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Tenseur de Ricci Тензор Риччи Tensore di curvatura di Ricci Ricciren kurbadura-tentsore 리치 곡률 텐서 Ricci curvature Tensor de Ricci Tensor de Ricci Ricci-tensor Kurbectensoro de Ricci Tensor de curvatura de Ricci Ricci-Tensor 里奇曲率張量 Тензор Річчі Ricciho tenzor リッチテンソル
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En geometria diferencial, el tensor de curvatura de Ricci (anomenat així a partir de Gregorio Ricci-Curbastro) és un tensor—(0,2)—bivalent, obtingut com una traça del complet. El tensor de Ricci es pot representar segons els vectors u i v, usualment representat per Ric(u,v) i es pot definir com a la traça de l'endomorfisme on R és el tensor de curvatura de Riemann. En , es pot escriure (fent servir la notació d'Einstein) on . Hom pot pensar en la curvatura de Ricci en una varietat de Riemann com un operador a l'espai tangent. Per qualsevols vectors u i v el vector Ric(u) satisfà 在微分幾何中，類似度量張量，里奇張量也是一個在黎曼流形每點的切空間上的對稱雙線性形式。以格雷戈里奥·里奇-库尔巴斯托罗（Gregorio Ricci-Curbastro）為名的里奇張量或里奇曲率張量（Ricci curvature tensor）。提供了一個數據去描述給定的黎曼度規(Riemannian metric)所決定的體積究竟偏離尋常歐幾里得 n- 空間多少的程度。粗略地講，里奇張量是用來描述「體積扭曲」的一個值；也就是說，它指出了n-維流形中給定區域之n-維體積，其和歐幾里得n-空間中與其相當之區域的體積差異程度。更精確的描述請見下文「直接的幾何意義」段落。 微分幾何学において、リッチ曲率テンソル (英: Ricci curvature tensor) とは、歪んだリーマン多様体上の測地球の体積がユークリッド空間上の球体からどれだけずれるかを表す量である。グレゴリオ・リッチ＝クルバストロに因んでその名がある。あるリーマン計量が与えられたとき、その記述する幾何が通常の n 次元ユークリッド空間からどれだけ違うか表わす尺度として使うことができる。リッチテンソルはどんな擬リーマン多様体に対しても、リーマン曲率テンソルのトレースとして定義される。計量それ自体と同様、リッチテンソルは多様体の接空間上の対称双線型形式である。 In geometria differenziale il tensore di Ricci è un tensore che misura la curvatura di una varietà riemanniana. Si ottiene contraendo due indici del tensore di Riemann. Il tensore di Ricci, che deve il suo nome a Gregorio Ricci Curbastro, è un ingrediente dell'equazione di campo di Einstein ed è quindi importante per la formulazione della relatività generale. Il tensore di Ricci è un tensore simmetrico di tipo (0,2), come il tensore metrico. Il tensore misura il modo in cui il volume varia localmente rispetto all'usuale volume di uno spazio euclideo. Dans le cadre de la relativité générale, le champ de gravitation est interprété comme une déformation de l'espace-temps. Cette déformation est exprimée à l'aide du tenseur de Ricci. Le tenseur de Ricci est un champ tensoriel d'ordre 2, obtenu comme la trace du tenseur de courbure complet. On peut le considérer comme le laplacien du tenseur métrique riemannien dans le cas des variétés riemaniennes. Le tenseur de Ricci occupe une place importante notamment dans l'équation d'Einstein, équation principale de la relativité générale. C'est aussi un objet fondamental en géométrie différentielle. Em geometria diferencial, o tensor de curvatura de Ricci, ou simplesmente tensor de Ricci, é um tensor bivalente, obtido como um traço do tensor de curvatura. Pode ser pensado como um laplaciano do tensor métrico no caso das variedades de Riemann. Nas dimensões 2 e 3, o tensor de curvatura é determinado totalmente pela curvatura de Ricci. Pode-se pensar na curvatura de Ricci em uma variedade de Riemann como um operador no espaço tangente. Se este operador é simplesmente multiplicado por uma constante, então temos . A curvatura de Ricci é proporcional ao tensor métrico neste caso. Esse é mais um caso especial de tensor de Riemann, tendo uma contração em alguns índices seus, como o seguinte exemplo: Тензор Риччи, названный в честь Риччи-Курбастро, задаёт один из способов измерения кривизны многообразия, то есть степени отличия геометрии многообразия от геометрии плоского