. "Conjugado harm\u00F4nico projetivo"@pt . "Projective harmonic conjugate"@en . "En g\u00E9om\u00E9trie affine, quatre points align\u00E9s sont en division harmonique quand ils v\u00E9rifient l'\u00E9galit\u00E9 des rapports de mesure alg\u00E9brique indiqu\u00E9e ci-contre. Elle apparait naturellement dans plusieurs figures g\u00E9om\u00E9triques, par exemple le quadrilat\u00E8re complet. C'est plus fondamentalement une notion de g\u00E9om\u00E9trie projective, puisqu'il s'agit d'exprimer qu'un birapport vaut \u20131."@fr . . "Harmonische ligging"@nl . . . "\u0413\u0430\u0440\u043C\u043E\u043D\u0438\u0447\u0435\u0441\u043A\u0430\u044F \u0447\u0435\u0442\u0432\u0451\u0440\u043A\u0430 \u0442\u043E\u0447\u0435\u043A \u2014 \u0447\u0451\u0442\u0432\u0435\u0440\u043A\u0430 \u0442\u043E\u0447\u0435\u043A \u043D\u0430 \u043F\u0440\u043E\u0435\u043A\u0442\u0438\u0432\u043D\u043E\u0439 \u043F\u0440\u044F\u043C\u043E\u0439, \u0434\u0432\u043E\u0439\u043D\u043E\u0435 \u043E\u0442\u043D\u043E\u0448\u0435\u043D\u0438\u0435 \u043A\u043E\u0442\u043E\u0440\u044B\u0445 . \u0412 \u044D\u0442\u043E\u043C \u0441\u043B\u0443\u0447\u0430\u0435 \u0433\u043E\u0432\u043E\u0440\u044F\u0442 \u0442\u0430\u043A\u0436\u0435, \u0447\u0442\u043E \u0442\u043E\u0447\u043A\u0438 \u0438 \u0433\u0430\u0440\u043C\u043E\u043D\u0438\u0447\u0435\u0441\u043A\u0438 \u0441\u043E\u043F\u0440\u044F\u0436\u0435\u043D\u044B \u043E\u0442\u043D\u043E\u0441\u0438\u0442\u0435\u043B\u044C\u043D\u043E \u0438 \u043F\u0438\u0448\u0443\u0442 . \u0413\u0430\u0440\u043C\u043E\u043D\u0438\u0447\u0435\u0441\u043A\u043E\u0439 \u0447\u0435\u0442\u0432\u0451\u0440\u043A\u043E\u0439 \u043F\u0440\u044F\u043C\u044B\u0445 \u043D\u0430\u0437\u044B\u0432\u0430\u0435\u0442\u0441\u044F \u0447\u0435\u0442\u0432\u0451\u0440\u043A\u0430 \u043F\u0440\u044F\u043C\u044B\u0445 \u0432 \u043F\u0440\u043E\u0435\u043A\u0442\u0438\u0432\u043D\u043E\u0439 \u043F\u043B\u043E\u0441\u043A\u043E\u0441\u0442\u0438, \u043F\u0440\u043E\u0445\u043E\u0434\u044F\u0449\u0438\u0445 \u0447\u0435\u0440\u0435\u0437 \u043E\u0434\u043D\u0443 \u0442\u043E\u0447\u043A\u0443 , \u0434\u043B\u044F \u043A\u043E\u0442\u043E\u0440\u044B\u0445 \u043B\u044E\u0431\u0430\u044F \u0447\u0435\u0442\u0432\u0451\u0440\u043A\u0430 \u0442\u043E\u0447\u0435\u043A , \u0442\u0430\u043A\u0430\u044F, \u0447\u0442\u043E , \u043D\u0430\u0445\u043E\u0434\u044F\u0449\u0430\u044F\u0441\u044F \u043D\u0430 \u043E\u0434\u043D\u043E\u0439 \u043F\u0440\u044F\u043C\u043E\u0439, \u044F\u0432\u043B\u044F\u0435\u0442\u0441\u044F \u0433\u0430\u0440\u043C\u043E\u043D\u0438\u0447\u0435\u0441\u043A\u043E\u0439. \u0412 \u044D\u0442\u043E\u043C \u0441\u043B\u0443\u0447\u0430\u0435 \u043F\u0438\u0448\u0443\u0442 ."