. "Riemann\u016Fv (Riemann\u016Fv-Christoffel\u016Fv) tenzor k\u0159ivosti je geometrick\u00FD objekt, kter\u00FD umo\u017En\u00ED odli\u0161it ploch\u00FD prostoro\u010Das od zak\u0159iven\u00E9ho prostoro\u010Dasu. Jeho odvozen\u00ED spo\u010D\u00EDv\u00E1 v my\u0161lence vektoru. Riemann\u016Fv tenzor k\u0159ivosti lze pou\u017E\u00EDt k vyj\u00E1d\u0159en\u00ED k\u0159ivosti libovoln\u00E9 variety s afinn\u00ED konex\u00ED. Riemann\u016Fv tenzor k\u0159ivosti lze pova\u017Eovat z m\u00EDru nekomutativnosti kovariantn\u00EDch derivac\u00ED. Zak\u0159iven\u00EDm prostoru se rozum\u00ED odchylka jeho metriky od metriky eukleidovsk\u00E9ho prostoru. Riemann\u016Fv tenzor lze vyj\u00E1d\u0159it pomoc\u00ED afinn\u00EDch konex\u00ED a kovariantn\u00EDch derivac\u00ED jako:"@cs . . . "\uB9AC\uB9CC \uACE1\uB960 \uD150\uC11C"@ko . . . . . . . . . "De krommingstensor van Riemann, kortweg krommingstensor of riemann-tensor, is een belangrijk object in de differentiaalmeetkunde, de tak van de wiskunde, die gekromde oppervlakken en ruimten zoals pseudo-riemann-vari\u00EBteiten bestudeert. De krommingstensor geeft de mate aan, waarin een oppervlak of hogerdimensionale ruimte meetkundig verschilt van een pseudo-euclidische ruimte zoals een euclidische ruimte of de minkowski-ruimte (\"vlakke ruimten\"). Typische stellingen uit de euclidische meetkunde die niet langer opgaan in gekromde ruimten, zijn:"@nl . . "Tensor krzywizny Riemanna lub tensor Riemanna-Christoffela \u2013 najpowszechniejsza forma wyra\u017Cania krzywizny rozmaito\u015Bci riemannowskich. \u0141\u0105czy tensor z ka\u017Cdym punktem na rozmaito\u015Bci Riemanna (pole tensorowe), mierzy stopie\u0144 w jakim tensor metryczny nie jest lokalnie izometryczny do przestrzeni euklidesowej. Tensor krzywizny mo\u017Ce by\u0107 tak\u017Ce zdefiniowany dla rozmaito\u015Bci pseudoriemannowskiej lub ka\u017Cdej rozmaito\u015Bci wyposa\u017Conej w po\u0142\u0105czenie afiniczne. Tensor krzywizny otrzymujemy w terminologii po\u0142\u0105czenia Leviego-Civity przez formu\u0142\u0119: Formu\u0142\u0119 powy\u017Csz\u0105 mo\u017Cna te\u017C wyrazi\u0107 u\u017Cywaj\u0105c poj\u0119cia :"@pl . "Tensore di Riemann"@it . "En geometr\u00EDa diferencial, el tensor de curvatura de Riemann, o simplemente tensor de curvatura o tensor de Riemann, supone una generalizaci\u00F3n del concepto de curvatura de Gauss, definido para superficies, a variedades de dimensiones arbitrarias. Representa una medida de la separaci\u00F3n de la m\u00E9trica de la variedad respecto de la m\u00E9trica eucl\u00EDdea."@es . . . "Der riemannsche Kr\u00FCmmungstensor (k\u00FCrzer auch Riemanntensor, riemannsche Kr\u00FCmmung oder Kr\u00FCmmungstensor) beschreibt die Kr\u00FCmmung von R\u00E4umen beliebiger Dimension, genauer gesagt riemannscher oder pseudo-riemannscher Mannigfaltigkeiten. Er wurde nach dem Mathematiker Bernhard Riemann benannt und ist eines der wichtigsten Hilfsmittel der riemannschen Geometrie. Eine andere wichtige Anwendung findet er im Zusammenhang mit der Kr\u00FCmmung der Raumzeit in der allgemeinen Relativit\u00E4tstheorie."@de . . . . . "En g\u00E9om\u00E9trie riemannienne, le tenseur de courbure de Riemann-Christoffel est la fa\u00E7on la plus courante d'exprimer la courbure des vari\u00E9t\u00E9s riemanniennes, ou plus g\u00E9n\u00E9ralement d'une vari\u00E9t\u00E9 disposant d'une connexion affine, avec ou sans torsion."@fr . . . . "In the mathematical field of differential geometry, the Riemann curvature tensor or Riemann\u2013Christoffel tensor (after Bernhard Riemann and Elwin Bruno Christoffel) is the most common way used to express the curvature of Riemannian manifolds. It assigns a tensor to each point of a Riemannian manifold (i.e., it is a tensor field). It is a local invariant of Riemannian metrics which measures the failure of the second covariant derivatives to commute. A Riemannian manifold has zero curvature if and only if it is flat, i.e. locally isometric to the Euclidean space. The curvature tensor can also be defined for any pseudo-Riemannian manifold, or indeed any manifold equipped with an affine connection. It is a central mathematical tool in the theory of general relativity, the modern theory of gravity, and the curvature of spacetime is in principle observable via the geodesic deviation equation. The curvature tensor represents the tidal force experienced by a rigid body moving along a geodesic in a sense made precise by the Jacobi equation."@en . "Rimana kurbectensoro"@eo . "Riemann curvature tensor"@en . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . "\u0422\u0435\u043D\u0437\u043E\u0440 \u043A\u0440\u0438\u0432\u0438\u043D\u0438"@uk . . "\u03A3\u03C4\u03BF \u03BC\u03B1\u03B8\u03B7\u03BC\u03B1\u03C4\u03B9\u03BA\u03CC \u03C0\u03B5\u03B4\u03AF\u03BF \u03C4\u03B7\u03C2 \u03B4\u03B9\u03B1\u03C6\u03BF\u03C1\u03B9\u03BA\u03AE\u03C2 \u03B3\u03B5\u03C9\u03BC\u03B5\u03C4\u03C1\u03AF\u03B1\u03C2, \u03BF \u03C4\u03B1\u03BD\u03C5\u03C3\u03C4\u03AE\u03C2 \u03BA\u03B1\u03BC\u03C0\u03C5\u03BB\u03CC\u03C4\u03B7\u03C4\u03B1\u03C2 \u03A1\u03AF\u03BC\u03B1\u03BD (\u03AE \u03C4\u03B1\u03BD\u03C5\u03C3\u03C4\u03AE\u03C2 \u03A1\u03AF\u03BC\u03B1\u03BD\u2013\u039A\u03C1\u03AF\u03C3\u03C4\u03BF\u03C6\u03B5\u03BB) \u03B1\u03C0\u03CC \u03C4\u03BF\u03C5\u03C2 \u039C\u03C0\u03AD\u03C1\u03BD\u03B1\u03C1\u03BD\u03C4 \u03A1\u03AF\u03BC\u03B1\u03BD \u03BA\u03B1\u03B9 , \u03B5\u03AF\u03BD\u03B1\u03B9 \u03BF \u03C0\u03B9\u03BF \u03C3\u03C5\u03BD\u03B7\u03B8\u03B9\u03C3\u03BC\u03AD\u03BD\u03BF\u03C2 \u03C4\u03C1\u03CC\u03C0\u03BF\u03C2 \u03B3\u03B9\u03B1 \u03BD\u03B1 \u03B5\u03BA\u03C6\u03C1\u03B1\u03C3\u03C4\u03B5\u03AF \u03B7 \u03BA\u03B1\u03BC\u03C0\u03C5\u03BB\u03CC\u03C4\u03B7\u03C4\u03B1 \u03C3\u03C4\u03B9\u03C2 \u03C0\u03BF\u03BB\u03BB\u03B1\u03C0\u03BB\u03CC\u03C4\u03B7\u03C4\u03B5\u03C2 \u03A1\u03AF\u03BC\u03B1\u03BD. \u0391\u03C5\u03C4\u03CC\u03C2 \u03C3\u03C5\u03C3\u03C7\u03B5\u03C4\u03AF\u03B6\u03B5\u03B9 \u03AD\u03BD\u03B1\u03BD \u03C4\u03B1\u03BD\u03C5\u03C3\u03C4\u03AE \u03C3\u03B5 \u03BA\u03AC\u03B8\u03B5 \u03C3\u03B7\u03BC\u03B5\u03AF\u03BF \u03C4\u03B7\u03C2 \u03C0\u03BF\u03BB\u03BB\u03B1\u03C0\u03BB\u03CC\u03C4\u03B7\u03C4\u03B1\u03C2 \u03C4\u03BF\u03C5 \u03A1\u03AF\u03BC\u03B1\u03BD (\u03C0.