u03B1\u03B9 \u03BA\u03BF\u03BD\u03C4\u03AC \u03C3\u03C4\u03BF\u03C5\u03C2 \u03C0\u03BF\u03BB\u03CD \u03BC\u03B5\u03B3\u03AC\u03BB\u03BF\u03C5\u03C2 \u03B1\u03C1\u03B9\u03B8\u03BC\u03BF\u03CD\u03C2, \u03CC\u03C0\u03C9\u03C2 \u03C4\u03BF \u03C3\u03B7\u03BC\u03B5\u03AF\u03BF \"0\" \u03B5\u03AF\u03BD\u03B1\u03B9 \u03BA\u03BF\u03BD\u03C4\u03AC \u03C3\u03C4\u03BF\u03C5\u03C2 \u03C0\u03BF\u03BB\u03CD \u03BC\u03B9\u03BA\u03C1\u03BF\u03CD\u03C2 \u03B1\u03C1\u03B9\u03B8\u03BC\u03BF\u03CD\u03C2."@el . . . . "La kompleksa ebeno povas esti etendita per unu plia nombro . La modelo de la etendita kompleksa ebeno estas la 2-dimensia sfero, kaj oni nomas tiun modelon la . \u0108i tiun modelon oni ofte traktas kiel 1-dimensia . Ofte oni ne distingas inter Rimana sfero a\u016D etendita kompleksa ebeno (a\u016D etenditaj kompleksaj nombroj)."@eo . . . . . . "\u03A3\u03C4\u03B1 \u03BC\u03B1\u03B8\u03B7\u03BC\u03B1\u03C4\u03B9\u03BA\u03AC, \u03B7 \u03C3\u03C6\u03B1\u03AF\u03C1\u03B1 \u03C4\u03BF\u03C5 Riemann, \u03B7 \u03BF\u03C0\u03BF\u03AF\u03B1 \u03C0\u03AE\u03C1\u03B5 \u03C4\u03BF \u03CC\u03BD\u03BF\u03BC\u03AC \u03C4\u03B7\u03C2 \u03B1\u03C0\u03CC \u03C4\u03BF\u03BD \u03BC\u03B1\u03B8\u03B7\u03BC\u03B1\u03C4\u03B9\u03BA\u03CC \u03C4\u03BF\u03C5 19\u03BF\u03C5 \u03B1\u03B9\u03CE\u03BD\u03B1 Bernhard Riemann, \u03B5\u03AF\u03BD\u03B1\u03B9 \u03AD\u03BD\u03B1 \u03BC\u03BF\u03BD\u03C4\u03AD\u03BB\u03BF \u03C4\u03BF\u03C5 \u03B5\u03C0\u03B5\u03BA\u03C4\u03B5\u03C4\u03B1\u03BC\u03AD\u03BD\u03BF\u03C5 \u03BC\u03B9\u03B3\u03B1\u03B4\u03B9\u03BA\u03BF\u03CD \u03B5\u03C0\u03B9\u03C0\u03AD\u03B4\u03BF\u03C5, \u03B4\u03B7\u03BB\u03B1\u03B4\u03AE \u03C4\u03BF\u03C5 \u03BC\u03B9\u03B3\u03B1\u03B4\u03B9\u03BA\u03BF\u03CD \u03B5\u03C0\u03B9\u03C0\u03AD\u03B4\u03BF\u03C5 \u03C3\u03C5\u03BC\u03C0\u03BB\u03B7\u03C1\u03C9\u03BC\u03AD\u03BD\u03BF\u03C5 \u03BC\u03B5 \u03AD\u03BD\u03B1 \u03C3\u03B7\u03BC\u03B5\u03AF\u03BF \u03C3\u03C4\u03BF \u03AC\u03C0\u03B5\u03B9\u03C1\u03BF. \u0391\u03C5\u03C4\u03CC \u03C4\u03BF \u03B5\u03C0\u03B5\u03BA\u03C4\u03B5\u03C4\u03B1\u03BC\u03AD\u03BD\u03BF \u03BC\u03B9\u03B3\u03B1\u03B4\u03B9\u03BA\u03CC \u03B5\u03C0\u03AF\u03C0\u03B5\u03B4\u03BF \u03B1\u03C0\u03B5\u03B9\u03BA\u03BF\u03BD\u03AF\u03B6\u03B5\u03B9 \u03C4\u03BF\u03C5\u03C2 \u03B5\u03C0\u03B5\u03BA\u03C4\u03B5\u03C4\u03B1\u03BC\u03AD\u03BD\u03BF\u03C5\u03C2 \u03BC\u03B9\u03B3\u03B1\u03B4\u03B9\u03BA\u03BF\u03CD\u03C2 \u03B1\u03C1\u03B9\u03B8\u03BC\u03BF\u03CD\u03C2, \u03BF\u03B9 \u03BF\u03C0\u03BF\u03AF\u03BF\u03B9 \u03B5\u03AF\u03BD\u03B1\u03B9 \u03BF\u03B9 \u03BC\u03B9\u03B3\u03B1\u03B4\u03B9\u03BA\u03BF\u03AF \u03B1\u03C1\u03B9\u03B8\u03BC\u03BF\u03AF \u03BC\u03B1\u03B6\u03AF \u03BC\u03B5 \u03C4\u03B7\u03BD \u03C4\u03B9\u03BC\u03AE \"\u221E\" \u03B3\u03B9\u03B1 \u03C4\u03BF \u03AC\u03C0\u03B5\u03B9\u03C1\u03BF. \u039C\u03B5 \u03C4\u03BF \u03BC\u03BF\u03BD\u03C4\u03AD\u03BB\u03BF \u03C4\u03BF\u03C5 Riemann, \u03C4\u03BF \u03C3\u03B7\u03BC\u03B5\u03AF\u03BF \"\u221E\" \u03B5\u03AF\u03BD\u03B1\u03B9 \u03BA\u03BF\u03BD\u03C4\u03AC \u03C3\u03C4\u03BF\u03C5\u03C2 \u03C0\u03BF\u03BB\u03CD \u03BC\u03B5\u03B3\u03AC\u03BB\u03BF\u03C5\u03C2 \u03B1\u03C1\u03B9\u03B8\u03BC\u03BF\u03CD\u03C2, \u03CC\u03C0\u03C9\u03C2 \u03C4\u03BF \u03C3\u03B7\u03BC\u03B5\u03AF\u03BF \"0\" \u03B5\u03AF\u03BD\u03B1\u03B9 \u03BA\u03BF\u03BD\u03C4\u03AC \u03C3\u03C4\u03BF\u03C5\u03C2 \u03C0\u03BF\u03BB\u03CD \u03BC\u03B9\u03BA\u03C1\u03BF\u03CD\u03C2 \u03B1\u03C1\u03B9\u03B8\u03BC\u03BF\u03CD\u03C2. \u039F\u03B9 \u03B5\u03C0\u03B5\u03BA\u03C4\u03B5\u03C4\u03B1\u03BC\u03AD\u03BD\u03BF\u03B9 \u03BC\u03B9\u03B3\u03B1\u03B4\u03B9\u03BA\u03BF\u03AF \u03B1\u03C1\u03B9\u03B8\u03BC\u03BF\u03AF \u03B5\u03AF\u03BD\u03B1\u03B9 \u03C7\u03C1\u03AE\u03C3\u03B9\u03BC\u03BF\u03B9 \u03C3\u03C4\u03B7 \u03BC\u03B9\u03B3\u03B1\u03B4\u03B9\u03BA\u03AE \u03B1\u03BD\u03AC\u03BB\u03C5\u03C3\u03B7, \u03B4\u03B9\u03CC\u03C4\u03B9 \u03B5\u03C0\u03B9\u03C4\u03C1\u03AD\u03C0\u03BF\u03C5\u03BD \u03C3\u03B5 \u03BF\u03C1\u03B9\u03C3\u03BC\u03AD\u03BD\u03B5\u03C2 \u03C0\u03B5\u03C1\u03B9\u03C0\u03C4\u03CE\u03C3\u03B5\u03B9\u03C2 \u03C4\u03B7 \u03B4\u03B9\u03B1\u03AF\u03C1\u03B5\u03C3\u03B7 \u03BC\u03B5 \u03C4\u03BF \u03BC\u03B7\u03B4\u03AD\u03BD, \u03AD\u03C4\u03C3\u03B9 \u03CE\u03C3\u03C4\u03B5 \u03BD\u03B1 \u03B3\u03AF\u03BD\u03BF\u03BD\u03C4\u03B1\u03B9 \u03B4\u03B5\u03BA\u03C4\u03AD\u03C2 \u03C9\u03C2 \u03B1\u03BB\u03B7\u03B8\u03B5\u03AF\u03C2 \u03B5\u03BA\u03C6\u03C1\u03AC\u03C3\u03B5\u03B9\u03C2 \u03CC\u03C0\u03C9\u03C2 1/0 = \u221E. \u0393\u03B9\u03B1 \u03C0\u03B1\u03C1\u03AC\u03B4\u03B5\u03B9\u03B3\u03BC\u03B1, \u03BA\u03AC\u03B8\u03B5 \u03C1\u03B7\u03C4\u03AE \u03C3\u03C5\u03BD\u03AC\u03C1\u03C4\u03B7\u03C3\u03B7 \u03C4\u03BF\u03C5 \u03BC\u03B9\u03B3\u03B1\u03B4\u03B9\u03BA\u03BF\u03CD \u03B5\u03C0\u03B9\u03C0\u03AD\u03B4\u03BF\u03C5 \u03BC\u03C0\u03BF\u03C1\u03B5\u03AF \u03BD\u03B1 \u03B5\u03C0\u03B5\u03BA\u03C4\u03B1\u03B8\u03B5\u03AF \u03C3\u03B5 \u03BC\u03AF\u03B1 \u03C3\u03C5\u03BD\u03B5\u03C7\u03AE \u03C3\u03C5\u03BD\u03AC\u03C1\u03C4\u03B7\u03C3\u03B7 \u03C4\u03B7\u03C2 \u03C3\u03C6\u03B1\u03AF\u03C1\u03B1\u03C2 \u03C4\u03BF\u03C5 Riemann, \u03BC\u03B5 \u03C4\u03BF\u03C5\u03C2 \u03C0\u03CC\u03BB\u03BF\u03C5\u03C2 \u03C4\u03B7\u03C2 \u03BB\u03BF\u03B3\u03B9\u03BA\u03AE\u03C2 \u03C3\u03C5\u03BD\u03AC\u03C1\u03C4\u03B7\u03C3\u03B7\u03C2 \u03BD\u03B1 \u03B5\u03BD\u03C4\u03BF\u03C0\u03AF\u03B6\u03BF\u03BD\u03C4\u03B1\u03B9 \u03C3\u03C4\u03BF \u03AC\u03C0\u03B5\u03B9\u03C1\u03BF. \u0393\u03B5\u03BD\u03B9\u03BA\u03AC, \u03BA\u03AC\u03B8\u03B5 \u03BC\u03B5\u03C1\u03BF\u03BC\u03BF\u03C1\u03C6\u03B9\u03BA\u03AE \u03C3\u03C5\u03BD\u03AC\u03C1\u03C4\u03B7\u03C3\u03B7 \u03BC\u03C0\u03BF\u03C1\u03B5\u03AF \u03BD\u03B1 \u03B8\u03B5\u03C9\u03C1\u03B7\u03B8\u03B5\u03AF \u03C9\u03C2 \u03BC\u03AF\u03B1 \u03C3\u03C5\u03BD\u03B5\u03C7\u03AE\u03C2 \u03C3\u03C5\u03BD\u03AC\u03C1\u03C4\u03B7\u03C3\u03B7 \u03C4\u03B7\u03C2 \u03BF\u03C0\u03BF\u03AF\u03B1\u03C2 \u03C4\u03BF \u03B5\u03AF\u03BD\u03B1\u03B9 \u03B7 \u03C3\u03C6\u03B1\u03AF\u03C1\u03B1 \u03C4\u03BF\u03C5 Riemann. \u03A3\u03C4\u03B7 \u03B3\u03B5\u03C9\u03BC\u03B5\u03C4\u03C1\u03AF\u03B1, \u03B7 \u03C3\u03C6\u03B1\u03AF\u03C1\u03B1 \u03C4\u03BF\u03C5 Riemann \u03B5\u03AF\u03BD\u03B1\u03B9 \u03C4\u03BF \u03C0\u03C1\u03C9\u03C4\u03CC\u03C4\u03C5\u03C0\u03BF \u03C0\u03B1\u03C1\u03AC\u03B4\u03B5\u03B9\u03B3\u03BC\u03B1 \u03BC\u03B9\u03B1\u03C2 \u03B5\u03C0\u03B9\u03C6\u03AC\u03BD\u03B5\u03B9\u03B1\u03C2 Riemann \u03BA\u03B1\u03B9 \u03B5\u03AF\u03BD\u03B1\u03B9 \u03C4\u03BF \u03B1\u03C0\u03BB\u03BF\u03CD\u03C3\u03C4\u03B5\u03C1\u03BF \u03C0\u03B1\u03C1\u03AC\u03B4\u03B5\u03B9\u03B3\u03BC\u03B1 \u03BC\u03B9\u03B3\u03B1\u03B4\u03B9\u03BA\u03AE\u03C2 \u03C0\u03BF\u03BB\u03BB\u03B1\u03C0\u03BB\u03CC\u03C4\u03B7\u03C4\u03B1\u03C2. \u03A3\u03C4\u03B7\u03BD \u03C0\u03C1\u03BF\u03B2\u03BF\u03BB\u03B9\u03BA\u03AE \u03B3\u03B5\u03C9\u03BC\u03B5\u03C4\u03C1\u03AF\u03B1, \u03B7 \u03C3\u03C6\u03B1\u03AF\u03C1\u03B1 \u03BC\u03C0\u03BF\u03C1\u03B5\u03AF \u03BD\u03B1 \u03B8\u03B5\u03C9\u03C1\u03B7\u03B8\u03B5\u03AF \u03C9\u03C2 \u03B7 \u03BC\u03B9\u03B3\u03B1\u03B4\u03B9\u03BA\u03AE \u03C0\u03C1\u03BF\u03B2\u03BF\u03BB\u03B9\u03BA\u03AE \u03B5\u03C5\u03B8\u03B5\u03AF\u03B1 P1(C), \u03BF \u03C0\u03C1\u03BF\u03B2\u03BF\u03BB\u03B9\u03BA\u03CC\u03C2 \u03C7\u03CE\u03C1\u03BF\u03C2 \u03CC\u03BB\u03C9\u03BD \u03C4\u03C9\u03BD \u03BC\u03B9\u03B3\u03B1\u03B4\u03B9\u03BA\u03CE\u03BD \u03B5\u03C5\u03B8\u03B5\u03B9\u03CE\u03BD \u03C3\u03C4\u03BF C2. \u038C\u03C0\u03C9\u03C2 \u03BC\u03B5 \u03BA\u03AC\u03B8\u03B5 \u03C3\u03C5\u03BC\u03C0\u03B1\u03B3\u03AE\u03C2 \u03B5\u03C0\u03B9\u03C6\u03AC\u03BD\u03B5\u03B9\u03B1 Riemann, \u03B7 \u03C3\u03C6\u03B1\u03AF\u03C1\u03B1 \u03BC\u03C0\u03BF\u03C1\u03B5\u03AF \u03BD\u03B1 \u03B8\u03B5\u03C9\u03C1\u03B7\u03B8\u03B5\u03AF \u03C9\u03C2 \u03BC\u03AF\u03B1 \u03C0\u03C1\u03BF\u03B2\u03BF\u03BB\u03B9\u03BA\u03AE \u03B1\u03BB\u03B3\u03B5\u03B2\u03C1\u03B9\u03BA\u03AE \u03BA\u03B1\u03BC\u03C0\u03CD\u03BB\u03B7, \u03BA\u03B1\u03B8\u03B9\u03C3\u03C4\u03CE\u03BD\u03C4\u03B1\u03C2 \u03C4\u03B7\u03BD \u03C9\u03C2 \u03AD\u03BD\u03B1 \u03B8\u03B5\u03BC\u03B5\u03BB\u03B9\u03CE\u03B4\u03B5\u03C2 \u03C0\u03B1\u03C1\u03AC\u03B4\u03B5\u03B9\u03B3\u03BC\u03B1 \u03C4\u03B7\u03C2 \u03B1\u03BB\u03B3\u03B5\u03B2\u03C1\u03B9\u03BA\u03AE\u03C2 \u03B3\u03B5\u03C9\u03BC\u03B5\u03C4\u03C1\u03AF\u03B1\u03C2. \u0395\u03C0\u03AF\u03C3\u03B7\u03C2, \u03B5\u03AF\u03BD\u03B1\u03B9 \u03C7\u03C1\u03AE\u03C3\u03B9\u03BC\u03B7 \u03BA\u03B1\u03B9 \u03C3\u03B5 \u03AC\u03BB\u03BB\u03BF\u03C5\u03C2 \u03BA\u03BB\u03AC\u03B4\u03BF\u03C5\u03C2 \u03C0\u03BF\u03C5 \u03B2\u03B1\u03C3\u03AF\u03B6\u03BF\u03BD\u03C4\u03B1\u03B9 \u03C3\u03C4\u03B7\u03BD \u03B1\u03BD\u03AC\u03BB\u03C5\u03C3\u03B7 \u03BA\u03B1\u03B9 \u03C4\u03B7\u03BD \u03B3\u03B5\u03C9\u03BC\u03B5\u03C4\u03C1\u03AF\u03B1, \u03CC\u03C0\u03C9\u03C2 \u03B7 \u03BA\u03B2\u03B1\u03BD\u03C4\u03B9\u03BA\u03AE \u03BC\u03B7\u03C7\u03B1\u03BD\u03B9\u03BA\u03B7 \u03BA\u03B1\u03B9 \u03AC\u03BB\u03BB\u03BF\u03B9 \u03BA\u03BB\u03AC\u03B4\u03BF\u03B9 \u03C4\u03B7\u03C2 \u03C6\u03C5\u03C3\u03B9\u03BA\u03AE\u03C2."