евклидова пространства. Тензор Риччи, точно так же как метрический тензор, является симметричной билинейной формой на касательном пространстве риманова многообразия. Грубо говоря, тензор Риччи измеряет деформацию объёма, то есть степень отличия n-мерных областей n-мерного многообразия от аналогичных областей евклидова пространства. Смотри геометрический смысл тензора Риччи. Обычно обозначается или . En diferenciala geometrio, la kurbectensoro de Ricci estas simetria duaranga tensora kampo, kiu estas kontrahaĵo de la kvararanga rimana kurbectensoro. In differential geometry, the Ricci curvature tensor, named after Gregorio Ricci-Curbastro, is a geometric object which is determined by a choice of Riemannian or pseudo-Riemannian metric on a manifold. It can be considered, broadly, as a measure of the degree to which the geometry of a given metric tensor differs locally from that of ordinary Euclidean space or pseudo-Euclidean space. En geometría diferencial, el tensor de curvatura de Ricci o simplemente, tensor de Ricci, que suele notarse por los símbolos o Ric, es un tensor simétrico bivalente obtenido como una traza del tensor de curvatura, que, como aquel, puede definirse en cualquier variedad dotada de una conexión afín. Fue introducido en 1903 por el matemático italiano G. Ricci. Ricciren kurbadura tentsorea, Gregorio Ricci-Curbastroren omenez izendatuta dago. Tentsorea geometria diferentzialean, metrika edo aukera baten bidez batean definitutako objetua bat da. Ricciren tentsorea, Riemannen kurbadura tentsorearen indizeen kontrakzio bat da. Orokorrean kontsidera daiteke, era lokalean, tentsore metrikoaren geometriaren aldaketaren neurritzat espazio euklidearra edo konparatuz. 2007 urtean , eta Cedric Villanik frogatu zuten Ricciren tentsorearen behe mugak metrikaren espazioaren estrukturaren arabera ulertu ahal zirela Riemannen barietatetan. De riccitensor is een wiskundig object uit de differentiaalmeetkunde, genoemd naar Gregorio Ricci-Curbastro. Het is een object dat uitdrukt in welke mate een ruimte verschilt van de gewone euclidische ruimte. Er kan ook een meetkundige interpretatie worden gegeven aan de riccitensor, namelijk de verstoring van een eenheidsvolume in de gegeven ruimte. V diferenciální geometrii Ricciho tenzor, pojmenovaný podle Gregoriho Ricci-Curbastroa, reprezentuje množství, o které se objem úzkého kuželovitého kusu malé geodetické koule v zakřivené Riemannově tenzoru odchyluje od standardní koule v Eukleidovském prostoru. Jako takový poskytuje jeden ze způsobů měření míry, ke kterému by se geometrie určená danou Riemannianovou metrikou mohla lišit od tohoto běžného Eukleidovského n-rozměrného prostoru. Ricciho tenzor je definován na jakémkoliv pseudo- riemannovově tenzoru jako stopa Riemannova tenzoru. Stejně jako metrika samotná, i Ricciho tenzor je symetrická bilineární forma na tečném prostoru tenzoru (Besse 1987, str. 43). Тензор Річчі, названий на честь Грегоріо Річчі-Курбастро, задає один із способів вимірювання кривини многовиду, тобто ступеня відмінності геометрії многовиду від геометрії плоского евклідового простору. Тензор Річчі, точно так само як метричний тензор, є симетрична білінійна форма на дотичному просторі ріманового многовиду. Грубо кажучи, тензор Річчі вимірює деформацію об'єму, тобто ступінь відмінності n-вимірних областей n-вимірного многовиду від аналогічних областей евклідового простору. Зазвичай позначається або . 리만 기하학에서 리치 곡률 텐서(Ricci曲率tensor, 영어: Ricci curvature tensor)는 리만 다양체의 곡률을 나타내는 2차 텐서장으로, 리만 곡률 텐서의 대각합이다. 부피의 왜곡을 나타내는 것으로 해석할 수 있다.