\u03C7. \u03AD\u03BD\u03B1 \u03C4\u03B1\u03BD\u03C5\u03C3\u03C4\u03B9\u03BA\u03CC \u03C0\u03B5\u03B4\u03AF\u03BF), \u03C0\u03BF\u03C5 \u03BC\u03B5\u03C4\u03C1\u03AC\u03B5\u03B9 \u03C4\u03B7\u03BD \u03B5\u03C0\u03AD\u03BA\u03C4\u03B1\u03C3\u03B7 \u03C3\u03C4\u03B7\u03BD \u03BF\u03C0\u03BF\u03AF\u03B1 \u03BF \u03BC\u03B5\u03C4\u03C1\u03B9\u03BA\u03CC\u03C2 \u03C4\u03B1\u03BD\u03C5\u03C3\u03C4\u03AE\u03C2 \u03B4\u03B5\u03BD \u03B5\u03AF\u03BD\u03B1\u03B9 \u03C4\u03BF\u03C0\u03B9\u03BA\u03AC \u03B9\u03C3\u03BF\u03BC\u03B5\u03C4\u03C1\u03B9\u03BA\u03CC\u03C2 \u03C3\u03B5 \u03AD\u03BD\u03B1 \u0395\u03C5\u03BA\u03BB\u03B5\u03AF\u03B4\u03B9\u03BF \u03C7\u03CE\u03C1\u03BF. \u039F \u03C4\u03B1\u03BD\u03C5\u03C3\u03C4\u03AE\u03C2 \u03BA\u03B1\u03BC\u03C0\u03C5\u03BB\u03CC\u03C4\u03B7\u03C4\u03B1\u03C2 \u03BC\u03C0\u03BF\u03C1\u03B5\u03AF \u03B5\u03C0\u03AF\u03C3\u03B7\u03C2 \u03BD\u03B1 \u03C0\u03C1\u03BF\u03C3\u03B4\u03B9\u03BF\u03C1\u03B9\u03C3\u03C4\u03B5\u03AF \u03B3\u03B9\u03B1 \u03BA\u03AC\u03B8\u03B5 \u03C8\u03B5\u03C5\u03B4\u03BF-\u03C0\u03BF\u03BB\u03BB\u03B1\u03C0\u03BB\u03CC\u03C4\u03B7\u03C4\u03B1 \u03A1\u03AF\u03BC\u03B1\u03BD, \u03AE \u03BA\u03AC\u03B8\u03B5 \u03C0\u03BF\u03BB\u03BB\u03B1\u03C0\u03BB\u03CC\u03C4\u03B7\u03C4\u03B1 \u03C0\u03BF\u03C5 \u03AD\u03C7\u03B5\u03B9 \u03BC\u03AF\u03B1 \u03BF\u03BC\u03BF\u03C0\u03B1\u03C1\u03B1\u03BB\u03BB\u03B7\u03BB\u03B9\u03BA\u03AE \u03C3\u03CD\u03BD\u03B4\u03B5\u03C3\u03B7. \u0395\u03AF\u03BD\u03B1\u03B9 \u03BA\u03B5\u03BD\u03C4\u03C1\u03B9\u03BA\u03CC \u03BC\u03B1\u03B8\u03B7\u03BC\u03B1\u03C4\u03B9\u03BA\u03CC \u03B5\u03C1\u03B3\u03B1\u03BB\u03B5\u03AF\u03BF \u03C3\u03C4\u03B7 \u03B8\u03B5\u03C9\u03C1\u03AF\u03B1 \u03C4\u03B7\u03C2 \u03B3\u03B5\u03BD\u03B9\u03BA\u03AE \u03C3\u03C7\u03B5\u03C4\u03B9\u03BA\u03CC\u03C4\u03B7\u03C4\u03B1\u03C2, \u03C4\u03B7 \u03BC\u03BF\u03BD\u03C4\u03AD\u03C1\u03BD\u03B1 \u03B8\u03B5\u03C9\u03C1\u03AF\u03B1 \u03C4\u03B7\u03C2 \u03B2\u03B1\u03C1\u03CD\u03C4\u03B7\u03C4\u03B1\u03C2, \u03BA\u03B1\u03B9 \u03B7 \u03BA\u03B1\u03BC\u03C0\u03C5\u03BB\u03CC\u03C4\u03B7\u03C4\u03B1 \u03C4\u03BF\u03C5 \u03C7\u03C9\u03C1\u03BF\u03C7\u03C1\u03CC\u03BD\u03BF\u03C5 \u03C3\u03C4\u03B7 \u03B8\u03B5\u03C9\u03C1\u03AF\u03B1 \u03B5\u03AF\u03BD\u03B1\u03B9 \u03C0\u03B1\u03C1\u03B1\u03C4\u03B7\u03C1\u03AE\u03C3\u03B9\u03BC\u03B7 \u03BC\u03AD\u03C3\u03C9 \u03C4\u03B7\u03C2 \u03B5\u03BE\u03AF\u03C3\u03C9\u03C3\u03B7\u03C2 \u03C4\u03B7\u03C2 \u03B3\u03B5\u03C9\u03B4\u03B1\u03B9\u03C3\u03B9\u03B1\u03BA\u03AE\u03C2 \u03B1\u03C0\u03CC\u03BA\u03BB\u03B9\u03C3\u03B7\u03C2. \u039F \u03C4\u03B1\u03BD\u03C5\u03C3\u03C4\u03AE\u03C2 \u03BA\u03B1\u03BC\u03C0\u03C5\u03BB\u03CC\u03C4\u03B7\u03C4\u03B1\u03C2 \u03B1\u03BD\u03C4\u03B9\u03C0\u03C1\u03BF\u03C3\u03C9\u03C0\u03B5\u03CD\u03B5\u03B9 \u03C4\u03B7\u03BD \u03C0\u03B1\u03BB\u03B9\u03C1\u03C1\u03BF\u03B9\u03B1\u03BA\u03AE \u03B4\u03CD\u03BD\u03B1\u03BC\u03B7 \u03C0\u03BF\u03C5 \u03C5\u03C6\u03AF\u03C3\u03C4\u03B1\u03C4\u03B1\u03B9 \u03AD\u03BD\u03B1 \u03C3\u03C4\u03B5\u03C1\u03B5\u03CC \u03C3\u03CE\u03BC\u03B1 \u03C0\u03BF\u03C5 \u03BA\u03B9\u03BD\u03B5\u03AF\u03C4\u03B1\u03B9 \u03BA\u03B1\u03C4\u03AC \u03BC\u03AE\u03BA\u03BF\u03C2 \u03BC\u03B9\u03B1\u03C2 \u03B3\u03B5\u03C9\u03B4\u03B1\u03B9\u03C3\u03B9\u03B1\u03BA\u03AE\u03C2 \u03BA\u03B1\u03BC\u03C0\u03CD\u03BB\u03B7\u03C2 \u03BC\u03B5 \u03C4\u03C1\u03CC\u03C0\u03BF \u03C0\u03BF\u03C5 \u03C0\u03B5\u03C1\u03B9\u03B3\u03C1\u03AC\u03C6\u03B5\u03C4\u03B1\u03B9 \u03B1\u03C0\u03CC \u03C4\u03B7\u03BD \u03B5\u03BE\u03AF\u03C3\u03C9\u03C3\u03B7 \u03A4\u03B6\u03B1\u03BA\u03CC\u03BC\u03C0\u03B9. \u039F \u03C4\u03B1\u03BD\u03C5\u03C3\u03C4\u03AE\u03C2 \u03BA\u03B1\u03BC\u03C0\u03C5\u03BB\u03CC\u03C4\u03B7\u03C4\u03B1\u03C2 \u03B4\u03AF\u03BD\u03B5\u03C4\u03B1\u03B9 \u03C3\u03B5 \u03CC\u03C1\u03BF\u03C5\u03C2 \u03C3\u03CD\u03BD\u03B4\u03B5\u03C3\u03B7\u03C2 \u039B\u03AD\u03B2\u03B9-\u03A4\u03C3\u03AF\u03B2\u03B9\u03C4\u03B1 \u03B1\u03C0\u03CC \u03C4\u03BF\u03BD \u03B1\u03BA\u03CC\u03BB\u03BF\u03C5\u03B8\u03BF \u03C4\u03CD\u03C0\u03BF: \u03CC\u03C0\u03BF\u03C5 [u,v] \u03B5\u03AF\u03BD\u03B1\u03B9 \u03BF\u03B9 \"\u03B1\u03B3\u03BA\u03CD\u03BB\u03B5\u03C2 \u039B\u03AC\u03B9 (Lie)\" \u03C4\u03C9\u03BD \u03B4\u03B9\u03B1\u03BD\u03C5\u03C3\u03BC\u03B1\u03C4\u03B9\u03BA\u03CE\u03BD \u03C0\u03B5\u03B4\u03AF\u03C9\u03BD. \u0393\u03B9\u03B1 \u03BA\u03AC\u03B8\u03B5 \u03B6\u03B5\u03CD\u03B3\u03BF\u03C2 \u03B5\u03C6\u03B1\u03C0\u03C4\u03BF\u03BC\u03B5\u03BD\u03B9\u03BA\u03CE\u03BD \u03B4\u03B9\u03B1\u03BD\u03C5\u03C3\u03BC\u03AC\u03C4\u03C9\u03BD u \u03BA\u03B1\u03B9 v, R(u,v) \u03B5\u03AF\u03BD\u03B1\u03B9 \u03AD\u03BD\u03B1\u03C2 \u03B3\u03C1\u03B1\u03BC\u03BC\u03B9\u03BA\u03CC\u03C2 \u03BC\u03B5\u03C4\u03B1\u03C3\u03C7\u03B7\u03BC\u03B1\u03C4\u03B9\u03C3\u03BC\u03CC\u03C2 \u03C4\u03BF\u03C5 \u03B5\u03C6\u03B1\u03C0\u03C4\u03BF\u03BC\u03B5\u03BD\u03B9\u03BA\u03BF\u03CD \u03C7\u03CE\u03C1\u03BF\u03C5 \u03C4\u03B7\u03C2 \u03C0\u03BF\u03BB\u03BB\u03B1\u03C0\u03BB\u03CC\u03C4\u03B7\u03C4\u03B1\u03C2. \u0395\u03AF\u03BD\u03B1\u03B9 \u03B3\u03C1\u03B1\u03BC\u03BC\u03B9\u03BA\u03CC\u03C2 \u03C3\u03C4\u03B1 u and v, \u03AD\u03C4\u03C3\u03B9 \u03C0\u03C1\u03BF\u03C3\u03B4\u03B9\u03BF\u03C1\u03AF\u03B6\u03B5\u03B9 \u03AD\u03BD\u03B1\u03BD \u03C4\u03B1\u03BD\u03C5\u03C3\u03C4\u03AE. \u03A0\u03B5\u03C1\u03B9\u03C3\u03C4\u03B1\u03C3\u03B9\u03B1\u03BA\u03AC, \u03BF \u03C4\u03B1\u03BD\u03C5\u03C3\u03C4\u03AE\u03C2 \u03BA\u03B1\u03BC\u03C0\u03C5\u03BB\u03CC\u03C4\u03B7\u03C4\u03B1\u03C2 \u03C0\u03C1\u03BF\u03C3\u03B4\u03B9\u03BF\u03C1\u03AF\u03B6\u03B5\u03C4\u03B1\u03B9 \u03BC\u03B5 \u03B1\u03BD\u03C4\u03AF\u03B8\u03B5\u03C4\u03BF \u03C0\u03C1\u03CC\u03C3\u03B7\u03BC\u03BF. \u0391\u03BD \u03C4\u03B1 \u03BA\u03B1\u03B9 \u03B5\u03AF\u03BD\u03B1\u03B9 \u03B4\u03B9\u03B1\u03BD\u03C5\u03C3\u03BC\u03B1\u03C4\u03B9\u03BA\u03AC \u03C0\u03B5\u03B4\u03AF\u03B1 \u03C3\u03C5\u03BD\u03C4\u03B5\u03C4\u03B1\u03B3\u03BC\u03AD\u03BD\u03C9\u03BD \u03C4\u03CC\u03C4\u03B5 \u03BA\u03B1\u03B9 \u03C3\u03C5\u03BD\u03B5\u03C0\u03CE\u03C2 \u03BF \u03C4\u03CD\u03C0\u03BF\u03C2 \u03B1\u03C0\u03BB\u03BF\u03C0\u03BF\u03B9\u03B5\u03AF\u03C4\u03B1\u03B9 \u03C3\u03C4\u03BF\u03BD:"@el . . . "\u0420\u0438\u043C\u0430\u043D\u043E\u0432 \u0442\u0435\u043D\u0437\u043E\u0440 \u043A\u0440\u0438\u0432\u0438\u0437\u043D\u044B (\u0438\u043D\u043E\u0433\u0434\u0430 \u043D\u0430\u0437\u044B\u0432\u0430\u0435\u043C\u044B\u0439 \u0442\u0435\u043D\u0437\u043E\u0440\u043E\u043C \u043A\u0440\u0438\u0432\u0438\u0437\u043D\u044B \u0420\u0438\u043C\u0430\u043D\u0430 \u2014 \u041A\u0440\u0438\u0441\u0442\u043E\u0444\u0444\u0435\u043B\u044F) \u043F\u0440\u0435\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u043B\u044F\u0435\u0442 \u0441\u043E\u0431\u043E\u0439 \u0441\u0442\u0430\u043D\u0434\u0430\u0440\u0442\u043D\u044B\u0439 \u0441\u043F\u043E\u0441\u043E\u0431 \u0432\u044B\u0440\u0430\u0436\u0435\u043D\u0438\u044F \u043A\u0440\u0438\u0432\u0438\u0437\u043D\u044B \u0440\u0438\u043C\u0430\u043D\u043E\u0432\u044B\u0445 \u043C\u043D\u043E\u0433\u043E\u043E\u0431\u0440\u0430\u0437\u0438\u0439, \u0430 \u0432 \u043E\u0431\u0449\u0435\u043C \u0441\u043B\u0443\u0447\u0430\u0435 \u2014 \u043F\u0440\u043E\u0438\u0437\u0432\u043E\u043B\u044C\u043D\u044B\u0445 \u043C\u043D\u043E\u0433\u043E\u043E\u0431\u0440\u0430\u0437\u0438\u0439 \u0430\u0444\u0444\u0438\u043D\u043D\u043E\u0439 \u0441\u0432\u044F\u0437\u043D\u043E\u0441\u0442\u0438, \u0431\u0435\u0437 \u043A\u0440\u0443\u0447\u0435\u043D\u0438\u044F \u0438\u043B\u0438 \u0441 \u043A\u0440\u0443\u0447\u0435\u043D\u0438\u0435\u043C. \u041D\u0430\u0437\u0432\u0430\u043D \u0432 \u0447\u0435\u0441\u0442\u044C \u0411\u0435\u0440\u043D\u0445\u0430\u0440\u0434\u0430 \u0420\u0438\u043C\u0430\u043D\u0430."