@el . . . . . . . . . "Riemannsche Zahlenkugel"@de . . "\u0641\u064A \u0627\u0644\u0631\u064A\u0627\u0636\u064A\u0627\u062A\u060C \u0643\u0631\u0629 \u0631\u064A\u0645\u0627\u0646\u060C \u0646\u0633\u0628\u0629 \u0625\u0644\u0649 \u0639\u064E\u0627\u0644\u0650\u0645 \u0627\u0644\u0631\u064A\u0627\u0636\u064A\u0627\u062A \u0627\u0644\u0634\u0647\u064A\u0631 \u0628\u064A\u0631\u0646\u0627\u0631\u062F \u0631\u064A\u0645\u0627\u0646\u060C \u0647\u064A \u0627\u0644\u0646\u0645\u0648\u0630\u062C \u0627\u0644\u0631\u064A\u0627\u0636\u064A \u0627\u0644\u0630\u064A \u064A\u0645\u0643\u0646 \u0645\u0646 \u0625\u0638\u0647\u0627\u0631 \u0627\u0644\u0645\u0633\u062A\u0648\u0649 \u0627\u0644\u0639\u0642\u062F\u064A \u0627\u0644\u0645\u0645\u062F\u062F (\u0627\u0644\u0645\u0633\u062A\u0648\u0649 \u0627\u0644\u0639\u0642\u062F\u064A \u0625\u0636\u0627\u0641\u0629 ) \u0628\u062D\u064A\u062B \u064A\u0628\u062F\u0648 \u0645\u0646 \u0646\u0642\u0637\u0629 \u0627\u0644\u0644\u0627\u0646\u0647\u0627\u064A\u0629 \u0645\u0645\u0627\u0626\u0644\u0627 \u0644\u0634\u0643\u0644\u0647 \u0639\u0646\u062F \u0623\u064A \u0639\u062F\u062F \u0639\u0642\u062F\u064A\u060C \u0628\u0627\u0644\u0630\u0627\u062A \u0628\u0627\u0644\u0646\u0633\u0628\u0629 ."@ar . . . . "p/r082010"@en . . . "Esfera de Riemann"@pt . . . . . . . . . . "Riemann-sfeer"@nl . "Esfera de Riemann"@ca . . . . . "Sfera Riemanna lub p\u0142aszczyzna zespolona domkni\u0119ta \u2013 sfera otrzymana z p\u0142aszczyzny zespolonej przez dodanie punktu w niesko\u0144czono\u015Bci. Sfera jest geometryczn\u0105 prezentacj\u0105 rozszerzonego zbioru liczb zespolonych kt\u00F3ry zawiera wszystkie liczby zespolone oraz obiekt reprezentuj\u0105cy niesko\u0144czono\u015B\u0107 i oznaczany symbolem Nazwa pochodzi od matematyka z XIX wieku Bernharda Riemanna. Rozszerzony zbi\u00F3r liczb zespolonych jest przydatny w analizie zespolonej, poniewa\u017C pozwala w pewnych przypadkach na dzielenie przez zero, tzn. wyra\u017Cenia takie jak maj\u0105 \u201Ewarto\u015B\u0107\u201D w zbiorze Na przyk\u0142ad ka\u017Cda funkcja wymierna na p\u0142aszczy\u017Anie zespolonej mo\u017Ce by\u0107 okre\u015Blona jako funkcja ci\u0105g\u0142a na sferze Riemanna, je\u015Bli biegunom tej funkcji przypiszemy warto\u015B\u0107 Bardziej og\u00F3lnie, ka\u017Cd\u0105 funkcj\u0119 meromorficzn\u0105 mo\u017Cna traktowa\u0107 jako funkcj\u0119 ci\u0105g\u0142\u0105, kt\u00F3rej przeciwdziedzin\u0105 jest sfera Riemanna. W geometrii sfera Riemanna jest przyk\u0142adem powierzchni Riemanna i jedn\u0105 z najprostszych rozmaito\u015Bci zespolonych."@pl . . "\u0643\u0631\u0629 \u0631\u064A\u0645\u0627\u0646"@ar . "In der Mathematik ist die riemannsche Zahlenkugel die riemannsche Fl\u00E4che, die sich aus der Hinzunahme eines Punktes in der Unendlichkeit zu der komplexen Ebene ergibt. Sie geht zur\u00FCck auf Bernhard Riemann. Weiter wird auf der riemannschen Zahlenkugel wie folgt eine Topologie definiert: Offene Mengen sind einerseits die offenen Mengen in und andererseits die bez\u00FCglich gebildeten Komplemente von kompakten Teilmengen von . Der so definierte topologische Raum stellt eine Kompaktifizierung der komplexen Ebene dar. Topologisch ist sie \u00E4quivalent zur Einheitssph\u00E4re . Mit der chordalen Metrik wird die Zahlenkugel zu einem metrischen Raum. Diese Metrik induziert die gleiche Topologie, die durch die Einpunktkompaktifizierung auf die Zahlenkugel induziert wird. Die komplexe Struktur der riemannschen Zahlenkugel wird