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Let be a smooth manifold, and let be a Riemannian or pseudo-Riemannian metric. In local smooth coordinates, define the Christoffel symbols It can be directly checked that so that define a -tensor field on . In particular, if and are vector fields on , then relative to any smooth coordinates one has
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Ricci tensor Ricci curvature
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De riccitensor is een wiskundig object uit de differentiaalmeetkunde, genoemd naar Gregorio Ricci-Curbastro. Het is een object dat uitdrukt in welke mate een ruimte verschilt van de gewone euclidische ruimte. Er kan ook een meetkundige interpretatie worden gegeven aan de riccitensor, namelijk de verstoring van een eenheidsvolume in de gegeven ruimte. Em geometria diferencial, o tensor de curvatura de Ricci, ou simplesmente tensor de Ricci, é um tensor bivalente, obtido como um traço do tensor de curvatura. Pode ser pensado como um laplaciano do tensor métrico no caso das variedades de Riemann. Nas dimensões 2 e 3, o tensor de curvatura é determinado totalmente pela curvatura de Ricci. Pode-se pensar na curvatura de Ricci em uma variedade de Riemann como um operador no espaço tangente. Se este operador é simplesmente multiplicado por uma constante, então temos . A curvatura de Ricci é proporcional ao tensor métrico neste caso. Esse é mais um caso especial de tensor de Riemann, tendo uma contração em alguns índices seus, como o seguinte exemplo: , sendo o símbolo de Christoffel representado por . V diferenciální geometrii Ricciho tenzor, pojmenovaný podle Gregoriho Ricci-Curbastroa, reprezentuje množství, o které se objem úzkého kuželovitého kusu malé geodetické koule v zakřivené Riemannově tenzoru odchyluje od standardní koule v Eukleidovském prostoru. Jako takový poskytuje jeden ze způsobů měření míry, ke kterému by se geometrie určená danou Riemannianovou metrikou mohla lišit od tohoto běžného Eukleidovského n-rozměrného prostoru. Ricciho tenzor je definován na jakémkoliv pseudo- riemannovově tenzoru jako stopa Riemannova tenzoru. Stejně jako metrika samotná, i Ricciho tenzor je symetrická bilineární forma na tečném prostoru tenzoru (Besse 1987, str. 43). V teorii relativity je Ricciho tenzor část zakřivení prostoročasu, která určuje míru, ke které hmota bude mít tendenci se sbíhat nebo se rozcházet v čase (přes Raychaudhuri rovnici). Vztahuje se k obsahu hmoty vesmíru pomocí Einsteinovy rovnice gravitačního pole. V diferenciální geometrii dolní hranice Ricciho tenzor na Riemannově tenzoru dovoluje extrahovat globální geometrické a topologického informace srovnáním (např. srovnání teorém ) s geometrií konstantní formy zakřivení prostoru. Pokud Ricciho tenzor vyhovuje vakuové Einsteinově rovnici, pak je tenzor Einsteinův tenzor, který byl rozsáhle studován (srov. ). V této souvislosti Ricciho rovnice toku řídí vývoj dané metriky k Einsteinově metrice; přesný způsob, jakým k tomu dochází, nakonec vede k Poincarého větě. 微分幾何学において、リッチ曲率テンソル (英: Ricci curvature tensor) とは、歪んだリーマン多様体上の測地球の体積がユークリッド空間上の球体からどれだけずれるかを表す量である。グレゴリオ・リッチ＝クルバストロに因んでその名がある。あるリーマン計量が与えられたとき、その記述する幾何が通常の n 次元ユークリッド空間からどれだけ違うか表わす尺度として使うことができる。リッチテンソルはどんな擬リーマン多様体に対しても、リーマン曲率テンソルのトレースとして定義される。計量それ自体と同様、リッチテンソルは多様体の接空間上の対称双線型形式である。 相対性理論では、リッチテンソルは時空の曲率 (Rμvと表す) の一部であり、レイチャウデューリ方程式を通じて物質が時間とともにどれだけ収縮もしくは拡散するかの程度に関連する。アインシュタイン方程式を通じて、宇宙に含まれる物質の量にも関連する。微分幾何学では、あるリーマン多様体上のリッチテンソルの下界により、一様な曲率をもつと比較した場合の（も参照）大域的幾何学および位相幾何学的な情報を得ることができる。リッチテンソルが真空のアインシュタイン方程式を満たすとき、その多様体はアインシュタイン多様体であるといい、特に研究されている (cf. )。これと関係して、リッチフロー方程式はある計量がアインシュタイン計量へ発展するさまを記述する。この方法により、ポアンカレ予想が最終的に解決することとなった。 