@ru . . . . "\u30EA\u30FC\u30DE\u30F3\u5E7E\u4F55\u5B66\u306B\u304A\u3044\u3066\u30EA\u30FC\u30DE\u30F3\u66F2\u7387\u30C6\u30F3\u30BD\u30EB\uFF08\u30EA\u30FC\u30DE\u30F3\u304D\u3087\u304F\u308A\u3064\u30C6\u30F3\u30BD\u30EB\u3001\u82F1: Riemann curvature tensor\uFF09\u3042\u308B\u3044\u306F\u30EA\u30FC\u30DE\u30F3-\u30AF\u30EA\u30B9\u30C8\u30C3\u30D5\u30A7\u30EB\u306E\u30C6\u30F3\u30BD\u30EB\uFF08\u82F1: Riemann\u2013Christoffel tensor\uFF09\u3068\u306F\u3001\u30EA\u30FC\u30DE\u30F3\u591A\u69D8\u4F53\u306E\u66F2\u7387\u3092\u8868\u30594\u968E\u306E\u30C6\u30F3\u30BD\u30EB\u3092\u8A00\u3046\u3002\u540D\u79F0\u306F\u3001\u30D9\u30EB\u30F3\u30CF\u30EB\u30C8\u30FB\u30EA\u30FC\u30DE\u30F3\u304A\u3088\u3073\u30A8\u30EB\u30A6\u30A3\u30F3\u30FB\u30D6\u30EB\u30FC\u30CE\u30FB\u30AF\u30EA\u30B9\u30C8\u30C3\u30D5\u30A7\u30EB\u306B\u56E0\u3080\u3002 \u30EA\u30FC\u30DE\u30F3-\u30AF\u30EA\u30B9\u30C8\u30C3\u30D5\u30A7\u30EB\u306E\u30C6\u30F3\u30BD\u30EB\uFF08\u30EA\u30FC\u30DE\u30F3\u66F2\u7387\u30C6\u30F3\u30BD\u30EB\uFF09\u306F\u91CD\u529B\u306E\u73FE\u4EE3\u7684\u7406\u8AD6\u3067\u3042\u308B\u4E00\u822C\u76F8\u5BFE\u6027\u7406\u8AD6\u306B\u304A\u3051\u308B\u6570\u5B66\u7684\u306A\u9053\u5177\u306E\u4E2D\u5FC3\u3068\u306A\u308B\u3082\u306E\u3067\u3042\u308B\u3002"@ja . "\u5728\u5FAE\u5206\u51E0\u4F55\u4E2D\uFF0C\u9ECE\u66FC\u66F2\u7387\u5F20\u91CF\u6216\u9ECE\u66FC\u5F35\u91CF\u662F\u8868\u8FBE\u9ECE\u66FC\u6D41\u5F62\u7684\u66F2\u7387\u7684\u6807\u51C6\u65B9\u5F0F\uFF0C\u66F4\u666E\u904D\u7684\uFF0C\u5B83\u53EF\u4EE5\u8868\u793A\u6709\u4EFF\u5C04\u8054\u7EDC\u7684\u6D41\u5F62\u7684\u66F2\u7387,\u5305\u62EC\u65E0\u626D\u7387\u6216\u6709\u6493\u7387\u7684\u3002\u66F2\u7387\u5F20\u91CF\u901A\u8FC7\u5217\u7EF4-\u5947\u7EF4\u5854\u8054\u7EDC(\u66F4\u4E00\u822C\u7684\uFF0C\u4E00\u4E2A\u4EFF\u5C04\u8054\u7EDC)(\u6216\u8005\u53EB\u534F\u53D8\u5BFC\u6570)\u7531\u4E0B\u5F0F\u7ED9\u51FA: \u8FD9\u91CC\u662F\u4E00\u4E2A\u6D41\u5F62\u5207\u7A7A\u95F4\u7684\u7EBF\u6027\u53D8\u6362\uFF1B\u5B83\u5BF9\u4E8E\u6BCF\u4E2A\u53C2\u6570\u90FD\u662F\u7EBF\u6027\u7684\u3002 \u6CE8\u610F\u6709\u4E9B\u4F5C\u8005\u7528\u76F8\u53CD\u7684\u7B26\u53F7\u5B9A\u4E49\u66F2\u7387. \u5982\u679C \u4E0E \u662F\u5750\u6807\u5411\u91CF\u573A\u5219\u6240\u4EE5\u516C\u5F0F\u7B80\u5316\u4E3A \u4E5F\u5C31\u662F\u8BF4\u66F2\u7387\u5F20\u91CF\u8861\u91CF\u534F\u53D8\u5BFC\u6570\u7684\u53CD\u4EA4\u6362\u6027\u3002 \u7EBF\u6027\u53D8\u6362\u4E5F\u79F0\u66F2\u7387\u53D8\u6362\u3002"@zh . . . "In the mathematical field of differential geometry, the Riemann curvature tensor or Riemann\u2013Christoffel tensor (after Bernhard Riemann and Elwin Bruno Christoffel) is the most common way used to express the curvature of Riemannian manifolds. It assigns a tensor to each point of a Riemannian manifold (i.e., it is a tensor field). It is a local invariant of Riemannian metrics which measures the failure of the second covariant derivatives to commute. A Riemannian manifold has zero curvature if and only if it is flat, i.e. locally isometric to the Euclidean space. The curvature tensor can also be defined for any pseudo-Riemannian manifold, or indeed any manifold equipped with an affine connection."@en . "Krommingstensor van Riemann"@nl . . "Riemannen kurbadura-tentsore"@eu . . . . . . "\u0422\u0435\u043D\u0437\u043E\u0440 \u0420\u0456\u043C\u0430\u043D\u0430 (\u0442\u0435\u043D\u0437\u043E\u0440 \u0432\u043D\u0443\u0442\u0440\u0456\u0448\u043D\u044C\u043E\u0457 \u043A\u0440\u0438\u0432\u0438\u043D\u0438 \u043C\u043D\u043E\u0433\u043E\u0432\u0438\u0434\u0430) \u0437'\u044F\u0432\u043B\u044F\u0454\u0442\u044C\u0441\u044F \u043F\u0440\u0438 \u0440\u043E\u0437\u0433\u043B\u044F\u0434\u0456 \u043A\u043E\u043C\u0443\u0442\u0430\u0442\u043E\u0440\u0430 \u043A\u043E\u0432\u0430\u0440\u0456\u0430\u043D\u0442\u043D\u0438\u0445 \u043F\u043E\u0445\u0456\u0434\u043D\u0438\u0445 \u043A\u043E\u0432\u0430\u0440\u0456\u0430\u043D\u0442\u043D\u043E\u0433\u043E \u0432\u0435\u043A\u0442\u043E\u0440\u0430 (\u0434\u0438\u0432\u0456\u0442\u044C\u0441\u044F \u0441\u0442\u0430\u0442\u0442\u044E \u0414\u0438\u0444\u0435\u0440\u0435\u043D\u0446\u0456\u0430\u043B\u044C\u043D\u0430 \u0433\u0435\u043E\u043C\u0435\u0442\u0440\u0456\u044F) \u0417\u0430\u043C\u0456\u0441\u0442\u044C \u043A\u043E\u0432\u0430\u0440\u0456\u0430\u043D\u0442\u043D\u0438\u0445 \u043A\u043E\u043C\u043F\u043E\u043D\u0435\u043D\u0442 \u043C\u043E\u0436\u043D\u0430 \u043F\u0456\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u0438\u0442\u0438 \u0431\u0430\u0437\u0438\u0441\u043D\u0456 \u0432\u0435\u043A\u0442\u043E\u0440\u0438 : \u0406 \u0432\u0440\u0430\u0445\u043E\u0432\u0443\u044E\u0447\u0438, \u0449\u043E \u043A\u043E\u0432\u0430\u0440\u0456\u0430\u043D\u0442\u043D\u0430 \u043F\u043E\u0445\u0456\u0434\u043D\u0430 \u0432\u0456\u0434 \u0431\u0430\u0437\u0438\u0441\u043D\u0438\u0445 \u0432\u0435\u043A\u0442\u043E\u0440\u0456\u0432 \u0434\u043E\u0440\u0456\u0432\u043D\u044E\u0454 \u0432\u0435\u043A\u0442\u043E\u0440\u0430\u043C \u043F\u043E\u0432\u043D\u043E\u0457 \u043A\u0440\u0438\u0432\u0438\u043D\u0438 (\u0434\u0438\u0432\u0456\u0442\u044C\u0441\u044F ), \u043C\u0430\u0454\u043C\u043E: \u0414\u043E\u043C\u043D\u043E\u0436\u0438\u043C\u043E \u0444\u043E\u0440\u043C\u0443\u043B\u0443 (3) \u0441\u043A\u0430\u043B\u044F\u0440\u043D\u043E \u043D\u0430 , i \u0432\u0440\u0430\u0445\u0443\u0454\u043C\u043E \u043E\u0440\u0442\u043E\u0433\u043E\u043D\u0430\u043B\u044C\u043D\u0456\u0441\u0442\u044C \u0432\u0435\u043A\u0442\u043E\u0440\u0456\u0432 \u043A\u0440\u0438\u0432\u0438\u043D\u0438 \u0434\u043E \u043C\u043D\u043E\u0433\u043E\u0432\u0438\u0434\u0443: . \u0412 \u0440\u0435\u0437\u0443\u043B\u044C\u0442\u0430\u0442\u0456 \u043E\u0434\u0435\u0440\u0436\u0443\u0454\u043C\u043E \u0444\u043E\u0440\u043C\u0443\u043B\u0443 \u0434\u043B\u044F \u043A\u043E\u0432\u0430\u0440\u0456\u0430\u043D\u0442\u043D\u0438\u0445 \u043A\u043E\u043C\u043F\u043E\u043D\u0435\u043D\u0442 \u0442\u0435\u043D\u0437\u043E\u0440\u0430 \u0420\u0456\u043C\u0430\u043D\u0430: \u0430\u0431\u043E \u043F\u0456\u0441\u043B\u044F \u0437\u043C\u0456\u043D\u0438 \u0437\u043D\u0430\u043A\u0443 \u0456 \u043F\u0435\u0440\u0435\u0439\u043C\u0435\u043D\u0443\u0432\u0430\u043D\u043D\u044F \u0456\u043D\u0434\u0435\u043A\u0441\u0456\u0432: \u042F\u043A \u043C\u043E\u0436\u043D\u0430 \u043F\u043E\u0431\u0430\u0447\u0438\u0442\u0438 \u0437 \u043E\u0441\u0442\u0430\u043D\u043D\u044C\u043E\u0433\u043E \u0440\u0456\u0432\u043D\u044F\u043D\u043D\u044F (\u0432 \u0441\u043A\u0430\u043B\u044F\u0440\u043D\u0438\u0445 \u0434\u043E\u0431\u0443\u0442\u043A\u0430\u0445 \u0456\u043D\u0434\u0435\u043A\u0441\u0438 \u0456 \u043F\u0435\u0440\u0435\u0441\u0442\u0430\u0432\u043B\u0435\u043D\u0456), \u0442\u0435\u043D\u0437\u043E\u0440 \u0420\u0456\u043C\u0430\u043D\u0430 \u0430\u043D\u0442\u0438\u0441\u0438\u043C\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u043D\u0438\u0439 \u0437\u0430 \u043F\u0435\u0440\u0448\u043E\u044E \u043F\u0430\u0440\u043E\u044E \u0456\u043D\u0434\u0435\u043A\u0441\u0456\u0432 \u0456 \u0437\u0430 \u0434\u0440\u0443\u0433\u043E\u044E \u043F\u0430\u0440\u043E\u044E \u0456\u043D\u0434\u0435\u043A\u0441\u0456\u0432 (\u043F\u0440\u0438 \u043F\u0435\u0440\u0435\u0441\u0442\u0430\u043D\u043E\u0432\u0446\u0456 \u0437\u043C\u0435\u043D\u0448\u0443\u0432\u0430\u043D\u0435 \u0456 \u0432\u0456\u0434'\u0454\u043C\u043D\u0438\u043A \u0443 \u043F\u0440\u0430\u0432\u0456\u0439 \u0447\u0430\u0441\u0442\u0438\u043D\u0456 \u0444\u043E\u0440\u043C\u0443\u043B\u0438 (4) \u043C\u0456\u043D\u044F\u044E\u0442\u044C\u0441\u044F \u043C\u0456\u0441\u0446\u044F\u043C\u0438): \u0422\u0430\u043A\u043E\u0436 \u043B\u0435\u0433\u043A\u043E \u0431\u0430\u0447\u0438\u0442\u0438, \u0449\u043E \u0442\u0435\u043D\u0437\u043E\u0440 \u0420\u0456\u043C\u0430\u043D\u0430 \u043D\u0435 \u0437\u043C\u0456\u043D\u044E\u0454\u0442\u044C\u0441\u044F \u043F\u0440\u0438 \u043F\u0435\u0440\u0435\u0441\u0442\u0430\u043D\u043E\u0432\u0446\u0456 \u043F\u0435\u0440\u0448\u043E\u0457 \u043F\u0430\u0440\u0438 \u0456\u043D\u0434\u0435\u043A\u0441\u0456\u0432 \u0437 \u0434\u0440\u0443\u0433\u043E\u044E \u043F\u0430\u0440\u043E\u044E \u0456\u043D\u0434\u0435\u043A\u0441\u0456\u0432 (\u043F\u0440\u0438 \u043F\u0435\u0440\u0435\u0441\u0442\u0430\u043D\u043E\u0432\u0446\u0456 \u0443 \u043C\u043D\u043E\u0436\u043D\u0438\u043A\u0430\u0445 \u0437\u043C\u0435\u043D\u0448\u0443\u0432\u0430\u043D\u043E\u0433\u043E \u0456\u043D\u0434\u0435\u043A\u0441\u0438 \u043F\u0435\u0440\u0435\u0441\u0442\u0430\u0432\u043B\u044F\u044E\u0442\u044C\u0441\u044F, \u0430\u043B\u0435 \u043E\u0441\u043A\u0456\u043B\u044C\u043A\u0438 \u0432\u0435\u043B\u0438\u0447\u0438\u043D\u0438 \u0441\u0438\u043C\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u043D\u0456 \u0437\u0430 \u0456\u043D\u0434\u0435\u043A\u0441\u0430\u043C\u0438, \u0442\u043E \u0441\u043A\u0430\u043B\u044F\u0440\u043D\u0438\u0439 \u0434\u043E\u0431\u0443\u0442\u043E\u043A \u0437\u043C\u0435\u043D\u0448\u0443\u0432\u0430\u043D\u043E\u0433\u043E \u043D\u0435 \u0437\u043C\u0456\u043D\u0438\u0442\u044C\u0441\u044F; \u0443 \u0432\u0456\u0434'\u0454\u043C\u043D\u0438\u043A\u0443 \u0430\u043D\u0430\u043B\u043E\u0433\u0456\u0447\u043D\u043E, \u0430\u043B\u0435 \u0441\u043F\u0456\u0432\u043C\u043D\u043E\u0436\u043D\u0438\u043A\u0438 \u0432 \u0441\u043A\u0430\u043B\u044F\u0440\u043D\u043E\u043C\u0443 \u0434\u043E\u0431\u0443\u0442\u043A\u0443 \u043C\u0456\u043D\u044F\u044E\u0442\u044C\u0441\u044F \u043C\u0456\u0441\u0446\u044F\u043C\u0438, \u0449\u043E \u043D\u0435 \u0432\u043F\u043B\u0438\u0432\u0430\u0454 \u043D\u0430 \u0440\u0435\u0437\u0443\u043B\u044C\u0442\u0430\u0442): \u0417\u0433\u043E\u0440\u0442\u043A\u0430 \u0442\u0435\u043D\u0437\u043E\u0440\u0430 \u0420\u0456\u043C\u0430\u043D\u0430 \u0437\u0430 \u043F\u0435\u0440\u0448\u0438\u043C \u0456 \u0442\u0440\u0435\u0442\u0456\u043C \u0456\u043D\u0434\u0435\u043A\u0441\u0430\u043C\u0438 (\u0430\u0431\u043E, \u0449\u043E \u0435\u043A\u0432\u0456\u0432\u0430\u043B\u0435\u043D\u0442\u043D\u043E, \u0437\u0430 \u0434\u0440\u0443\u0433\u0438\u043C \u0456 \u0447\u0435\u0442\u0432\u0435\u0440\u0442\u0438\u043C \u0456\u043D\u0434\u0435\u043A\u0441\u0430\u043C\u0438) \u0434\u0430\u0454 \u0441\u0438\u043C\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u043D\u0438\u0439 \u0442\u0435\u043D\u0437\u043E\u0440 \u0434\u0440\u0443\u0433\u043E\u0433\u043E \u0440\u0430\u043D\u0433\u0443 , \u044F\u043A\u0438\u0439 \u043D\u0430\u0437\u0438\u0432\u0430\u0454\u0442\u044C\u0441\u044F \u0442\u0435\u043D\u0437\u043E\u0440\u043E\u043C \u0420\u0456\u0447\u0447\u0456: \u0422\u0435\u043D\u0437\u043E\u0440 \u0420\u0456\u0447\u0447\u0456 \u0441\u0438\u043C\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u043D\u0438\u0439: \u0422\u0435\u043D\u0437\u043E\u0440 \u0420\u0456\u0447\u0447\u0456 \u043C\u043E\u0436\u043D\u0430 \u0442\u0430\u043A\u043E\u0436 \u0437\u0433\u043E\u0440\u043D\u0443\u0442\u0438 \u0437\u0430 \u0456\u043D\u0434\u0435\u043A\u0441\u0430\u043C\u0438, \u043E\u0434\u0435\u0440\u0436\u0430\u0432\u0448\u0438 \u0441\u043A\u0430\u043B\u044F\u0440\u043D\u0443 \u043A\u0440\u0438\u0432\u0438\u043D\u0443: \u0412\u0440\u0430\u0445\u043E\u0432\u0443\u044E\u0447\u0438 (4), \u043C\u0430\u0454\u043C\u043E: \u041A\u043E\u043C\u0443\u0442\u0430\u0442\u043E\u0440 \u0434\u043B\u044F \u043A\u043E\u043D\u0442\u0440\u0430\u0432\u0430\u0440\u0456\u0430\u043D\u0442\u043D\u043E\u0433\u043E \u0432\u0435\u043A\u043E\u0440\u0430 \u043E\u0434\u0435\u0440\u0436\u0443\u0454\u043C\u043E, \u043F\u0456\u0434\u043D\u044F\u0432\u0448\u0438 \u0456\u043D\u0434\u0435\u043A\u0441 \u0443 \u0444\u043E\u0440\u043C\u0443\u043B\u0456 (1): \u041E\u0441\u043A\u0456\u043B\u044C\u043A\u0438 \u043A\u043E\u043C\u0443\u0442\u0430\u0442\u043E\u0440 \u043A\u043E\u0432\u0430\u0440\u0456\u0430\u043D\u0442\u043D\u0438\u0445 \u043F\u043E\u0445\u0456\u0434\u043D\u0438\u0445 \u0434\u0456\u0454 \u043D\u0430 \u0434\u043E\u0431\u0443\u0442\u043E\u043A \u0442\u0435\u043D\u0437\u043E\u0440\u0456\u0432 \u0437\u0430 \u043F\u0440\u0430\u0432\u0438\u043B\u043E\u043C \u0434\u0438\u0444\u0435\u0440\u0435\u043D\u0446\u0456\u0430\u043B\u044C\u043D\u043E\u0433\u043E \u043E\u043F\u0435\u0440\u0430\u0442\u043E\u0440\u0430: \u0442\u043E \u043C\u0438 \u043C\u043E\u0436\u0435\u043C\u043E, \u043A\u043E\u0440\u0438\u0441\u0442\u0443\u044E\u0447\u0438\u0441\u044C \u0444\u043E\u0440\u043C\u0443\u043B\u0430\u043C\u0438 (1) \u0456 (11), \u043E\u0431\u0447\u0438\u0441\u043B\u0438\u0442\u0438 \u0434\u0456\u044E \u043A\u043E\u043C\u0443\u0442\u0430\u0442\u043E\u0440\u0430 \u043A\u043E\u0432\u0430\u0440\u0456\u0430\u043D\u0442\u043D\u0438\u0445 \u043F\u043E\u0445\u0456\u0434\u043D\u0438\u0445 \u043D\u0430 \u0442\u0435\u043D\u0437\u043E\u0440, \u044F\u043A\u0438\u0439 \u0454 \u0434\u043E\u0431\u0443\u0442\u043A\u043E\u043C \u0432\u0435\u043A\u0442\u043E\u0440\u0456\u0432. \u0410\u043B\u0435 \u0434\u043E\u0432\u0456\u043B\u044C\u043D\u0438\u0439 \u0442\u0435\u043D\u0437\u043E\u0440 \u043C\u043E\u0436\u043D\u0430 \u043F\u0440\u0435\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u0438\u0442\u0438 \u043B\u0456\u043D\u0456\u0439\u043D\u043E\u044E \u043A\u043E\u043C\u0431\u0456\u043D\u0430\u0446\u0456\u0454\u044E \u0442\u0430\u043A\u0438\u0445 \u0435\u043B\u0435\u043C\u0435\u043D\u0442\u0430\u0440\u043D\u0438\u0445 \u0442\u0435\u043D\u0437\u043E\u0440\u0456\u0432, \u0442\u043E\u043C\u0443 \u043F\u0440\u0438 \u0434\u0456\u0457 \u043A\u043E\u043C\u0443\u0442\u0430\u0442\u043E\u0440\u0430 \u043D\u0430 \u0434\u043E\u0432\u0456\u043B\u044C\u043D\u0438\u0439 \u0442\u0435\u043D\u0437\u043E\u0440 \u0437 \u0431\u0443\u0434\u044C-\u044F\u043A\u043E\u044E \u043A\u0456\u043B\u044C\u043A\u0456\u0441\u0442\u044E \u0432\u0435\u0440\u0445\u043D\u0456\u0445 \u0442\u0430 \u043D\u0438\u0436\u043D\u0456\u0445 \u0456\u043D\u0434\u0435\u043A\u0441\u0456\u0432, \u043C\u0430\u0454\u043C\u043E: \u0422\u0435\u043D\u0437\u043E\u0440 \u0420\u0456\u043C\u0430\u043D\u0430 \u0437\u0430\u0434\u043E\u0432\u043E\u043B\u044C\u043D\u044F\u0454 \u0434\u0432\u0456 \u0442\u043E\u0442\u043E\u0436\u043D\u043E\u0441\u0442\u0456 \u0411\u0456\u0430\u043D\u043A\u0456. \u0410\u043B\u0433\u0435\u0431\u0440\u0430\u0457\u0447\u043D\u0430 \u0442\u043E\u0442\u043E\u0436\u043D\u0456\u0441\u0442\u044C \u0411\u0456\u0430\u043D\u043A\u0456 (\u0446\u0438\u043A\u043B\u0456\u0447\u043D\u0430 \u043F\u0435\u0440\u0435\u0441\u0442\u0430\u043D\u043E\u0432\u043A\u0430 \u0456\u043D\u0434\u0435\u043A\u0441\u0456\u0432 ): \u0414\u0438\u0444\u0435\u0440\u0435\u043D\u0446\u0456\u0430\u043B\u044C\u043D\u0430 \u0442\u043E\u0442\u043E\u0436\u043D\u0456\u0441\u0442\u044C \u0411\u0456\u0430\u043D\u043A\u0456 (\u0446\u0438\u043A\u043B\u0456\u0447\u043D\u0430 \u043F\u0435\u0440\u0435\u0441\u0442\u0430\u043D\u043E\u0432\u043A\u0430 \u0456\u043D\u0434\u0435\u043A\u0441\u0456\u0432 ):"@uk . "130526"^^ . . "\u0420\u0438\u043C\u0430\u043D\u043E\u0432 \u0442\u0435\u043D\u0437\u043E\u0440 \u043A\u0440\u0438\u0432\u0438\u0437\u043D\u044B (\u0438\u043D\u043E\u0433\u0434\u0430 \u043D\u0430\u0437\u044B\u0432\u0430\u0435\u043C\u044B\u0439 \u0442\u0435\u043D\u0437\u043E\u0440\u043E\u043C \u043A\u0440\u0438\u0432\u0438\u0437\u043D\u044B \u0420\u0438\u043C\u0430\u043D\u0430 \u2014 \u041A\u0440\u0438\u0441\u0442\u043E\u0444\u0444\u0435\u043B\u044F) \u043F\u0440\u0435\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u043B\u044F\u0435\u0442 \u0441\u043E\u0431\u043E\u0439 \u0441\u0442\u0430\u043D\u0434\u0430\u0440\u0442\u043D\u044B\u0439 \u0441\u043F\u043E\u0441\u043E\u0431 \u0432\u044B\u0440\u0430\u0436\u0435\u043D\u0438\u044F \u043A\u0440\u0438\u0432\u0438\u0437\u043D\u044B \u0440\u0438\u043C\u0430\u043D\u043E\u0432\u044B\u0445 \u043C\u043D\u043E\u0433\u043E\u043E\u0431\u0440\u0430\u0437\u0438\u0439, \u0430 \u0432 \u043E\u0431\u0449\u0435\u043C \u0441\u043B\u0443\u0447\u0430\u0435 \u2014 \u043F\u0440\u043E\u0438\u0437\u0432\u043E\u043B\u044C\u043D\u044B\u0445 \u043C\u043D\u043E\u0433\u043E\u043E\u0431\u0440\u0430\u0437\u0438\u0439 \u0430\u0444\u0444\u0438\u043D\u043D\u043E\u0439 \u0441\u0432\u044F\u0437\u043D\u043E\u0441\u0442\u0438, \u0431\u0435\u0437 \u043A\u0440\u0443\u0447\u0435\u043D\u0438\u044F \u0438\u043B\u0438 \u0441 \u043A\u0440\u0443\u0447\u0435\u043D\u0438\u0435\u043C. \u041D\u0430\u0437\u0432\u0430\u043D \u0432 \u0447\u0435\u0441\u0442\u044C \u0411\u0435\u0440\u043D\u0445\u0430\u0440\u0434\u0430 \u0420\u0438\u043C\u0430\u043D\u0430."@ru . "Tensor krzywizny Riemanna lub tensor Riemanna-Christoffela \u2013 najpowszechniejsza forma wyra\u017Cania krzywizny rozmaito\u015Bci riemannowskich. \u0141\u0105czy tensor z ka\u017Cdym punktem na rozmaito\u015Bci Riemanna (pole tensorowe), mierzy stopie\u0144 w jakim tensor metryczny nie jest lokalnie izometryczny do przestrzeni euklidesowej. Tensor krzywizny mo\u017Ce by\u0107 tak\u017Ce zdefiniowany dla rozmaito\u015Bci pseudoriemannowskiej lub ka\u017Cdej rozmaito\u015Bci wyposa\u017Conej w po\u0142\u0105czenie afiniczne. Stanowi g\u0142\u00F3wne narz\u0119dzie matematyczne w og\u00F3lnej teorii wzgl\u0119dno\u015Bci, nowoczesnych teoriach grawitacji, krzywizny czasoprzestrzeni. Tensor krzywizny reprezentuje si\u0142y p\u0142ywowe, kt\u00F3rych do\u015Bwiadcza sztywne cia\u0142o poruszaj\u0105ce si\u0119 wzd\u0142u\u017C linii geodezyjnej czasoprzestrzeni w sensie sprecyzowanym przez . Tensor krzywizny otrzymujemy w terminologii po\u0142\u0105czenia Leviego-Civity przez formu\u0142\u0119: gdzie to nawias Liego p\u00F3l wektorowych. Dla ka\u017Cdej pary wektor\u00F3w stycznych istnieje liniowa transformacja przestrzeni stycznej rozmaito\u015Bci. Jest liniowa w i oraz definiuje tensor. Czasami tensor krzywizny jest zdefiniowany z przeciwnym znakiem. Formu\u0142\u0119 powy\u017Csz\u0105 mo\u017Cna te\u017C wyrazi\u0107 u\u017Cywaj\u0105c poj\u0119cia : kt\u00F3ra jest tak\u017Ce liniowa w i W\u00F3wczas: Tensor krzywizny po\u0142\u0105czenia Levi-Civity mierzy wi\u0119c nieprzemienno\u015B\u0107 drugiej pochodnej kowariantnej. Jego nieznikanie stanowi przeszkod\u0119 dla istnienia izometrii z przestrzeni\u0105 euklidesow\u0105 (nazywan\u0105 w tym przypadku p\u0142ask\u0105). Liniowa transformacja jest r\u00F3wnie\u017C nazywana transformacj\u0105 (lub endomorfizmem) krzywizny."@pl . "Tensor de curvatura"@es . . . "\u03A3\u03C4\u03BF \u03BC\u03B1\u03B8\u03B7\u03BC\u03B1\u03C4\u03B9\u03BA\u03CC \u03C0\u03B5\u03B4\u03AF\u03BF \u03C4\u03B7\u03C2 \u03B4\u03B9\u03B1\u03C6\u03BF\u03C1\u03B9\u03BA\u03AE\u03C2 \u03B3\u03B5\u03C9\u03BC\u03B5\u03C4\u03C1\u03AF\u03B1\u03C2, \u03BF \u03C4\u03B1\u03BD\u03C5\u03C3\u03C4\u03AE\u03C2 \u03BA\u03B1\u03BC\u03C0\u03C5\u03BB\u03CC\u03C4\u03B7\u03C4\u03B1\u03C2 \u03A1\u03AF\u03BC\u03B1\u03BD (\u03AE \u03C4\u03B1\u03BD\u03C5\u03C3\u03C4\u03AE\u03C2 \u03A1\u03AF\u03BC\u03B1\u03BD\u2013\u039A\u03C1\u03AF\u03C3\u03C4\u03BF\u03C6\u03B5\u03BB) \u03B1\u03C0\u03CC \u03C4\u03BF\u03C5\u03C2 \u039C\u03C0\u03AD\u03C1\u03BD\u03B1\u03C1\u03BD\u03C4 \u03A1\u03AF\u03BC\u03B1\u03BD \u03BA\u03B1\u03B9 , \u03B5\u03AF\u03BD\u03B1\u03B9 \u03BF \u03C0\u03B9\u03BF \u03C3\u03C5\u03BD\u03B7\u03B8\u03B9\u03C3\u03BC\u03AD\u03BD\u03BF\u03C2 \u03C4\u03C1\u03CC\u03C0\u03BF\u03C2 \u03B3\u03B9\u03B1 \u03BD\u03B1 \u03B5\u03BA\u03C6\u03C1\u03B1\u03C3\u03C4\u03B5\u03AF \u03B7 \u03BA\u03B1\u03BC\u03C0\u03C5\u03BB\u03CC\u03C4\u03B7\u03C4\u03B1 \u03C3\u03C4\u03B9\u03C2 \u03C0\u03BF\u03BB\u03BB\u03B1\u03C0\u03BB\u03CC\u03C4\u03B7\u03C4\u03B5\u03C2 \u03A1\u03AF\u03BC\u03B1\u03BD. \u0391\u03C5\u03C4\u03CC\u03C2 \u03C3\u03C5\u03C3\u03C7\u03B5\u03C4\u03AF\u03B6\u03B5\u03B9 \u03AD\u03BD\u03B1\u03BD \u03C4\u03B1\u03BD\u03C5\u03C3\u03C4\u03AE \u03C3\u03B5 \u03BA\u03AC\u03B8\u03B5 \u03C3\u03B7\u03BC\u03B5\u03AF\u03BF \u03C4\u03B7\u03C2 \u03C0\u03BF\u03BB\u03BB\u03B1\u03C0\u03BB\u03CC\u03C4\u03B7\u03C4\u03B1\u03C2 \u03C4\u03BF\u03C5 \u03A1\u03AF\u03BC\u03B1\u03BD (\u03C0.