durch zwei Karten gegeben. Die erste ist auf definiert und ist die Identit\u00E4t. Die zweite ist auf der Umgebung des unendlich fernen Punkts definiert durch Anschaulich handelt es sich um eine Kugel vom Radius 1, deren Nordpol auf (0,0,1) liegt (man darf die Kugel beliebig w\u00E4hlen, solange ihr Nordpol (0,0,1) ist). Dem unendlich fernen Punkt wird dieser Nordpol der Kugel zugeordnet und jedem Punkt der komplexen Zahlenebene der von verschiedene Schnittpunkt der Kugeloberfl\u00E4che mit der Geraden durch (stereografische Projektion). Die Automorphismen, also die biholomorphen Abbildungen der riemannschen Zahlenkugel auf sich selbst, bilden die Gruppe der M\u00F6biustransformationen."@de . . . "Komplexn\u00ED \u010D\u00EDslo lze zn\u00E1zornit na tzv. Riemannov\u011B kouli. Jedn\u00E1 se o kouli, kter\u00E1 se sv\u00FDm ji\u017En\u00EDm p\u00F3lem dot\u00FDk\u00E1 Gaussovy roviny v jej\u00EDm po\u010D\u00E1tku. Spojen\u00EDm libovoln\u00E9ho bodu Gaussovy roviny se severn\u00EDm p\u00F3lem Riemannovy koule dostaneme bod . P\u0159i\u0159azen\u00ED bod\u016F a je vz\u00E1jemn\u011B jednozna\u010Dn\u00E9. Severn\u00EDmu p\u00F3lu odpov\u00EDd\u00E1 nevlastn\u00ED bod ."@cs . "In der Mathematik ist die riemannsche Zahlenkugel die riemannsche Fl\u00E4che, die sich aus der Hinzunahme eines Punktes in der Unendlichkeit zu der komplexen Ebene ergibt. Sie geht zur\u00FCck auf Bernhard Riemann. Die komplexe Struktur der riemannschen Zahlenkugel wird durch zwei Karten gegeben. Die erste ist auf definiert und ist die Identit\u00E4t. Die zweite ist auf der Umgebung des unendlich fernen Punkts definiert durch Die Automorphismen, also die biholomorphen Abbildungen der riemannschen Zahlenkugel auf sich selbst, bilden die Gruppe der M\u00F6biustransformationen."@de . . . . . . . . . "Na matem\u00E1tica, a esfera de Riemann \u00E9 uma maneira de ampliar o plano de n\u00FAmeros complexos com um ponto no infinito adicional, de uma maneira que faz com que express\u00F5es como sejam bem adequadas e \u00FAteis, pelo menos em determinados contextos. \u00C9 nomeado devido ao matem\u00E1tico do s\u00E9culo XIX Bernhard Riemann. \u00C9 tamb\u00E9m chamada \n* complexa, notada , e \n* plano complexo estendido, notado ou ."@pt . . "En matem\u00E0tiques, l'esfera de Riemann (o pla complex est\u00E8s), que pren el nom del matem\u00E0tic del segle XIX Bernhard Riemann, \u00E9s una esfera que s'obt\u00E9 a partir del pla complex afegent-hi un . L'esfera \u00E9s la representaci\u00F3 geom\u00E8trica de l'extensi\u00F3 dels nombres complexos , que consisteix en els nombres complexos juntament amb el s\u00EDmbol que representa l'infinit. Aquesta extensi\u00F3 dels nombres complexos \u00E9s \u00FAtil en an\u00E0lisi complexa perqu\u00E8 permet la divisi\u00F3 per zero en certes condicions, d'una manera que fa que igualtats com tinguin un . Per exemple, qualsevol funci\u00F3 racional del pla complex es pot estendre a una funci\u00F3 cont\u00EDnua a l'esfera de Riemann, en la qual la imatge dels pols de la funci\u00F3 racional \u00E9s l'infinit. En general, qualsevol funci\u00F3 meromorfa es pot entendre com una funci\u00F3 cont\u00EDnua