En geometria diferencial, el tensor de curvatura de Ricci (anomenat així a partir de Gregorio Ricci-Curbastro) és un tensor—(0,2)—bivalent, obtingut com una traça del complet. El tensor de Ricci es pot representar segons els vectors u i v, usualment representat per Ric(u,v) i es pot definir com a la traça de l'endomorfisme on R és el tensor de curvatura de Riemann. En , es pot escriure (fent servir la notació d'Einstein) on . És a dir, es pot expressar com un laplacià del tensor mètric riemanià en el cas de les varietats de Riemann. En dimensions 2 i 3 el és determinat totalment per la curvatura de Ricci. Hom pot pensar en la curvatura de Ricci en una varietat de Riemann com un operador a l'espai tangent. Per qualsevols vectors u i v el vector Ric(u) satisfà Això es pot deduir del fet que la símbol de Levi-Civita no presenta torsió. Si aquest operador és multiplicat simplement per una constant, llavors tenim . La curvatura de Ricci és proporcional al tensor mètric en aquest cas. La curvatura de Ricci es pot explicar en termes de la de la manera següent: per a un vector unitari v, (v), v > és suma de les curvatures seccionals de tots els plans travessats pel vector v i un vector d'un marc ortonormal que conté a v (hi ha n-1 d'aquests plans). Aquí R(v) és la curvatura de Ricci com un operador lineal en el pla tangent, i ,.> és el producte escalar mètric. La curvatura de Ricci conté la mateixa informació que totes aquestes sumes sobre tots els vectors unitaris. En dimensions 2 i 3 aquest és igual que especificar totes les curvatures seccionals o el , però en dimensions més altes la curvatura de Ricci conté menys informació. Per exemple, les varietats d'Einstein no han de tenir curvatura constant en les dimensions 4 i més. Si es canvia la mètrica g pel factor conformal la curvatura de Ricci canvia a que és un tensor (0,2). In geometria differenziale il tensore di Ricci è un tensore che misura la curvatura di una varietà riemanniana. Si ottiene contraendo due indici del tensore di Riemann. Il tensore di Ricci, che deve il suo nome a Gregorio Ricci Curbastro, è un ingrediente dell'equazione di campo di Einstein ed è quindi importante per la formulazione della relatività generale. Il tensore di Ricci è un tensore simmetrico di tipo (0,2), come il tensore metrico. Il tensore misura il modo in cui il volume varia localmente rispetto all'usuale volume di uno spazio euclideo. Тензор Риччи, названный в честь Риччи-Курбастро, задаёт один из способов измерения кривизны многообразия, то есть степени отличия геометрии многообразия от геометрии плоского евклидова пространства. Тензор Риччи, точно так же как метрический тензор, является симметричной билинейной формой на касательном пространстве риманова многообразия. Грубо говоря, тензор Риччи измеряет деформацию объёма, то есть степень отличия n-мерных областей n-мерного многообразия от аналогичных областей евклидова пространства. Смотри геометрический смысл тензора Риччи. Обычно обозначается или . Dans le cadre de la relativité générale, le champ de gravitation est interprété comme une déformation de l'espace-temps. Cette déformation est exprimée à l'aide du tenseur de Ricci. Le tenseur de Ricci est un champ tensoriel d'ordre 2, obtenu comme la trace du tenseur de courbure complet. On peut le considérer comme le laplacien du tenseur métrique riemannien dans le cas des variétés riemaniennes. Le tenseur de Ricci occupe une place importante notamment dans l'équation d'Einstein, équation principale de la relativité générale. C'est aussi un objet fondamental en géométrie différentielle. En diferenciala geometrio, la kurbectensoro de Ricci estas simetria duaranga tensora kampo, kiu estas kontrahaĵo de la kvararanga rimana kurbectensoro. 