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极小曲面 극소곡면 Minimalfläche Минимальная поверхность Superficie minima Minimal surface Мінімальна поверхня Superficie minimal Permukaan minimum Surface minimale Superfície mínima Minimaaloppervlak

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A superfície mínima é, em matemática, uma superfície em que fixados todos os pontos do bordo, quaisquer dois pontos são ligados por infinitas curvas, sendo que uma delas é uma catenária. O conceito matemático está intimamente ligado com as tensões físicas como as presentes na bolha de sabão. Exemplos dessas superfícies são: * O plano; * A helicoide; * A catenóide; * A superfície Costa; 极小曲面（英語：Minimal surface）在数学中是指平均曲率为零的曲面，即满足某些约束条件的面积极小的曲面；在物理学中是指由最小化面积而得到的极小曲面的实例可以是沾了肥皂液后吹出的肥皂泡。 In geometria differenziale, si definisce superficie minima (o, meno usato, superficie minimale, dall'inglese minimal surface) una superficie che ha curvatura media uguale a zero in ogni punto. In natura esempi di superfici minime si possono ottenere immergendo nell'acqua saponata un telaietto di ferro di una qualunque forma chiusa: all'estrazione del telaio, la lamina di sapone che rimane attaccata ad esso rappresenta una superficie che ha curvatura media nulla ovunque. Eine Minimalfläche ist eine Fläche im Raum, die lokal minimalen Flächeninhalt hat. Derartige Formen nehmen beispielsweise Seifenhäute an, wenn sie über einen entsprechenden Rahmen (wie etwa einen Blasring) gespannt sind. In mathematischer Sprache sind Minimalflächen die kritischen Punkte des Flächeninhaltsfunktionals . Minimalflächen stehen schon seit dem 19. Jahrhundert im Blickpunkt mathematischer Forschung. Ein wesentlicher Beitrag dazu waren die Experimente des belgischen Physikers Joseph Plateau. Минимальная поверхность — гладкая поверхность с нулевой средней кривизной.Название объясняется тем, что гладкая поверхность с заданным контуром, минимизирующая площадь, является минимальной. У математиці мінімальна поверхня — це поверхня з нульовою середньою кривиною. Вони включають, але не обмежуються, поверхнями мінімальної площі при заданих різних обмеженнях. Фізична модель поверхні з мінімальною площею може бути зроблена шляхом занурення каркаса в мильний розчин. Утворена мильна плівка є мінімальною поверхнею, границею якої є каркас. In de differentiaalmeetkunde, een deelgebied van de meetkunde, is een minimaaloppervlak een oppervlak met een gemiddelde kromming van nul. Permukaan minimum dalam matematika adalah permukaan yang meminimalkan area secara lokal. Sama dengan nol (lihat definisi di bawah). Istilah "permukaan minimum" digunakan karena permukaan ini awalnya muncul sebagai permukaan yang meminimalkan total luas permukaan yang tunduk pada beberapa . Model fisik permukaan minimum yang meminimalkan bidang, dapat dibuat dengan cara mencelupkan bingkai kawat ke dalam larutan sabun, membentuk balon sabun, batasan dari permukaan minimum adalah bingkai kawat itu. Akan tetapi, istilah ini digunakan untuk permukaan yang lebih umum, dapat berupa atau tidak memiliki batasan. Untuk batasan yang diberikan mungkin ada juga beberapa permukaan minimum dengan bidang yang berbeda (misalnya, lihat ): definisi standar hanya berhubungan dengan bukan . En matemáticas, una superficie minimal es un elemento bidimensional que localmente minimiza su área. Esto es equivalente a (véase infra: ) tener una curvatura media nula. El término "superficie minimal" surgió para ser aplicado originalmente a aquellas superficies que minimizan el área total de un conjunto de superficies que cumplen una serie de condiciones de contorno. Modelos físicos de superficies que minimizan un área pueden visualizarse introduciendo un bastidor de alambre en una solución de jabón, formándose entonces una película de jabón, formándose una superficie minimal cuya frontera es el bastidor de alambre. El término también es utilizado para superficies más generales que pueden cruzarse a sí mismas, o no tener constreñimientos. Para una condición de contorno dada pueden exist In mathematics, a minimal surface is a surface that locally minimizes its area. This is equivalent to having zero mean curvature (see definitions below). The term "minimal surface" is used because these surfaces originally arose as surfaces that minimized total surface area subject to some constraint. Physical models of area-minimizing minimal surfaces can be made by dipping a wire frame into a soap solution, forming a soap film, which is a minimal surface whose boundary is the wire frame. However, the term is used for more general surfaces that may self-intersect or do not have constraints. For a given constraint there may also exist several minimal surfaces with different areas (for example, see minimal surface of revolution): the standard definitions only relate to a local optimum, not 극소곡면(極小曲面)은 평균곡률이 0인 곡면이다. En mathématiques et en physique, une surface minimale est une surface minimisant son aire tout en réalisant une contrainte : un ensemble de points, ou le bord de la surface, est d'avance déterminé. Si un cerceau est retiré d'une bassine d'eau savonneuse, un disque de liquide reste fixé. Un souffle dessus déforme légèrement le disque en une calotte sphérique. Si l'étude fait appel à la mécanique des fluides, le traitement mathématique utilise le langage des surfaces minimales. Usuellement, une définition oblige de préciser le contexte : quel est l'espace ambiant ? quel sens donner à la notion d'aire ? à la minimisation ?