@ru . . . "\u0413\u0430\u0440\u043C\u043E\u043D\u0456\u0439\u043D\u0430 \u0447\u0435\u0442\u0432\u0456\u0440\u043A\u0430 \u0442\u043E\u0447\u043E\u043A \u2014 \u0447\u0435\u0442\u0432\u0456\u0440\u043A\u0430 \u0442\u043E\u0447\u043E\u043A \u043D\u0430 \u043F\u0440\u043E\u0454\u043A\u0442\u0438\u0432\u043D\u0456\u0439 \u043F\u0440\u044F\u043C\u0456\u0439, \u043F\u043E\u0434\u0432\u0456\u0439\u043D\u0435 \u0432\u0456\u0434\u043D\u043E\u0448\u0435\u043D\u043D\u044F \u044F\u043A\u0438\u0445 . \u0412 \u0446\u044C\u043E\u043C\u0443 \u0432\u0438\u043F\u0430\u0434\u043A\u0443 \u043A\u0430\u0436\u0443\u0442\u044C \u0442\u0430\u043A\u043E\u0436, \u0449\u043E \u0442\u043E\u0447\u043A\u0438 \u0456 \u0433\u0430\u0440\u043C\u043E\u043D\u0456\u0439\u043D\u043E \u043F\u043E\u0454\u0434\u043D\u0430\u043D\u0456 \u0432\u0456\u0434\u043D\u043E\u0441\u043D\u043E \u0456 \u043F\u0438\u0448\u0443\u0442\u044C . \u0413\u0430\u0440\u043C\u043E\u043D\u0456\u0439\u043D\u0430 \u0447\u0435\u0442\u0432\u0456\u0440\u043A\u0430 \u043F\u0440\u044F\u043C\u0438\u0445 \u2014 \u0447\u0435\u0442\u0432\u0456\u0440\u043A\u0430 \u043F\u0440\u044F\u043C\u0438\u0445 \u0443 \u043F\u0440\u043E\u0454\u043A\u0442\u0438\u0432\u043D\u0456\u0439 \u043F\u043B\u043E\u0449\u0438\u043D\u0456, \u0449\u043E \u043F\u0440\u043E\u0445\u043E\u0434\u044F\u0442\u044C \u0447\u0435\u0440\u0435\u0437 \u043E\u0434\u043D\u0443 \u0442\u043E\u0447\u043A\u0443 , \u0434\u043B\u044F \u044F\u043A\u0438\u0445 \u0431\u0443\u0434\u044C-\u044F\u043A\u0430 \u0447\u0435\u0442\u0432\u0456\u0440\u043A\u0430 \u0442\u043E\u0447\u043E\u043A , \u0442\u0430\u043A\u0430, \u0449\u043E , \u0449\u043E \u0437\u043D\u0430\u0445\u043E\u0434\u044F\u0442\u044C\u0441\u044F \u043D\u0430 \u043E\u0434\u043D\u0456\u0439 \u043F\u0440\u044F\u043C\u0456\u0439, \u0454 \u0433\u0430\u0440\u043C\u043E\u043D\u0456\u0439\u043D\u043E\u044E. \u0412 \u0446\u044C\u043E\u043C\u0443 \u0432\u0438\u043F\u0430\u0434\u043A\u0443 \u043F\u0438\u0448\u0443\u0442\u044C ."@uk . . . . . "En geometr\u00EDa proyectiva, se dice que cuatro puntos ordenados A, D, B y C situados sobre una misma recta, forman una cuaterna arm\u00F3nica, cuando En esta definici\u00F3n, es importante remarcar que se debe tener en consideraci\u00F3n la orientaci\u00F3n de los segmentos (de acuerdo con el orden en que aparecen las letras que designan sus extremos; por ejemplo, se cumple que AB=\u2212BA) para asignarles un signo a sus longitudes (positivo de izquierda a derecha, negativo de derecha a izquierda). Prescindiendo de la orientaci\u00F3n de los segmentos, esta relaci\u00F3n tambi\u00E9n se puede expresar como: Como se explica m\u00E1s adelante, las cuaternas arm\u00F3nicas est\u00E1n \u00EDntimamente ligadas con las propiedades asociadas a las curvas c\u00F3nicas y sus tangentes, as\u00ED como a las relaciones entre las rectas que forman un cuadr\u00E1ngulo completo. Propiedad fundamental: Las cuaternas arm\u00F3nicas de una figura poseen la propiedad de seguir si\u00E9ndolo en las figuras obtenidas como proyecci\u00F3n de la figura original."