리만 기하학에서 리치 곡률 텐서(Ricci曲率tensor, 영어: Ricci curvature tensor)는 리만 다양체의 곡률을 나타내는 2차 텐서장으로, 리만 곡률 텐서의 대각합이다. 부피의 왜곡을 나타내는 것으로 해석할 수 있다. En geometría diferencial, el tensor de curvatura de Ricci o simplemente, tensor de Ricci, que suele notarse por los símbolos o Ric, es un tensor simétrico bivalente obtenido como una traza del tensor de curvatura, que, como aquel, puede definirse en cualquier variedad dotada de una conexión afín. Fue introducido en 1903 por el matemático italiano G. Ricci. En caso de estar definido en una variedad de Riemann, puede interpretarse como un Laplaciano del tensor métrico. Al igual que la métrica, el tensor de Ricci será una forma bilineal simétrica. En caso en que ambos sean proporcionales, , diremos que la variedad es una . El tensor de Ricci determina totalmente al tensor de curvatura, si la variedad de Riemann correspondiente tiene dimensión n < 4. En relatividad general, dado que el espacio-tiempo tiene cuatro dimensiones, el tensor de Ricci no determina por completo la curvatura. 在微分幾何中，類似度量張量，里奇張量也是一個在黎曼流形每點的切空間上的對稱雙線性形式。以格雷戈里奥·里奇-库尔巴斯托罗（Gregorio Ricci-Curbastro）為名的里奇張量或里奇曲率張量（Ricci curvature tensor）。提供了一個數據去描述給定的黎曼度規(Riemannian metric)所決定的體積究竟偏離尋常歐幾里得 n- 空間多少的程度。粗略地講，里奇張量是用來描述「體積扭曲」的一個值；也就是說，它指出了n-維流形中給定區域之n-維體積，其和歐幾里得n-空間中與其相當之區域的體積差異程度。更精確的描述請見下文「直接的幾何意義」段落。 Ricciren kurbadura tentsorea, Gregorio Ricci-Curbastroren omenez izendatuta dago. Tentsorea geometria diferentzialean, metrika edo aukera baten bidez batean definitutako objetua bat da. Ricciren tentsorea, Riemannen kurbadura tentsorearen indizeen kontrakzio bat da. Orokorrean kontsidera daiteke, era lokalean, tentsore metrikoaren geometriaren aldaketaren neurritzat espazio euklidearra edo konparatuz. Ricciren tentsorea karakterizatu daiteke neurtuz bere deformazioa geodesiken ibilbidean zehar. Erlatibitate orokorrean, pseudo-Riemannen metrika dakarrena, hau islatzen da Ricciren tentsorearen agerpenean . Neurri batean arrazoi honengatik, Einsteinen eremu ekuazioak espazio-denbora, pseudo-Riemannen metrika baten bidez deskribatu daitekela proposatzen dute, Ricciren tentsorearen eta unibertsoko materiaren erlazio simple bat dena. Ricciren tentsorea edo Ric moduan adierazten da. Ricciren tentsorea, tentsore metrikoa bezala bat esleitzen dio barietateren bakoitzari . Errazagoa den operadore batekin analogia bat eginez, Rimannen geometrian Ricciren tentsorea funtzioen analisiaren antzekoa papera jokatzen du. Kasu honetan Riemannen kurbadura tentsorea bigarren ordenako deribatuz osatutako tentsore bat izango litzateke. Hala eta guztiz ere, analogia hau beste bide batetik egin daiteke. , Ricciren tentsorea informazio guztia dauka. Orden altuagoko informazioa Riemannen tentsorean kodetuta dago. Ricciren tentsorearen sinpletasunagatik, geometria eta analisiaren tresna askoren erabilpena ahalbidetzen du. Honek eraman zituen eta Grigory Perelman. Geometria diferentzialean, Ricciren tentsorearen behe mugak Riemannen barietatean ahalbidetzen gaitu informazio geometrikoa eta topologikoa konparatzen kurbadura konstateko espazio batekin. Hau Ricciren tentsorearen behe mugak Riemannen geometriaren luzera funtzionala ikasteko erabili daitekelako da, 1941-an bidez frogatu zena. Ricciren tentsorea lortzen da deribatu kobariantea trukatzen bada tentsore Lapacearrarekin. Honela azaltzen da bere agerpena , Riemannen geometrian edonodik agertzen dena. Adibidez, hau azaltzen du zergaitik Shing-Tung Yau estimatutako gradientea ia beti Ricciren tentsorearen behe mugaren menpekoa den. 2007 urtean , eta Cedric Villanik frogatu zuten Ricciren tentsorearen behe mugak metrikaren