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Minimal surface

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Eine Minimalfläche ist eine Fläche im Raum, die lokal minimalen Flächeninhalt hat. Derartige Formen nehmen beispielsweise Seifenhäute an, wenn sie über einen entsprechenden Rahmen (wie etwa einen Blasring) gespannt sind. In mathematischer Sprache sind Minimalflächen die kritischen Punkte des Flächeninhaltsfunktionals . Hierbei sind die Größen und für erklärt (vgl. Hesse-Matrix). Man beachte, dass eine Minimalfläche nicht notwendig minimalen Flächeninhalt hat, sondern lediglich ein stationärer Punkt des Flächeninhaltsfunktionals ist. Man kann zeigen, dass das Verschwinden der ersten Variation des Flächeninhaltsfunktionals in zwei Raumdimensionen äquivalent zum Verschwinden der mittleren Krümmung H ist, falls die betrachtete Mannigfaltigkeit hinreichend regulär ist. Minimalflächen stehen schon seit dem 19. Jahrhundert im Blickpunkt mathematischer Forschung. Ein wesentlicher Beitrag dazu waren die Experimente des belgischen Physikers Joseph Plateau. In de differentiaalmeetkunde, een deelgebied van de meetkunde, is een minimaaloppervlak een oppervlak met een gemiddelde kromming van nul. Минимальная поверхность — гладкая поверхность с нулевой средней кривизной.Название объясняется тем, что гладкая поверхность с заданным контуром, минимизирующая площадь, является минимальной. In mathematics, a minimal surface is a surface that locally minimizes its area. This is equivalent to having zero mean curvature (see definitions below). The term "minimal surface" is used because these surfaces originally arose as surfaces that minimized total surface area subject to some constraint. Physical models of area-minimizing minimal surfaces can be made by dipping a wire frame into a soap solution, forming a soap film, which is a minimal surface whose boundary is the wire frame. However, the term is used for more general surfaces that may self-intersect or do not have constraints. For a given constraint there may also exist several minimal surfaces with different areas (for example, see minimal surface of revolution): the standard definitions only relate to a local optimum, not a global optimum. 极小曲面（英語：Minimal surface）在数学中是指平均曲率为零的曲面，即满足某些约束条件的面积极小的曲面；在物理学中是指由最小化面积而得到的极小曲面的实例可以是沾了肥皂液后吹出的肥皂泡。 In geometria differenziale, si definisce superficie minima (o, meno usato, superficie minimale, dall'inglese minimal surface) una superficie che ha curvatura media uguale a zero in ogni punto. In natura esempi di superfici minime si possono ottenere immergendo nell'acqua saponata un telaietto di ferro di una qualunque forma chiusa: all'estrazione del telaio, la lamina di sapone che rimane attaccata ad esso rappresenta una superficie che ha curvatura media nulla ovunque. La teoria delle superfici minime è strettamente correlata ai problemi di area minima: date una o più curve chiuse nello spazio, trovare, tra tutte le superfici aventi le curve date come bordo, quella che ha area minima.La superficie soluzione del problema, oltre a minimizzare l'area, avrà anche curvatura media nulla ovunque, quindi sarà una superficie minima. Non vale il viceversa, cioè non tutte le superfici minime aventi delle date curve chiuse nello spazio come bordo sono superfici che minimizzano l'area per il bordo assegnato. I problemi matematici che traggono spunto da situazioni osservabili nella vita quotidiana sono tra i più antichi nella storia della matematica. Alcune fonti riportano che fu Archimede ad introdurre in geometria i concetti di lunghezza e area minima. Egli capì che la linea più corta che congiunge due punti nello spazio è la linea retta, e che data una qualunque curva chiusa piana, la superficie di area minima avente come bordo la curva data è proprio la parte di piano delimitata dalla curva stessa. I problemi di area minima nei casi in cui siano date più curve chiuse nello spazio, oppure una sola curva non piana, sono più difficili da risolvere rispetto al caso particolare trattato da Archimede e rappresentano dei tipici problemi di quel ramo della matematica denominato calcolo delle variazioni. A superfície mínima é, em matemática, uma superfície em que fixados todos os pontos do bordo, quaisquer dois pontos são ligados por infinitas curvas, sendo que uma delas é uma catenária. O conceito matemático está intimamente ligado com as tensões físicas como as presentes na bolha de