@es . . "Division harmonique"@fr . . "En geometr\u00EDa proyectiva, se dice que cuatro puntos ordenados A, D, B y C situados sobre una misma recta, forman una cuaterna arm\u00F3nica, cuando En esta definici\u00F3n, es importante remarcar que se debe tener en consideraci\u00F3n la orientaci\u00F3n de los segmentos (de acuerdo con el orden en que aparecen las letras que designan sus extremos; por ejemplo, se cumple que AB=\u2212BA) para asignarles un signo a sus longitudes (positivo de izquierda a derecha, negativo de derecha a izquierda). Prescindiendo de la orientaci\u00F3n de los segmentos, esta relaci\u00F3n tambi\u00E9n se puede expresar como: Propiedad fundamental:"@es . . . . . "Van vier verschillende punten en die op \u00E9\u00E9n lijn liggen, zegt men dat de paren en harmonisch liggen ten opzichte van elkaar, als Daarin staat voor de lengte van het lijnstuk . De punten en worden harmonische verwanten ten opzichte van (c.q. bij) het puntenpaar genoemd. Ook wel: de punten scheiden de punten harmonisch. Harmonische ligging betekent dat de dubbelverhouding van de punten gelijk is aan ."@nl . "In projective geometry, the harmonic conjugate point of an ordered triple of points on the real projective line is defined by the following construction: Given three collinear points A, B, C, let L be a point not lying on their join and let any line through C meet LA, LB at M, N respectively. If AN and BM meet at K, and LK meets AB at D, then D is called the harmonic conjugate of C with respect to A, B. The point D does not depend on what point L is taken initially, nor upon what line through C is used to find M and N. This fact follows from Desargues theorem. In real projective geometry, harmonic conjugacy can also be defined in terms of the cross-ratio as (A, B; C, D) = \u22121."@en . "En g\u00E9om\u00E9trie affine, quatre points align\u00E9s sont en division harmonique quand ils v\u00E9rifient l'\u00E9galit\u00E9 des rapports de mesure alg\u00E9brique indiqu\u00E9e ci-contre. Elle apparait naturellement dans plusieurs figures g\u00E9om\u00E9triques, par exemple le quadrilat\u00E8re complet. C'est plus fondamentalement une notion de g\u00E9om\u00E9trie projective, puisqu'il s'agit d'exprimer qu'un birapport vaut \u20131. Elle permet de d\u00E9finir la conjugaison harmonique, que l'on retrouve dans la conjugaison par rapport \u00E0 deux droites, par rapport \u00E0 un cercle, et plus g\u00E9n\u00E9ralement par rapport \u00E0 une conique, c'est-\u00E0-dire (en projectif) \u00E0 l'orthogonalit\u00E9 par rapport \u00E0 la forme quadratique qui la d\u00E9finit."