espazioaren estrukturaren arabera ulertu ahal zirela Riemannen barietatetan. Тензор Річчі, названий на честь Грегоріо Річчі-Курбастро, задає один із способів вимірювання кривини многовиду, тобто ступеня відмінності геометрії многовиду від геометрії плоского евклідового простору. Тензор Річчі, точно так само як метричний тензор, є симетрична білінійна форма на дотичному просторі ріманового многовиду. Грубо кажучи, тензор Річчі вимірює деформацію об'єму, тобто ступінь відмінності n-вимірних областей n-вимірного многовиду від аналогічних областей евклідового простору. Зазвичай позначається або . In differential geometry, the Ricci curvature tensor, named after Gregorio Ricci-Curbastro, is a geometric object which is determined by a choice of Riemannian or pseudo-Riemannian metric on a manifold. It can be considered, broadly, as a measure of the degree to which the geometry of a given metric tensor differs locally from that of ordinary Euclidean space or pseudo-Euclidean space. The Ricci tensor can be characterized by measurement of how a shape is deformed as one moves along geodesics in the space. In general relativity, which involves the pseudo-Riemannian setting, this is reflected by the presence of the Ricci tensor in the Raychaudhuri equation. Partly for this reason, the Einstein field equations propose that spacetime can be described by a pseudo-Riemannian metric, with a strikingly simple relationship between the Ricci tensor and the matter content of the universe. Like the metric tensor, the Ricci tensor assigns to each tangent space of the manifold a symmetric bilinear form . Broadly, one could analogize the role of the Ricci curvature in Riemannian geometry to that of the Laplacian in the analysis of functions; in this analogy, the Riemann curvature tensor, of which the Ricci curvature is a natural by-product, would correspond to the full matrix of second derivatives of a function. However, there are other ways to draw the same analogy. In three-dimensional topology, the Ricci tensor contains all of the information which in higher dimensions is encoded by the more complicated Riemann curvature tensor. In part, this simplicity allows for the application of many geometric and analytic tools, which led to the solution of the Poincaré conjecture through the work of Richard S. Hamilton and Grigory Perelman. In differential geometry, lower bounds on the Ricci tensor on a Riemannian manifold allow one to extract global geometric and topological information by comparison (cf. comparison theorem) with the geometry of a constant curvature space form. This is since lower bounds on the Ricci tensor can be successfully used in studying the length functional in Riemannian geometry, as first shown in 1941 via Myers's theorem. One common source of the Ricci tensor is that it arises whenever one commutes the covariant derivative with the tensor Laplacian. This, for instance, explains its presence in the Bochner formula, which is used ubiquitously in Riemannian geometry. For example, this formula explains why the gradient estimates due to Shing-Tung Yau (and their developments such as the Cheng-Yau and Li-Yau inequalities) nearly always depend on a lower bound for the Ricci curvature. In 2007, John Lott, Karl-Theodor Sturm, and Cedric Villani demonstrated decisively that lower bounds on Ricci curvature can be understood entirely in terms of the metric space structure of a Riemannian manifold, together with its volume form. This established a deep link between Ricci curvature and Wasserstein geometry and optimal transport, which is presently the subject of much research.
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