. . "Dla danego tensora z rozmaito\u015Bci z okre\u015Blon\u0105 na niej nieosobliw\u0105 form\u0105 (tak\u0105 jak np. metryka Riemanna lub metryka Minkowskiego) mo\u017Cna podnie\u015B\u0107 lub opu\u015Bci\u0107 jego wska\u017Aniki, czyli zmieni\u0107 tensor wymiaru na tensor wymiaru (podnie\u015B\u0107 indeks) lub na tensor wymiaru (opu\u015Bci\u0107 indeks). Wyniki te mo\u017Cna osi\u0105gn\u0105\u0107 poprzez mno\u017Cenie przez kowariantny lub kontrawariantny tensor metryczny, a nast\u0119pnie wyniku. Mno\u017Cenie przez kontrawariantny tensor metryczny (i skr\u00F3cenie) podnosi wska\u017Aniki: a mno\u017Cenie przez kowariantny tensor metryczny (i skr\u00F3cenie) opuszcza je: Operacje podniesienia i nast\u0119puj\u0105cego po nim opuszczenia tego samego wska\u017Anika (lub odwrotnie) s\u0105 do siebie odwrotne, co odzwierciedla odwrotno\u015B\u0107 kowariantnych i kontrawariantnych tensor\u00F3w metrycznych: gdzie \u2013 delta Kroneckera odpowiadaj\u0105ca macierzy jednostkowej. Nale\u017Cy zauwa\u017Cy\u0107, \u017Ce nieosobliwo\u015B\u0107 nie jest wymagana do opuszczenia wska\u017Anika. Jednak aby mo\u017Cliwe by\u0142o obliczenie i podwy\u017Cszenie wska\u017Anika dowolnego tensora, macierz musi by\u0107 nieosobliwa."@pl . "La ley de subir o bajar \u00EDndices es un m\u00E9todo para construir isomorfismos entre espacios de tensores covariantes y contravariantes definidos sobre una variedad riemanniana o pseudoriemanniana . Por tanto para emplear, la subida y bajada de \u00EDndices es necesario usar el tensor m\u00E9trico (y su inverso , llamado co-tensor m\u00E9trico). Estas operaciones resultan muy \u00FAtiles en la teor\u00EDa general de la relatividad donde cualquier magnitud f\u00EDsica puede ser representadas por tensores covariantes o contravariantes indistintamente, y sin alterar el significado f\u00EDsico, seg\u00FAn las necesidades del problema planteado. As\u00ED para cualquier magnitud f\u00EDsica representada por un tensor de tercer rango, puede ser representado por varios conjuntos de magnitudes relacionables gracias a la operaci\u00F3n de \"subir y bajar \u00EDndices\":"@es . . . . . "In mathematics and mathematical physics, raising and lowering indices are operations on tensors which change their type. Raising and lowering indices are a form of index manipulation in tensor expressions."@en . "\u6307\u6807\u7684\u4E0A\u5347\u548C\u4E0B\u964D"@zh . . . . . . . . "In matematica e in fisica matematica, l'innalzamento e l'abbassamento degli indici sono operazioni che vengono fatte su tensori per cambiarne il tipo."@it . "\u5728\u6570\u5B66\u4E0E\u6570\u5B66\u7269\u7406\u4E2D\uFF0C\u7ED9\u5B9A\u6D41\u5F62 M \u4E0A\u4E00\u4E2A\u5F20\u91CF\uFF0C\u82E5\u5728 M \u5DF2\u6709\u4E00\u4E2A\u975E\u9000\u5316\u5F62\u5F0F\uFF08\u6BD4\u5982\u9ECE\u66FC\u5EA6\u91CF\u6216\u95F5\u53EF\u592B\u65AF\u57FA\u5EA6\u91CF\uFF09\uFF0C\u6211\u4EEC\u53EF\u5C06\u6307\u6807\u4E0A\u5347\u6216\u4E0B\u964D\uFF1A\u5C06\u4E00\u4E2A \u5F20\u91CF\u53D8\u6210\u4E00\u4E2A \u5F20\u91CF\uFF08\u4E0A\u5347\uFF09\u6216\u4E00\u4E2A \u5F20\u91CF\uFF08\u4E0B\u964D\uFF09\u3002 \u8FD9\u91CC\u8BB0\u53F7 \u7528\u4E8E\u8868\u793A \uFF0C\u6709 \u4E2A\u4E0A\u6307\u6807\u548C \u4E2A\u4E0B\u6307\u6807\u3002 \u53EF\u4EE5\u8FD9\u6837\u505A\uFF1A\u5C06\u5F20\u91CF\u4E58\u4EE5\u5171\u53D8\u6216\u53CD\u53D8\u5EA6\u91CF\u5F20\u91CF\uFF0C\u7136\u540E\u505A\u3002\u4E0B\u6587\u5728\u5BF9\u91CD\u590D\u6307\u6807 \u6C42\u548C\u65F6\u4F7F\u7528\u7231\u56E0\u65AF\u5766\u8BB0\u53F7\u3002 \u4E58\u4EE5\u53CD\u53D8\u5EA6\u91CF\u5F20\u91CF\uFF08\u7136\u540E\u7F29\u5E76\uFF09\u4E0A\u5347\u6307\u6807\uFF1A \u800C\u4E58\u4EE5\u5171\u53D8\u5EA6\u91CF\u5F20\u91CF\uFF08\u7136\u540E\u7F29\u5E76\uFF09\u4E0B\u964D\u6307\u6807\uFF1A \u5BF9\u540C\u4E00\u4E2A\u6307\u6807\u5148\u4E0A\u5347\u7136\u540E\u4E0B\u964D\uFF08\u6216\u987A\u5E8F\u76F8\u53CD\uFF09\u5F97\u5230\u539F\u6765\u7684\u5F20\u91CF\uFF0C\u8FD9\u53CD\u5E94\u4E86\u5171\u53D8\u5EA6\u91CF\u5F20\u91CF\u4E0E\u53CD\u53D8\u5EA6\u91CF\u5F20\u91CF\u4E92\u9006\uFF1A \u8FD9\u91CC N \u662F\u6D41\u5F62\u7684\u7EF4\u6570\u3002\u6CE8\u610F\u4E0B\u964D\u4E00\u4E2A\u6307\u6807\u4E0D\u8981\u6C42\u5F62\u5F0F\u975E\u5947\u5F02\uFF0C\u4F46\u76F8\u53CD\u7684\u8FC7\u7A0B\u9700\u8981\u975E\u5947\u5F02\u6761\u4EF6\u3002"@zh . "Podnoszenie i opuszczanie wska\u017Anik\u00F3w"@pl . "\u5728\u6570\u5B66\u4E0E\u6570\u5B66\u7269\u7406\u4E2D\uFF0C\u7ED9\u5B9A\u6D41\u5F62 M \u4E0A\u4E00\u4E2A\u5F20\u91CF\uFF0C\u82E5\u5728 M \u5DF2\u6709\u4E00\u4E2A\u975E\u9000\u5316\u5F62\u5F0F\uFF08\u6BD4\u5982\u9ECE\u66FC\u5EA6\u91CF\u6216\u95F5\u53EF\u592B\u65AF\u57FA\u5EA6\u91CF\uFF09\uFF0C\u6211\u4EEC\u53EF\u5C06\u6307\u6807\u4E0A\u5347\u6216\u4E0B\u964D\uFF1A\u5C06\u4E00\u4E2A \u5F20\u91CF\u53D8\u6210\u4E00\u4E2A \u5F20\u91CF\uFF08\u4E0A\u5347\uFF09\u6216\u4E00\u4E2A \u5F20\u91CF\uFF08\u4E0B\u964D\uFF09\u3002 \u8FD9\u91CC\u8BB0\u53F7 \u7528\u4E8E\u8868\u793A \uFF0C\u6709 \u4E2A\u4E0A\u6307\u6807\u548C \u4E2A\u4E0B\u6307\u6807\u3002 \u53EF\u4EE5\u8FD9\u6837\u505A\uFF1A\u5C06\u5F20\u91CF\u4E58\u4EE5\u5171\u53D8\u6216\u53CD\u53D8\u5EA6\u91CF\u5F20\u91CF\uFF0C\u7136\u540E\u505A\u3002\u4E0B\u6587\u5728\u5BF9\u91CD\u590D\u6307\u6807 \u6C42\u548C\u65F6\u4F7F\u7528\u7231\u56E0\u65AF\u5766\u8BB0\u53F7\u3002 \u4E58\u4EE5\u53CD\u53D8\u5EA6\u91CF\u5F20\u91CF\uFF08\u7136\u540E\u7F29\u5E76\uFF09\u4E0A\u5347\u6307\u6807\uFF1A \u800C\u4E58\u4EE5\u5171\u53D8\u5EA6\u91CF\u5F20\u91CF\uFF08\u7136\u540E\u7F29\u5E76\uFF09\u4E0B\u964D\u6307\u6807\uFF1A \u5BF9\u540C\u4E00\u4E2A\u6307\u6807\u5148\u4E0A\u5347\u7136\u540E\u4E0B\u964D\uFF08\u6216\u987A\u5E8F\u76F8\u53CD\uFF09\u5F97\u5230\u539F\u6765\u7684\u5F20\u91CF\uFF0C\u8FD9\u53CD\u5E94\u4E86\u5171\u53D8\u5EA6\u91CF\u5F20\u91CF\u4E0E\u53CD\u53D8\u5EA6\u91CF\u5F20\u91CF\u4E92\u9006\uFF1A \u8FD9\u91CC N \u662F\u6D41\u5F62\u7684\u7EF4\u6570\u3002\u6CE8\u610F\u4E0B\u964D\u4E00\u4E2A\u6307\u6807\u4E0D\u8981\u6C42\u5F62\u5F0F\u975E\u5947\u5F02\uFF0C\u4F46\u76F8\u53CD\u7684\u8FC7\u7A0B\u9700\u8981\u975E\u5947\u5F02\u6761\u4EF6\u3002"@zh . . . . . . . . "In matematica e in fisica matematica, l'innalzamento e l'abbassamento degli indici sono operazioni che vengono fatte su tensori per cambiarne il tipo."