@fr . . "Cuaterna arm\u00F3nica"@es . . . . . "Van vier verschillende punten en die op \u00E9\u00E9n lijn liggen, zegt men dat de paren en harmonisch liggen ten opzichte van elkaar, als Daarin staat voor de lengte van het lijnstuk . De punten en worden harmonische verwanten ten opzichte van (c.q. bij) het puntenpaar genoemd. Ook wel: de punten scheiden de punten harmonisch. Harmonische ligging betekent dat de dubbelverhouding van de punten gelijk is aan ."@nl . . . . . "16094600"^^ . . . "Em geometria projetiva, o ponto conjugado harm\u00F4nico de um trio ordenado de pontos sobre a \u00E9 definido pela seguinte constru\u00E7\u00E3o: Dados tr\u00EAs pontos colineares A, B, C, fazendo-se L ser um ponto n\u00E3o repousando sobre suas jun\u00E7\u00F5es e fazendo-se qualquer reta atrav\u00E9s C encontrar LA, LB em M, N respectivamente. Se AN e BM encontram-se em K, e LK encontra AB em D, ent\u00E3o D \u00E9 chamado o conjugado harm\u00F4nico de C em rela\u00E7\u00E3o A, B."@pt . . . . . . . "Die harmonische Teilung bezeichnet in der Geometrie ein besonderes Lageverh\u00E4ltnis von vier Punkten auf einer Geraden. So liegen vier Punkte harmonisch, wenn die Strecke durch zwei Punkte innen und au\u00DFen (s. Bild) so geteilt wird, dass f\u00FCr die Teilstrecken die Beziehung \n* erf\u00FCllt ist. Die rechte Seite kann nie 1 werden. Also darf nie der Mittelpunkt von sein.Liegt rechts von , so liegt rechts von .Liegt links von , so liegt links von . Die obige Gleichung und die Voraussetzung, dass die Strecke innen und au\u00DFen teilen, bedeutet, dass die beiden Teilverh\u00E4ltnisse und den gleichen Betrag haben und das Doppelverh\u00E4ltnis gleich \u22121 ist. Da die obige Gleichung sich auch so schreiben l\u00E4sst, teilen auch die Punkte die Strecke harmonisch. Die harmonische Teilung beschreibt also eine symmetrische Relation zwischen Punktepaaren auf einer Gerade."@de . . "\u0413\u0430\u0440\u043C\u043E\u043D\u0456\u0439\u043D\u0430 \u0447\u0435\u0442\u0432\u0456\u0440\u043A\u0430"@uk . "Die harmonische Teilung bezeichnet in der Geometrie ein besonderes Lageverh\u00E4ltnis von vier Punkten auf einer Geraden. So liegen vier Punkte harmonisch, wenn die Strecke durch zwei Punkte innen und au\u00DFen (s. Bild) so geteilt wird, dass f\u00FCr die Teilstrecken die Beziehung \n* erf\u00FCllt ist. Die rechte Seite kann nie 1 werden. Also darf nie der Mittelpunkt von sein.Liegt rechts von , so liegt rechts von .Liegt links von , so liegt links von . Da die obige Gleichung sich auch so"@de . . . . . . "\u0413\u0430\u0440\u043C\u043E\u043D\u0438\u0447\u0435\u0441\u043A\u0430\u044F \u0447\u0435\u0442\u0432\u0451\u0440\u043A\u0430 \u0442\u043E\u0447\u0435\u043A \u2014 \u0447\u0451\u0442\u0432\u0435\u0440\u043A\u0430 \u0442\u043E\u0447\u0435\u043A \u043D\u0430 \u043F\u0440\u043E\u0435\u043A\u0442\u0438\u0432\u043D\u043E\u0439 \u043F\u0440\u044F\u043C\u043E\u0439, \u0434\u0432\u043E\u0439\u043D\u043E\u0435 \u043E\u0442\u043D\u043E\u0448\u0435\u043D\u0438\u0435 \u043A\u043E\u0442\u043E\u0440\u044B\u0445 . \u0412 \u044D\u0442\u043E\u043C \u0441\u043B\u0443\u0447\u0430\u0435 \u0433\u043E\u0432\u043E\u0440\u044F\u0442 \u0442\u0430\u043A\u0436\u0435, \u0447\u0442\u043E \u0442\u043E\u0447\u043A\u0438 \u0438 \u0433\u0430\u0440\u043C\u043E\u043D\u0438\u0447\u0435\u0441\u043A\u0438 \u0441\u043E\u043F\u0440\u044F\u0436\u0435\u043D\u044B \u043E\u0442\u043D\u043E\u0441\u0438\u0442\u0435\u043B\u044C\u043D\u043E \u0438 \u043F\u0438\u0448\u0443\u0442 . \u0413\u0430\u0440\u043C\u043E\u043D\u0438\u0447\u0435\u0441\u043A\u043E\u0439 \u0447\u0435\u0442\u0432\u0451\u0440\u043A\u043E\u0439 \u043F\u0440\u044F\u043C\u044B\u0445 \u043D\u0430\u0437\u044B\u0432\u0430\u0435\u0442\u0441\u044F \u0447\u0435\u0442\u0432\u0451\u0440\u043A\u0430 \u043F\u0440\u044F\u043C\u044B\u0445 \u0432 \u043F\u0440\u043E\u0435\u043A\u0442\u0438\u0432\u043D\u043E\u0439 \u043F\u043B\u043E\u0441\u043A\u043E\u0441\u0442\u0438, \u043F\u0440\u043E\u0445\u043E\u0434\u044F\u0449\u0438\u0445 \u0447\u0435\u0440\u0435\u0437 \u043E\u0434\u043D\u0443 \u0442\u043E\u0447\u043A\u0443 , \u0434\u043B\u044F \u043A\u043E\u0442\u043E\u0440\u044B\u0445 \u043B\u044E\u0431\u0430\u044F \u0447\u0435\u0442\u0432\u0451\u0440\u043A\u0430 \u0442\u043E\u0447\u0435\u043A , \u0442\u0430\u043A\u0430\u044F, \u0447\u0442\u043E , \u043D\u0430\u0445\u043E\u0434\u044F\u0449\u0430\u044F\u0441\u044F \u043D\u0430 \u043E\u0434\u043D\u043E\u0439 \u043F\u0440\u044F\u043C\u043E\u0439, \u044F\u0432\u043B\u044F\u0435\u0442\u0441\u044F \u0433\u0430\u0440\u043C\u043E\u043D\u0438\u0447\u0435\u0441\u043A\u043E\u0439. \u0412 \u044D\u0442\u043E\u043C \u0441\u043B\u0443\u0447\u0430\u0435 \u043F\u0438\u0448\u0443\u0442 ."@ru . . . . . . "11809"^^ . "\u0413\u0430\u0440\u043C\u043E\u043D\u0456\u0439\u043D\u0430 \u0447\u0435\u0442\u0432\u0456\u0440\u043A\u0430 \u0442\u043E\u0447\u043E\u043A \u2014 \u0447\u0435\u0442\u0432\u0456\u0440\u043A\u0430 \u0442\u043E\u0447\u043E\u043A \u043D\u0430 \u043F\u0440\u043E\u0454\u043A\u0442\u0438\u0432\u043D\u0456\u0439 \u043F\u0440\u044F\u043C\u0456\u0439, \u043F\u043E\u0434\u0432\u0456\u0439\u043D\u0435 \u0432\u0456\u0434\u043D\u043E\u0448\u0435\u043D\u043D\u044F \u044F\u043A\u0438\u0445 . \u0412 \u0446\u044C\u043E\u043C\u0443 \u0432\u0438\u043F\u0430\u0434\u043A\u0443 \u043A\u0430\u0436\u0443\u0442\u044C \u0442\u0430\u043A\u043E\u0436, \u0449\u043E \u0442\u043E\u0447\u043A\u0438 \u0456 \u0433\u0430\u0440\u043C\u043E\u043D\u0456\u0439\u043D\u043E \u043F\u043E\u0454\u0434\u043D\u0430\u043D\u0456 \u0432\u0456\u0434\u043D\u043E\u0441\u043D\u043E \u0456 \u043F\u0438\u0448\u0443\u0442\u044C . \u0413\u0430\u0440\u043C\u043E\u043D\u0456\u0439\u043D\u0430 \u0447\u0435\u0442\u0432\u0456\u0440\u043A\u0430 \u043F\u0440\u044F\u043C\u0438\u0445 \u2014 \u0447\u0435\u0442\u0432\u0456\u0440\u043A\u0430 \u043F\u0440\u044F\u043C\u0438\u0445 \u0443 \u043F\u0440\u043E\u0454\u043A\u0442\u0438\u0432\u043D\u0456\u0439 \u043F\u043B\u043E\u0449\u0438\u043D\u0456, \u0449\u043E \u043F\u0440\u043E\u0445\u043E\u0434\u044F\u0442\u044C \u0447\u0435\u0440\u0435\u0437 \u043E\u0434\u043D\u0443 \u0442\u043E\u0447\u043A\u0443 , \u0434\u043B\u044F \u044F\u043A\u0438\u0445 \u0431\u0443\u0434\u044C-\u044F\u043A\u0430 \u0447\u0435\u0442\u0432\u0456\u0440\u043A\u0430 \u0442\u043E\u0447\u043E\u043A , \u0442\u0430\u043A\u0430, \u0449\u043E , \u0449\u043E \u0437\u043D\u0430\u0445\u043E\u0434\u044F\u0442\u044C\u0441\u044F \u043D\u0430 \u043E\u0434\u043D\u0456\u0439 \u043F\u0440\u044F\u043C\u0456\u0439, \u0454 \u0433\u0430\u0440\u043C\u043E\u043D\u0456\u0439\u043D\u043E\u044E. \u0412 \u0446\u044C\u043E\u043C\u0443 \u0432\u0438\u043F\u0430\u0434\u043A\u0443 \u043F\u0438\u0448\u0443\u0442\u044C ."@uk . "Harmonische Teilung"@de . . . . . . "1120695951"^^ . . . . . . "In projective geometry, the harmonic conjugate point of an ordered triple of points on the real projective line is defined by the following construction: Given three collinear points A, B, C, let L be a point not lying on their join and let any line through C meet LA, LB at M, N respectively. If AN and BM meet at K, and LK meets AB at D, then D is called the harmonic conjugate of C with respect to A, B. The point D does not depend on what point L is taken initially, nor upon what line through C is used to find M and N. This fact follows from Desargues theorem."@en . . . "Em geometria projetiva, o ponto conjugado harm\u00F4nico de um trio ordenado de pontos sobre a \u00E9 definido pela seguinte constru\u00E7\u00E3o: Dados tr\u00EAs pontos colineares A, B, C, fazendo-se L ser um ponto n\u00E3o repousando sobre suas jun\u00E7\u00F5es e fazendo-se qualquer reta atrav\u00E9s C encontrar LA, LB em M, N respectivamente. Se AN e BM encontram-se em K, e LK encontra AB em D, ent\u00E3o D \u00E9 chamado o conjugado harm\u00F4nico de C em rela\u00E7\u00E3o A, B."@pt . . "\u0413\u0430\u0440\u043C\u043E\u043D\u0438\u0447\u0435\u0441\u043A\u0430\u044F \u0447\u0435\u0442\u0432\u0451\u0440\u043A\u0430"@ru . . .