\u03C7. \u03AD\u03BD\u03B1 \u03C4\u03B1\u03BD\u03C5\u03C3\u03C4\u03B9\u03BA\u03CC \u03C0\u03B5\u03B4\u03AF\u03BF), \u03C0\u03BF\u03C5 \u03BC\u03B5\u03C4\u03C1\u03AC\u03B5\u03B9 \u03C4\u03B7\u03BD \u03B5\u03C0\u03AD\u03BA\u03C4\u03B1\u03C3\u03B7 \u03C3\u03C4\u03B7\u03BD \u03BF\u03C0\u03BF\u03AF\u03B1 \u03BF \u03BC\u03B5\u03C4\u03C1\u03B9\u03BA\u03CC\u03C2 \u03C4\u03B1\u03BD\u03C5\u03C3\u03C4\u03AE\u03C2 \u03B4\u03B5\u03BD \u03B5\u03AF\u03BD\u03B1\u03B9 \u03C4\u03BF\u03C0\u03B9\u03BA\u03AC \u03B9\u03C3\u03BF\u03BC\u03B5\u03C4\u03C1\u03B9\u03BA\u03CC\u03C2 \u03C3\u03B5 \u03AD\u03BD\u03B1 \u0395\u03C5\u03BA\u03BB\u03B5\u03AF\u03B4\u03B9\u03BF \u03C7\u03CE\u03C1\u03BF. \u039F \u03C4\u03B1\u03BD\u03C5\u03C3\u03C4\u03AE\u03C2 \u03BA\u03B1\u03BC\u03C0\u03C5\u03BB\u03CC\u03C4\u03B7\u03C4\u03B1\u03C2 \u03BC\u03C0\u03BF\u03C1\u03B5\u03AF \u03B5\u03C0\u03AF\u03C3\u03B7\u03C2 \u03BD\u03B1 \u03C0\u03C1\u03BF\u03C3\u03B4\u03B9\u03BF\u03C1\u03B9\u03C3\u03C4\u03B5\u03AF \u03B3\u03B9\u03B1 \u03BA\u03AC\u03B8\u03B5 \u03C8\u03B5\u03C5\u03B4\u03BF-\u03C0\u03BF\u03BB\u03BB\u03B1\u03C0\u03BB\u03CC\u03C4\u03B7\u03C4\u03B1 \u03A1\u03AF\u03BC\u03B1\u03BD, \u03AE \u03BA\u03AC\u03B8\u03B5 \u03C0\u03BF\u03BB\u03BB\u03B1\u03C0\u03BB\u03CC\u03C4\u03B7\u03C4\u03B1 \u03C0\u03BF\u03C5 \u03AD\u03C7\u03B5\u03B9 \u03BC\u03AF\u03B1 \u03BF\u03BC\u03BF\u03C0\u03B1\u03C1\u03B1\u03BB\u03BB\u03B7\u03BB\u03B9\u03BA\u03AE \u03C3\u03CD\u03BD\u03B4\u03B5\u03C3\u03B7. \u0395\u03AF\u03BD\u03B1\u03B9 \u03BA\u03B5\u03BD\u03C4\u03C1\u03B9\u03BA\u03CC \u03BC\u03B1\u03B8\u03B7\u03BC\u03B1\u03C4\u03B9\u03BA\u03CC \u03B5\u03C1\u03B3\u03B1\u03BB\u03B5\u03AF\u03BF \u03C3\u03C4\u03B7 \u03B8\u03B5\u03C9\u03C1\u03AF\u03B1 \u03C4\u03B7\u03C2 \u03B3\u03B5\u03BD\u03B9\u03BA\u03AE \u03C3\u03C7\u03B5\u03C4\u03B9\u03BA\u03CC\u03C4\u03B7\u03C4\u03B1\u03C2, \u03C4\u03B7 \u03BC\u03BF\u03BD\u03C4\u03AD\u03C1\u03BD\u03B1 \u03B8\u03B5\u03C9\u03C1\u03AF\u03B1 \u03C4\u03B7\u03C2 \u03B2\u03B1\u03C1\u03CD\u03C4\u03B7\u03C4\u03B1\u03C2, \u03BA\u03B1\u03B9 \u03B7 \u03BA\u03B1\u03BC\u03C0\u03C5\u03BB\u03CC\u03C4\u03B7\u03C4\u03B1 \u03C4\u03BF\u03C5 \u03C7\u03C9\u03C1\u03BF\u03C7\u03C1\u03CC\u03BD\u03BF\u03C5 \u03C3\u03C4\u03B7 \u03B8\u03B5\u03C9\u03C1\u03AF\u03B1 \u03B5\u03AF\u03BD\u03B1\u03B9 \u03C0\u03B1\u03C1\u03B1\u03C4\u03B7\u03C1\u03AE\u03C3\u03B9\u03BC\u03B7 \u03BC\u03AD\u03C3\u03C9 \u03C4\u03B7\u03C2 \u03B5\u03BE\u03AF\u03C3\u03C9\u03C3\u03B7\u03C2 \u03C4\u03B7\u03C2 \u03B3\u03B5\u03C9\u03B4\u03B1\u03B9\u03C3\u03B9\u03B1\u03BA\u03AE\u03C2 \u03B1\u03C0\u03CC\u03BA\u03BB\u03B9\u03C3\u03B7\u03C2. \u039F \u03C4"@el . . . . "\u30EA\u30FC\u30DE\u30F3\u66F2\u7387\u30C6\u30F3\u30BD\u30EB"@ja . . . . "De krommingstensor van Riemann, kortweg krommingstensor of riemann-tensor, is een belangrijk object in de differentiaalmeetkunde, de tak van de wiskunde, die gekromde oppervlakken en ruimten zoals pseudo-riemann-vari\u00EBteiten bestudeert. De krommingstensor geeft de mate aan, waarin een oppervlak of hogerdimensionale ruimte meetkundig verschilt van een pseudo-euclidische ruimte zoals een euclidische ruimte of de minkowski-ruimte (\"vlakke ruimten\"). Typische stellingen uit de euclidische meetkunde die niet langer opgaan in gekromde ruimten, zijn: \n* De som van de hoeken van een driehoek bedraagt 180 graden ( radialen); \n* De oppervlakte van een sfeer (boloppervlak) is 4 maal pi maal het kwadraat van de straal. De krommingstensor is niet \u00E9\u00E9n getal, ook geen getallenrij of getallenvierkant (matrix), maar een \"vierdimensionaal\" getallenschema: een vierde-orde-tensor. De krommingstensor is genoemd naar Bernhard Riemann, samen met Carl Friedrich Gauss, de grondlegger van de intrinsieke differentiaalmeetkunde."@nl . "Tensor krzywizny Riemanna"@pl . . "\u03A4\u03B1\u03BD\u03C5\u03C3\u03C4\u03AE\u03C2 \u03BA\u03B1\u03BC\u03C0\u03C5\u03BB\u03CC\u03C4\u03B7\u03C4\u03B1\u03C2 Riemann"@el . "Tensor de curvatura de Riemann"@ca . "\u30EA\u30FC\u30DE\u30F3\u5E7E\u4F55\u5B66\u306B\u304A\u3044\u3066\u30EA\u30FC\u30DE\u30F3\u66F2\u7387\u30C6\u30F3\u30BD\u30EB\uFF08\u30EA\u30FC\u30DE\u30F3\u304D\u3087\u304F\u308A\u3064\u30C6\u30F3\u30BD\u30EB\u3001\u82F1: Riemann curvature tensor\uFF09\u3042\u308B\u3044\u306F\u30EA\u30FC\u30DE\u30F3-\u30AF\u30EA\u30B9\u30C8\u30C3\u30D5\u30A7\u30EB\u306E\u30C6\u30F3\u30BD\u30EB\uFF08\u82F1: Riemann\u2013Christoffel tensor\uFF09\u3068\u306F\u3001\u30EA\u30FC\u30DE\u30F3\u591A\u69D8\u4F53\u306E\u66F2\u7387\u3092\u8868\u30594\u968E\u306E\u30C6\u30F3\u30BD\u30EB\u3092\u8A00\u3046\u3002\u540D\u79F0\u306F\u3001\u30D9\u30EB\u30F3\u30CF\u30EB\u30C8\u30FB\u30EA\u30FC\u30DE\u30F3\u304A\u3088\u3073\u30A8\u30EB\u30A6\u30A3\u30F3\u30FB\u30D6\u30EB\u30FC\u30CE\u30FB\u30AF\u30EA\u30B9\u30C8\u30C3\u30D5\u30A7\u30EB\u306B\u56E0\u3080\u3002 \u30EA\u30FC\u30DE\u30F3-\u30AF\u30EA\u30B9\u30C8\u30C3\u30D5\u30A7\u30EB\u306E\u30C6\u30F3\u30BD\u30EB\uFF08\u30EA\u30FC\u30DE\u30F3\u66F2\u7387\u30C6\u30F3\u30BD\u30EB\uFF09\u306F\u91CD\u529B\u306E\u73FE\u4EE3\u7684\u7406\u8AD6\u3067\u3042\u308B\u4E00\u822C\u76F8\u5BFE\u6027\u7406\u8AD6\u306B\u304A\u3051\u308B\u6570\u5B66\u7684\u306A\u9053\u5177\u306E\u4E2D\u5FC3\u3068\u306A\u308B\u3082\u306E\u3067\u3042\u308B\u3002"@ja . "En diferenciala geometrio, la rimana kurbectensoro estas , de rango (1,3), kiu priskribas la kurbecon de glata sterna\u0135o kun lineara konekto sur \u011Dia tan\u011Da fasko."