@it . . "Ley de subir o bajar \u00EDndices (tensores)"@es . . "In mathematics and mathematical physics, raising and lowering indices are operations on tensors which change their type. Raising and lowering indices are a form of index manipulation in tensor expressions."@en . . "Innalzamento e abbassamento degli indici"@it . "Dla danego tensora z rozmaito\u015Bci z okre\u015Blon\u0105 na niej nieosobliw\u0105 form\u0105 (tak\u0105 jak np. metryka Riemanna lub metryka Minkowskiego) mo\u017Cna podnie\u015B\u0107 lub opu\u015Bci\u0107 jego wska\u017Aniki, czyli zmieni\u0107 tensor wymiaru na tensor wymiaru (podnie\u015B\u0107 indeks) lub na tensor wymiaru (opu\u015Bci\u0107 indeks). Wyniki te mo\u017Cna osi\u0105gn\u0105\u0107 poprzez mno\u017Cenie przez kowariantny lub kontrawariantny tensor metryczny, a nast\u0119pnie wyniku. Mno\u017Cenie przez kontrawariantny tensor metryczny (i skr\u00F3cenie) podnosi wska\u017Aniki: a mno\u017Cenie przez kowariantny tensor metryczny (i skr\u00F3cenie) opuszcza je:"@pl . "Raising and lowering indices"@en . . . . . . . . . . "16565"^^ . . . . . "11325244"^^ . "Eleva\u00E7\u00E3o e abaixamento de \u00EDndices em tensores"@pt . "1124529024"^^ . "A eleva\u00E7\u00E3o e abaixamento de \u00EDndices em tensores (ou lei de elevar e abaixar \u00EDndices) \u00E9 um m\u00E9todo para construir isomorfismos entre espa\u00E7os de tensores covariantes e contravariantes definidos sobre uma variedade riemanniana ou pseudoriemanniana . Portanto para ser usado a eleva\u00E7\u00E3o e abaixamento de \u00EDndices \u00E9 necess\u00E1rio utilizar o tensor m\u00E9trico (e seu inverso , chamado co-tensor m\u00E9trico)."@pt . . . . . . "La ley de subir o bajar \u00EDndices es un m\u00E9todo para construir isomorfismos entre espacios de tensores covariantes y contravariantes definidos sobre una variedad riemanniana o pseudoriemanniana . Por tanto para emplear, la subida y bajada de \u00EDndices es necesario usar el tensor m\u00E9trico (y su inverso , llamado co-tensor m\u00E9trico)."@es . . . "A eleva\u00E7\u00E3o e abaixamento de \u00EDndices em tensores (ou lei de elevar e abaixar \u00EDndices) \u00E9 um m\u00E9todo para construir isomorfismos entre espa\u00E7os de tensores covariantes e contravariantes definidos sobre uma variedade riemanniana ou pseudoriemanniana . Portanto para ser usado a eleva\u00E7\u00E3o e abaixamento de \u00EDndices \u00E9 necess\u00E1rio utilizar o tensor m\u00E9trico (e seu inverso , chamado co-tensor m\u00E9trico). Estas opera\u00E7\u00F5es s\u00E3o muito \u00FAteis na teoria geral da relatividade onde qualquer grandeza f\u00EDsica pode ser representada por tensores covariantes ou contravariantes indistintamente, e sem alterar o significado f\u00EDsico, segundo as necessidades do problema apresentado. Assim para qualquer grandeza f\u00EDsica representada por um tensor de terceira ordem, pode ser representado por m\u00FAltiplos conjuntos de grandezas relacionais devido \u00E0 opera\u00E7\u00E3o de \"elevar e abaixar \u00EDndices\":"@pt . . . .