el codomini de la qual \u00E9s l'esfera de Riemann. En geometria, l'esfera de Riemann \u00E9s l'exemple protot\u00EDpic d'una superf\u00EDcie de Riemann i \u00E9s una de les varietats complexes m\u00E9s simples. En geometria projectiva, l'esfera pot veure's com la complexa , l'espai projectiu format per totes les de . Com la resta de superf\u00EDcies de Riemann compactes, l'esfera tamb\u00E9 es pot obtenir com a corba algebraica projectiva, que serveix com a exemple fonamental en la geometria algebraica. Tamb\u00E9 t\u00E9 utilitat en altres disciplines que depenen de l'an\u00E0lisi i la geometria, com ara la mec\u00E0nica qu\u00E0ntica i altres branques de la f\u00EDsica."@ca . . . . . . . "Riemannsf\u00E4ren \u00E4r ett matematiskt hj\u00E4lpmedel f\u00F6r att ut\u00F6ka det komplexa talplanet till att \u00E4ven innefatta en o\u00E4ndlighet. Sf\u00E4ren kan visualiseras som enhetssf\u00E4ren placerad i det komplexa talplanet och med dess centrum i origo. Punkterna p\u00E5 riemannsf\u00E4ren har en bijektiv avbildning p\u00E5 det komplexa talplanet. Om en r\u00E4t linje dras fr\u00E5n punkten (0, 0, 1) till punkten A i det komplexa talplanet, \u00E4r punktens avbildning P(A) linjens sk\u00E4rningspunkt med enhetssf\u00E4ren; se figur 1, d\u00E4r de sf\u00E4riska koordinaterna f\u00F6r avbildningen P(A) \u00E4r (1, \u03B8, \u03C6)."@sv . . "\u0421\u0444\u0435\u0440\u0430 \u0420\u0456\u043C\u0430\u043D\u0430"@uk . . . "En matem\u00E0tiques, l'esfera de Riemann (o pla complex est\u00E8s), que pren el nom del matem\u00E0tic del segle XIX Bernhard Riemann, \u00E9s una esfera que s'obt\u00E9 a partir del pla complex afegent-hi un . L'esfera \u00E9s la representaci\u00F3 geom\u00E8trica de l'extensi\u00F3 dels nombres complexos , que consisteix en els nombres complexos juntament amb el s\u00EDmbol que representa l'infinit."@ca . "\uB9AC\uB9CC \uAD6C"@ko . . . . . "Riemannsf\u00E4ren \u00E4r ett matematiskt hj\u00E4lpmedel f\u00F6r att ut\u00F6ka det komplexa talplanet till att \u00E4ven innefatta en o\u00E4ndlighet. Sf\u00E4ren kan visualiseras som enhetssf\u00E4ren placerad i det komplexa talplanet och med dess centrum i origo. Punkterna p\u00E5 riemannsf\u00E4ren har en bijektiv avbildning p\u00E5 det komplexa talplanet. Om en r\u00E4t linje dras fr\u00E5n punkten (0, 0, 1) till punkten A i det komplexa talplanet, \u00E4r punktens avbildning P(A) linjens sk\u00E4rningspunkt med enhetssf\u00E4ren; se figur 1, d\u00E4r de sf\u00E4riska koordinaterna f\u00F6r avbildningen P(A) \u00E4r (1, \u03B8, \u03C6). Alla punkter i talplanet kan entydigt avbildas p\u00E5 riemannsf\u00E4ren och omv\u00E4nt, med undantag av punkten (0, 0, 1) som inte har en avbildning p\u00E5 det komplexa talplanet. En punkt i talplanet som f\u00F6rflyttar sig bort fr\u00E5n origo, oavsett i vilken riktning, kommer att ha en avbildning p\u00E5 sf\u00E4ren som n\u00E4rmar sig punkten (0, 0, 1). Ju l\u00E4ngre bort fr\u00E5n origo punkten \u00E4r, desto n\u00E4rmare punkten (0, 0, 1) hamnar avbildningen p\u00E5 riemannsf\u00E4ren. Det utvidgade komplexa talplanet \u2102\u2019 kan t\u00E4nkas uppdelat i tv\u00E5 omr\u00E5den. Ett omr\u00E5de utg\u00F6rs av enhetscirkeln och alla komplexa tal som befinner sig innanf\u00F6r denna avbildas p\u00E5 riemannsf\u00E4rens undre halva och \u00F6vriga komplexa tal avbildas p\u00E5 dess \u00F6vre. Det komplexa talet B i figur 1 ligger inom enhetscirkeln i det komplexa talplanet och avbildas d\u00E4rf\u00F6r p\u00E5 riemannssf\u00E4rens undre halva. Punkten (0, 0, 0) (det komplexa talplanets origo) avbildas i P(0)."