@eo . . . . "En geometr\u00EDa diferencial, el tensor de curvatura de Riemann, o simplemente tensor de curvatura o tensor de Riemann, supone una generalizaci\u00F3n del concepto de curvatura de Gauss, definido para superficies, a variedades de dimensiones arbitrarias. Representa una medida de la separaci\u00F3n de la m\u00E9trica de la variedad respecto de la m\u00E9trica eucl\u00EDdea. Fue introducido en 1862 por B. Riemann y desarrollado en 1869 por E. B. Christoffel como una forma de describir completamente la curvatura en cualquier n\u00FAmero de dimensiones mediante un \"peque\u00F1o monstruo\": un tensor de tipo (1,3) representado generalmente por el s\u00EDmbolo . El valor de cualquier otra entidad que describa la curvatura de una variedad puede deducirse de este tensor. Tal es el caso del tensor de Ricci (un tensor de tipo (0,2)), de la curvatura escalar o de la . Aunque en 2 dimensiones la curvatura puede representarse por un escalar en cada punto (o tensor de orden cero), tal como hac\u00EDa la curvatura de Gauss, la geometr\u00EDa de variedades de Riemann con dimensi\u00F3n mayor o igual que 3 es demasiado compleja como para describirla totalmente por un n\u00FAmero en un punto dado. As\u00ED, en 3 dimensiones la curvatura puede representarse por un tensor de segundo orden (el tensor de Ricci). Sin embargo, para dimensiones superiores necesitaremos al menos un tensor de cuarto orden (el tensor de Riemann). El tensor de curvatura tiene una influencia notable en la evoluci\u00F3n de la separaci\u00F3n de un conjunto de geod\u00E9sicas inicialmente pr\u00F3ximas, v\u00EDa la ecuaci\u00F3n de Hamilton-Jacobi. Da lugar a efectos observables de la curvatura en las fuerzas de marea que aparecen en relatividad general."@es . . . "\uB9AC\uB9CC \uAE30\uD558\uD559\uC5D0\uC11C \uB9AC\uB9CC \uACE1\uB960 \uD150\uC11C(Riemann\u66F2\u7387tensor, \uC601\uC5B4: Riemann curvature tensor)\uB294 \uB9AC\uB9CC \uB2E4\uC591\uCCB4\uC758 \uACE1\uB960\uC744 \uB098\uD0C0\uB0B4\uB294 (1,3)\uCC28 \uD150\uC11C\uC7A5\uC774\uB2E4."@ko . . . "\u0422\u0435\u043D\u0437\u043E\u0440 \u043A\u0440\u0438\u0432\u0438\u0437\u043D\u044B"@ru . . . "Riemann\u016Fv (Riemann\u016Fv-Christoffel\u016Fv) tenzor k\u0159ivosti je geometrick\u00FD objekt, kter\u00FD umo\u017En\u00ED odli\u0161it ploch\u00FD prostoro\u010Das od zak\u0159iven\u00E9ho prostoro\u010Dasu. Jeho odvozen\u00ED spo\u010D\u00EDv\u00E1 v my\u0161lence vektoru. Riemann\u016Fv tenzor k\u0159ivosti lze pou\u017E\u00EDt k vyj\u00E1d\u0159en\u00ED k\u0159ivosti libovoln\u00E9 variety s afinn\u00ED konex\u00ED. Riemann\u016Fv tenzor k\u0159ivosti lze pova\u017Eovat z m\u00EDru nekomutativnosti kovariantn\u00EDch derivac\u00ED. Zak\u0159iven\u00EDm prostoru se rozum\u00ED odchylka jeho metriky od metriky eukleidovsk\u00E9ho prostoru. Riemann\u016Fv tenzor lze vyj\u00E1d\u0159it pomoc\u00ED afinn\u00EDch konex\u00ED a kovariantn\u00EDch derivac\u00ED jako:"@cs . "Riemann\u016Fv tenzor"@cs . . . "Matematikaren geometria diferentzialaren arloan Riemannen kurbadura-tentsoreak edo Riemann-Christoffel tentsoreak kurbadura adierazten du. Horrez gain, kurbadura-tentsorea konexioa ondo finkatuta duen edozein pseudo-Riemannen barietaterako definitu daiteke. Erlatibitate orokorraren teorian, Riemannen kurbadura-tentsoreak grabitazioak espazio-denboran sortzen duen kurbadura ulertzen laguntzen du. Izan ere, kurbadura-tentsoreak geodesiko batean zehar higitzen den gorputz zurrun batek jasotzen duen marea-indarra adierazten du."@eu . "In geometria differenziale, il tensore di Riemann \u00E8 un tensore di tipo (1,3) che codifica nel modo pi\u00F9 completo la curvatura di una variet\u00E0 riemanniana. Prende il nome da Bernhard Riemann ed \u00E8 generalmente indicato (nella notazione con indici) tramite il simbolo: Tutte le altre entit\u00E0 che descrivono la curvatura di una variet\u00E0 possono essere dedotte dal tensore di Riemann, ad esempio il tensore di Ricci (un tensore di tipo (0,2)), la curvatura scalare e la curvatura sezionale. Il tensore di Riemann \u00E8 definito per ogni variet\u00E0 riemanniana, cio\u00E8 differenziabile e dotata di un tensore metrico definito positivo, e pi\u00F9 generalmente per ogni variet\u00E0 dotata di connessione."@it . . "En g\u00E9om\u00E9trie riemannienne, le tenseur de courbure de Riemann-Christoffel est la fa\u00E7on la plus courante d'exprimer la courbure des vari\u00E9t\u00E9s riemanniennes, ou plus g\u00E9n\u00E9ralement d'une vari\u00E9t\u00E9 disposant d'une connexion affine, avec ou sans torsion. Soit deux g\u00E9od\u00E9siques d'un espace courbe, parall\u00E8les au voisinage d'un point P. Le parall\u00E9lisme ne sera pas n\u00E9cessairement conserv\u00E9 en d'autres points de l'espace. Le tenseur de courbure de Riemann exprime l'\u00E9volution de ces g\u00E9od\u00E9siques l'une par rapport \u00E0 l'autre. Plus l'espace est courbe, plus les g\u00E9od\u00E9siques vont se rapprocher ou s'\u00E9loigner rapidement."@fr . . . . . . . . . . "Em geometria diferencial, tensor de curvatura \u00E9 uma das no\u00E7\u00F5es m\u00E9tricas mais importantes. Um tensor de curvatura \u00E9 uma generaliza\u00E7\u00E3o da curvatura de Gauss em dimens\u00F5es mais altas (dois exemplos disto s\u00E3o o tensor de Riemann que se desenvolve neste artigo e o tensor de Ricci)."@pt . "\uB9AC\uB9CC \uAE30\uD558\uD559\uC5D0\uC11C \uB9AC\uB9CC \uACE1\uB960 \uD150\uC11C(Riemann\u66F2\u7387tensor, \uC601\uC5B4: Riemann curvature tensor)\uB294 \uB9AC\uB9CC \uB2E4\uC591\uCCB4\uC758 \uACE1\uB960\uC744 \uB098\uD0C0\uB0B4\uB294 (1,3)\uCC28 \uD150\uC11C\uC7A5\uC774\uB2E4."@ko . . . . . "\u0422\u0435\u043D\u0437\u043E\u0440 \u0420\u0456\u043C\u0430\u043D\u0430 (\u0442\u0435\u043D\u0437\u043E\u0440 \u0432\u043D\u0443\u0442\u0440\u0456\u0448\u043D\u044C\u043E\u0457 \u043A\u0440\u0438\u0432\u0438\u043D\u0438 \u043C\u043D\u043E\u0433\u043E\u0432\u0438\u0434\u0430) \u0437'\u044F\u0432\u043B\u044F\u0454\u0442\u044C\u0441\u044F \u043F\u0440\u0438 \u0440\u043E\u0437\u0433\u043B\u044F\u0434\u0456 \u043A\u043E\u043C\u0443\u0442\u0430\u0442\u043E\u0440\u0430 \u043A\u043E\u0432\u0430\u0440\u0456\u0430\u043D\u0442\u043D\u0438\u0445 \u043F\u043E\u0445\u0456\u0434\u043D\u0438\u0445 \u043A\u043E\u0432\u0430\u0440\u0456\u0430\u043D\u0442\u043D\u043E\u0433\u043E \u0432\u0435\u043A\u0442\u043E\u0440\u0430 (\u0434\u0438\u0432\u0456\u0442\u044C\u0441\u044F \u0441\u0442\u0430\u0442\u0442\u044E \u0414\u0438\u0444\u0435\u0440\u0435\u043D\u0446\u0456\u0430\u043B\u044C\u043D\u0430 \u0433\u0435\u043E\u043C\u0435\u0442\u0440\u0456\u044F) \u0417\u0430\u043C\u0456\u0441\u0442\u044C \u043A\u043E\u0432\u0430\u0440\u0456\u0430\u043D\u0442\u043D\u0438\u0445 \u043A\u043E\u043C\u043F\u043E\u043D\u0435\u043D\u0442 \u043C\u043E\u0436\u043D\u0430 \u043F\u0456\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u0438\u0442\u0438 \u0431\u0430\u0437\u0438\u0441\u043D\u0456 \u0432\u0435\u043A\u0442\u043E\u0440\u0438 : \u0406 \u0432\u0440\u0430\u0445\u043E\u0432\u0443\u044E\u0447\u0438, \u0449\u043E \u043A\u043E\u0432\u0430\u0440\u0456\u0430\u043D\u0442\u043D\u0430 \u043F\u043E\u0445\u0456\u0434\u043D\u0430 \u0432\u0456\u0434 \u0431\u0430\u0437\u0438\u0441\u043D\u0438\u0445 \u0432\u0435\u043A\u0442\u043E\u0440\u0456\u0432 \u0434\u043E\u0440\u0456\u0432\u043D\u044E\u0454 \u0432\u0435\u043A\u0442\u043E\u0440\u0430\u043C \u043F\u043E\u0432\u043D\u043E\u0457 \u043A\u0440\u0438\u0432\u0438\u043D\u0438 (\u0434\u0438\u0432\u0456\u0442\u044C\u0441\u044F ), \u043C\u0430\u0454\u043C\u043E: \u0414\u043E\u043C\u043D\u043E\u0436\u0438\u043C\u043E \u0444\u043E\u0440\u043C\u0443\u043B\u0443 (3) \u0441\u043A\u0430\u043B\u044F\u0440\u043D\u043E \u043D\u0430 , i \u0432\u0440\u0430\u0445\u0443\u0454\u043C\u043E \u043E\u0440\u0442\u043E\u0433\u043E\u043D\u0430\u043B\u044C\u043D\u0456\u0441\u0442\u044C \u0432\u0435\u043A\u0442\u043E\u0440\u0456\u0432 \u043A\u0440\u0438\u0432\u0438\u043D\u0438 \u0434\u043E \u043C\u043D\u043E\u0433\u043E\u0432\u0438\u0434\u0443: . \u0412 \u0440\u0435\u0437\u0443\u043B\u044C\u0442\u0430\u0442\u0456 \u043E\u0434\u0435\u0440\u0436\u0443\u0454\u043C\u043E \u0444\u043E\u0440\u043C\u0443\u043B\u0443 \u0434\u043B\u044F \u043A\u043E\u0432\u0430\u0440\u0456\u0430\u043D\u0442\u043D\u0438\u0445 \u043A\u043E\u043C\u043F\u043E\u043D\u0435\u043D\u0442 \u0442\u0435\u043D\u0437\u043E\u0440\u0430 \u0420\u0456\u043C\u0430\u043D\u0430: \u0430\u0431\u043E \u043F\u0456\u0441\u043B\u044F \u0437\u043C\u0456\u043D\u0438 \u0437\u043D\u0430\u043A\u0443 \u0456 \u043F\u0435\u0440\u0435\u0439\u043C\u0435\u043D\u0443\u0432\u0430\u043D\u043D\u044F \u0456\u043D\u0434\u0435\u043A\u0441\u0456\u0432: \u0422\u0435\u043D\u0437\u043E\u0440 \u0420\u0456\u0447\u0447\u0456 \u0441\u0438\u043C\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u043D\u0438\u0439:"@uk . . . . . "Matematikaren geometria diferentzialaren arloan Riemannen kurbadura-tentsoreak edo Riemann-Christoffel tentsoreak kurbadura adierazten du. Horrez gain, kurbadura-tentsorea konexioa ondo finkatuta duen edozein pseudo-Riemannen barietaterako definitu daiteke. Erlatibitate orokorraren teorian, Riemannen kurbadura-tentsoreak grabitazioak espazio-denboran sortzen duen kurbadura ulertzen laguntzen du. Izan ere, kurbadura-tentsoreak geodesiko batean zehar higitzen den gorputz zurrun batek jasotzen duen marea-indarra adierazten du. Kurbadura-tentsorea Bernhard Riemann matematikari alemaniarrak proposatu zuen 1862. urtean, eta fisikari eta matematikari alemaniarrak garatu zuen 1869an. Horregatik, kurbadura-tentsorea Riemann-Christoffel tentsore moduan ere ezagutzen da. 2 dimentsioko espazioan puntu bakoitzean kurbadura eskalar baten bidez adierazi daiteke, Gaussen kurbadurak azaltzen duen moduan. Riemannen barietateen geometriak 3 dimentsio edo gehiago dituenez, geometria oso konplexua da puntu bakoitzeko kurbadura eskalar batekin adierazteko. Horregatik, 3 dimentsioko espazioan kurbadura 2 ordenako tentsore baten bidez azaldu daiteke (Ricciren tentsorea), baina dimentsio handiagoko espazioetako kurbadura adierazteko 4 edo ordena handiagoko tentsore bat behar da (Riemannen tentsorea). Horregatik, kurbadura-tentsorea erlatibitate orokorraren 4 dimentsioko espazio-denboraren kurbadura adierazteko erabiltzen da."@eu . . . . . . . . . . . . "Riemannscher Kr\u00FCmmungstensor"@de . "Em geometria diferencial, tensor de curvatura \u00E9 uma das no\u00E7\u00F5es m\u00E9tricas mais importantes. Um tensor de curvatura \u00E9 uma generaliza\u00E7\u00E3o da curvatura de Gauss em dimens\u00F5es mais altas (dois exemplos disto s\u00E3o o tensor de Riemann que se desenvolve neste artigo e o tensor de Ricci). A geometria infinitesimal das variedades de Riemann com dimens\u00E3o \u2265 3 \u00E9 demasiado complicada para ser descrita totalmente por um n\u00FAmero em um ponto dado (tal como sucede quando a dimens\u00E3o \u00E9 menor ou igual a 2). Assim em 2 dimens\u00F5es a curvatura pode ser representada por um n\u00FAmero escalar (ou tensor de ordem zero), em 3 dimens\u00F5es a curvatura pode ser representada por um tensor de segunda ordem (como por exemplo o tensor de Ricci). Entretanto para dimens\u00F5es totalmente gerais se necessita ao menos um tensor de quarta ordem (como o tensor de Riemann). Foi Riemann quem introduziu uma maneira de descrever completamente a curvatura em qualquer n\u00FAmero de dimens\u00F5es mediante um \"pequeno monstro\" de tensor, chamado tensor de Riemann."@pt . "In geometria differenziale, il tensore di Riemann \u00E8 un tensore di tipo (1,3) che codifica nel modo pi\u00F9 completo la curvatura di una variet\u00E0 riemanniana. Prende il nome da Bernhard Riemann ed \u00E8 generalmente indicato (nella notazione con indici) tramite il simbolo:"@it . "Der riemannsche Kr\u00FCmmungstensor (k\u00FCrzer auch Riemanntensor, riemannsche Kr\u00FCmmung oder Kr\u00FCmmungstensor) beschreibt die Kr\u00FCmmung von R\u00E4umen beliebiger Dimension, genauer gesagt riemannscher oder pseudo-riemannscher Mannigfaltigkeiten. Er wurde nach dem Mathematiker Bernhard Riemann benannt und ist eines der wichtigsten Hilfsmittel der riemannschen Geometrie. Eine andere wichtige Anwendung findet er im Zusammenhang mit der Kr\u00FCmmung der Raumzeit in der allgemeinen Relativit\u00E4tstheorie. Der riemannsche Kr\u00FCmmungstensor ist ein Tensor der Stufe 4. Man kann seine Koeffizienten zum Beispiel in der Form angeben. In diesem Artikel wird die einsteinsche Summenkonvention verwendet."@de . "1121677412"^^ . "Tensor de curvatura de Riemann"@pt . . . . . . . . . . . . . "\u9ECE\u66FC\u66F2\u7387\u5F35\u91CF"@zh . "\u5728\u5FAE\u5206\u51E0\u4F55\u4E2D\uFF0C\u9ECE\u66FC\u66F2\u7387\u5F20\u91CF\u6216\u9ECE\u66FC\u5F35\u91CF\u662F\u8868\u8FBE\u9ECE\u66FC\u6D41\u5F62\u7684\u66F2\u7387\u7684\u6807\u51C6\u65B9\u5F0F\uFF0C\u66F4\u666E\u904D\u7684\uFF0C\u5B83\u53EF\u4EE5\u8868\u793A\u6709\u4EFF\u5C04\u8054\u7EDC\u7684\u6D41\u5F62\u7684\u66F2\u7387,\u5305\u62EC\u65E0\u626D\u7387\u6216\u6709\u6493\u7387\u7684\u3002\u66F2\u7387\u5F20\u91CF\u901A\u8FC7\u5217\u7EF4-\u5947\u7EF4\u5854\u8054\u7EDC(\u66F4\u4E00\u822C\u7684\uFF0C\u4E00\u4E2A\u4EFF\u5C04\u8054\u7EDC)(\u6216\u8005\u53EB\u534F\u53D8\u5BFC\u6570)\u7531\u4E0B\u5F0F\u7ED9\u51FA: \u8FD9\u91CC\u662F\u4E00\u4E2A\u6D41\u5F62\u5207\u7A7A\u95F4\u7684\u7EBF\u6027\u53D8\u6362\uFF1B\u5B83\u5BF9\u4E8E\u6BCF\u4E2A\u53C2\u6570\u90FD\u662F\u7EBF\u6027\u7684\u3002 \u6CE8\u610F\u6709\u4E9B\u4F5C\u8005\u7528\u76F8\u53CD\u7684\u7B26\u53F7\u5B9A\u4E49\u66F2\u7387. \u5982\u679C \u4E0E \u662F\u5750\u6807\u5411\u91CF\u573A\u5219\u6240\u4EE5\u516C\u5F0F\u7B80\u5316\u4E3A \u4E5F\u5C31\u662F\u8BF4\u66F2\u7387\u5F20\u91CF\u8861\u91CF\u534F\u53D8\u5BFC\u6570\u7684\u53CD\u4EA4\u6362\u6027\u3002 \u7EBF\u6027\u53D8\u6362\u4E5F\u79F0\u66F2\u7387\u53D8\u6362\u3002"@zh . . . "En diferenciala geometrio, la rimana kurbectensoro estas , de rango (1,3), kiu priskribas la kurbecon de glata sterna\u0135o kun lineara konekto sur \u011Dia tan\u011Da fasko."@eo . . . "Tenseur de Riemann"@fr . . "19234"^^ . .