@sv . . "\uBCF5\uC18C\uD574\uC11D\uD559\uC5D0\uC11C, \uB9AC\uB9CC \uAD6C(Riemann\u7403, \uC601\uC5B4: Riemann sphere)\uB294 \uBCF5\uC18C \uAD6C\uC870\uB97C \uAC00\uC9C4 3\uCC28\uC6D0 \uAD6C\uC774\uB2E4. \uAE30\uD638\uB294 ."@ko . "\u0641\u064A \u0627\u0644\u0631\u064A\u0627\u0636\u064A\u0627\u062A\u060C \u0643\u0631\u0629 \u0631\u064A\u0645\u0627\u0646\u060C \u0646\u0633\u0628\u0629 \u0625\u0644\u0649 \u0639\u064E\u0627\u0644\u0650\u0645 \u0627\u0644\u0631\u064A\u0627\u0636\u064A\u0627\u062A \u0627\u0644\u0634\u0647\u064A\u0631 \u0628\u064A\u0631\u0646\u0627\u0631\u062F \u0631\u064A\u0645\u0627\u0646\u060C \u0647\u064A \u0627\u0644\u0646\u0645\u0648\u0630\u062C \u0627\u0644\u0631\u064A\u0627\u0636\u064A \u0627\u0644\u0630\u064A \u064A\u0645\u0643\u0646 \u0645\u0646 \u0625\u0638\u0647\u0627\u0631 \u0627\u0644\u0645\u0633\u062A\u0648\u0649 \u0627\u0644\u0639\u0642\u062F\u064A \u0627\u0644\u0645\u0645\u062F\u062F (\u0627\u0644\u0645\u0633\u062A\u0648\u0649 \u0627\u0644\u0639\u0642\u062F\u064A \u0625\u0636\u0627\u0641\u0629 ) \u0628\u062D\u064A\u062B \u064A\u0628\u062F\u0648 \u0645\u0646 \u0646\u0642\u0637\u0629 \u0627\u0644\u0644\u0627\u0646\u0647\u0627\u064A\u0629 \u0645\u0645\u0627\u0626\u0644\u0627 \u0644\u0634\u0643\u0644\u0647 \u0639\u0646\u062F \u0623\u064A \u0639\u062F\u062F \u0639\u0642\u062F\u064A\u060C \u0628\u0627\u0644\u0630\u0627\u062A \u0628\u0627\u0644\u0646\u0633\u0628\u0629 ."@ar . "\u0421\u0444\u0435\u0301\u0440\u0430 \u0420\u0438\u0301\u043C\u0430\u043D\u0430 \u2014 \u0440\u0438\u043C\u0430\u043D\u043E\u0432\u0430 \u043F\u043E\u0432\u0435\u0440\u0445\u043D\u043E\u0441\u0442\u044C, \u0435\u0441\u0442\u0435\u0441\u0442\u0432\u0435\u043D\u043D\u0430\u044F \u0441\u0442\u0440\u0443\u043A\u0442\u0443\u0440\u0430 \u043D\u0430 \u0440\u0430\u0441\u0448\u0438\u0440\u0435\u043D\u043D\u043E\u0439 \u043A\u043E\u043C\u043F\u043B\u0435\u043A\u0441\u043D\u043E\u0439 \u043F\u043B\u043E\u0441\u043A\u043E\u0441\u0442\u0438 , \u044F\u0432\u043B\u044F\u044E\u0449\u0430\u044F\u0441\u044F \u043A\u043E\u043C\u043F\u043B\u0435\u043A\u0441\u043D\u043E\u0439 \u043F\u0440\u043E\u0435\u043A\u0442\u0438\u0432\u043D\u043E\u0439 \u043F\u0440\u044F\u043C\u043E\u0439 .\u041A\u0430\u043A \u0432\u0435\u0449\u0435\u0441\u0442\u0432\u0435\u043D\u043D\u043E\u0435 \u0434\u0438\u0444\u0444\u0435\u0440\u0435\u043D\u0446\u0438\u0440\u0443\u0435\u043C\u043E\u0435 \u043C\u043D\u043E\u0433\u043E\u043E\u0431\u0440\u0430\u0437\u0438\u0435 \u0434\u0438\u0444\u0444\u0435\u043E\u043C\u043E\u0440\u0444\u043D\u0430 \u0434\u0432\u0443\u043C\u0435\u0440\u043D\u043E\u0439 \u0441\u0444\u0435\u0440\u0435 . \n* \u041C\u0435\u0434\u0438\u0430\u0444\u0430\u0439\u043B\u044B \u043D\u0430 \u0412\u0438\u043A\u0438\u0441\u043A\u043B\u0430\u0434\u0435"@ru . . . . . . . . . "\u6570\u5B66\u306B\u304A\u3044\u3066\u30EA\u30FC\u30DE\u30F3\u7403\u9762\uFF08\u30EA\u30FC\u30DE\u30F3\u304D\u3085\u3046\u3081\u3093\u3001\u82F1\u8A9E: Riemann sphere\uFF09\u306F\u3001\u7121\u9650\u9060\u70B9\u3092\u4E00\u70B9\u8FFD\u52A0\u3057\u3066\u8907\u7D20\u5E73\u9762\u3092\u62E1\u5F35\u3059\u308B\u4E00\u624B\u6CD5\u3067\u3042\u308A\u3001\u3053\u3053\u306B\u7121\u9650\u9060\u70B9 1/0 = \u221E \u306F\u3001\u5C11\u306A\u304F\u3068\u3082\u3042\u308B\u610F\u5473\u3067\u6574\u5408\u7684\u304B\u3064\u6709\u7528\u3067\u3042\u308B\u300219 \u4E16\u7D00\u306E\u6570\u5B66\u8005\u30D9\u30EB\u30F3\u30CF\u30EB\u30C8\u30FB\u30EA\u30FC\u30DE\u30F3\u304B\u3089\u540D\u4ED8\u3051\u3089\u308C\u305F\u3002\u3053\u308C\u306F\u307E\u305F\u3001\u4EE5\u4E0B\u306E\u901A\u308A\u306B\u3082\u547C\u3070\u308C\u308B\u3002 \n* \u8907\u7D20\u5C04\u5F71\u76F4\u7DDA\u3068\u8A00\u3044\u3001CP1 \u3068\u66F8\u304F\u3002 \n* \u62E1\u5F35\u8907\u7D20\u5E73\u9762\u3068\u8A00\u3044\u3001 \u307E\u305F\u306F C \u222A {\u221E} \u3068\u66F8\u304F\u3002 \u7D14\u4EE3\u6570\u7684\u306B\u306F\u3001\u7121\u9650\u9060\u70B9\u3092\u8FFD\u52A0\u3057\u305F\u8907\u7D20\u6570\u5168\u4F53\u306F\u3001\u62E1\u5F35\u8907\u7D20\u6570\u3068\u3057\u3066\u77E5\u3089\u308C\u308B\u6570\u4F53\u7CFB\u3092\u69CB\u6210\u3059\u308B\u3002\u7121\u9650\u3092\u4F34\u3046\u7B97\u8853\u306F\u3001\u901A\u5E38\u306E\u4EE3\u6570\u898F\u5247\u3059\u3079\u3066\u306B\u5F93\u3046\u8A33\u3067\u306F\u306A\u3044\u306E\u3067\u3001\u62E1\u5F35\u8907\u7D20\u6570\u5168\u4F53\u306F\u4F53\u3092\u69CB\u6210\u3057\u306A\u3044\u3002\u3057\u304B\u3057\u30EA\u30FC\u30DE\u30F3\u7403\u9762\u306F\u3001\u5E7E\u4F55\u5B66\u7684\u307E\u305F\u89E3\u6790\u5B66\u7684\u306B\u7121\u9650\u9060\u306B\u304A\u3044\u3066\u3055\u3048\u3082\u3088\u304F\u632F\u821E\u3044\u3001\u30EA\u30FC\u30DE\u30F3\u9762\u3068\u3082\u547C\u3070\u308C\u308B 1-\u6B21\u5143\u8907\u7D20\u591A\u69D8\u4F53\u3092\u306A\u3059\u3002 \u8907\u7D20\u89E3\u6790\u306B\u304A\u3044\u3066\u3001\u30EA\u30FC\u30DE\u30F3\u7403\u9762\u306F\u6709\u7406\u578B\u95A2\u6570\u306E\u6D17\u7DF4\u3055\u308C\u305F\u7406\u8AD6\u3067\u91CD\u8981\u306A\u5F79\u5272\u3092\u679C\u305F\u3059\u3002\u30EA\u30FC\u30DE\u30F3\u7403\u9762\u306F\u3001\u5C04\u5F71\u5E7E\u4F55\u5B66\u3084\u4EE3\u6570\u5E7E\u4F55\u5B66\u3067\u306F\u3001\u8907\u7D20\u591A\u69D8\u4F53\u3001\u5C04\u5F71\u7A7A\u9593\u3001\u4EE3\u6570\u591A\u69D8\u4F53\u306E\u6839\u6E90\u7684\u306A\u4E8B\u4F8B\u3068\u3057\u3066\u5E38\u306B\u767B\u5834\u3059\u308B\u3002\u30EA\u30FC\u30DE\u30F3\u7403\u9762\u306F\u307E\u305F\u3001\u91CF\u5B50\u529B\u5B66\u305D\u306E\u4ED6\u306E\u7269\u7406\u5B66\u306E\u5206\u91CE\u7B49\u3001\u89E3\u6790\u5B66\u3068\u5E7E\u4F55\u5B66\u306B\u4F9D\u5B58\u3059\u308B\u4ED6\u306E\u5B66\u554F\u5206\u91CE\u306B\u304A\u3044\u3066\u3082\u3001\u6709\u7528\u6027\u3092\u767A\u63EE\u3057\u3066\u3044\u308B\u3002"@ja . . . . "\uBCF5\uC18C\uD574\uC11D\uD559\uC5D0\uC11C, \uB9AC\uB9CC \uAD6C(Riemann\u7403, \uC601\uC5B4: Riemann sphere)\uB294 \uBCF5\uC18C \uAD6C\uC870\uB97C \uAC00\uC9C4 3\uCC28\uC6D0 \uAD6C\uC774\uB2E4. \uAE30\uD638\uB294 ."@ko . . . . . . .