sabão. Exemplos dessas superfícies são: * O plano; * A helicoide; * A catenóide; * A superfície Costa; 극소곡면(極小曲面)은 평균곡률이 0인 곡면이다. Permukaan minimum dalam matematika adalah permukaan yang meminimalkan area secara lokal. Sama dengan nol (lihat definisi di bawah). Istilah "permukaan minimum" digunakan karena permukaan ini awalnya muncul sebagai permukaan yang meminimalkan total luas permukaan yang tunduk pada beberapa . Model fisik permukaan minimum yang meminimalkan bidang, dapat dibuat dengan cara mencelupkan bingkai kawat ke dalam larutan sabun, membentuk balon sabun, batasan dari permukaan minimum adalah bingkai kawat itu. Akan tetapi, istilah ini digunakan untuk permukaan yang lebih umum, dapat berupa atau tidak memiliki batasan. Untuk batasan yang diberikan mungkin ada juga beberapa permukaan minimum dengan bidang yang berbeda (misalnya, lihat ): definisi standar hanya berhubungan dengan bukan . En matemáticas, una superficie minimal es un elemento bidimensional que localmente minimiza su área. Esto es equivalente a (véase infra: ) tener una curvatura media nula. El término "superficie minimal" surgió para ser aplicado originalmente a aquellas superficies que minimizan el área total de un conjunto de superficies que cumplen una serie de condiciones de contorno. Modelos físicos de superficies que minimizan un área pueden visualizarse introduciendo un bastidor de alambre en una solución de jabón, formándose entonces una película de jabón, formándose una superficie minimal cuya frontera es el bastidor de alambre. El término también es utilizado para superficies más generales que pueden cruzarse a sí mismas, o no tener constreñimientos. Para una condición de contorno dada pueden existir varias superficies minimales con áreas diferentes (por ejemplo, las superficies minimales de revolución): las definiciones estándar solo caracterizan mínimos locales óptimos, no mínimos globales óptimos. У математиці мінімальна поверхня — це поверхня з нульовою середньою кривиною. Вони включають, але не обмежуються, поверхнями мінімальної площі при заданих різних обмеженнях. Фізична модель поверхні з мінімальною площею може бути зроблена шляхом занурення каркаса в мильний розчин. Утворена мильна плівка є мінімальною поверхнею, границею якої є каркас. En mathématiques et en physique, une surface minimale est une surface minimisant son aire tout en réalisant une contrainte : un ensemble de points, ou le bord de la surface, est d'avance déterminé. Si un cerceau est retiré d'une bassine d'eau savonneuse, un disque de liquide reste fixé. Un souffle dessus déforme légèrement le disque en une calotte sphérique. Si l'étude fait appel à la mécanique des fluides, le traitement mathématique utilise le langage des surfaces minimales. Usuellement, une définition oblige de préciser le contexte : quel est l'espace ambiant ? quel sens donner à la notion d'aire ? à la minimisation ? En géométrie différentielle élémentaire, une surface minimale est une surface fermée et bornée d'un espace affine réel euclidien de dimension 3 à bord régulier minimisant l'aire totale à contour fixé. La définition se généralise en géométrie différentielle : une surface minimale dans une variété riemannienne donnée est le plongement d'une variété compacte à bord minimisant le volume riemannien à bord fixé. Intuitivement, une surface minimale est une surface dont l'aire ou le volume ne peut qu'augmenter lorsqu'on lui applique une perturbation suffisamment petite. Les surfaces minimales forment donc l'analogue en dimension supérieure des géodésiques (courbes dont la longueur ne peut qu'augmenter sous l'effet d'une perturbation assez petite et assez localisée). Décrire les surfaces minimales n'est pas un problème mathématique simple. La première approche est d'effectuer un calcul des variations sur l'aire ou le volume riemannien vu comme une fonctionnelle d'énergie. Cette méthode permet d'en décrire les points critiques : il s'agit des surfaces dont la courbure moyenne est nulle, ou des sous-variétés dont la courbure moyenne est nulle. Cette propriété est parfois présentée comme une définition des surfaces minimales. Les deux définitions (point critique ou véritable minimum) ne sont pas équivalentes. Certaines surfaces minimales peuvent être matérialisées par des bulles de savon s'appuyant sur un contour, car le film de savon tend à minimiser son énergie, donc sa superficie. Elles sont utilisées justement en ingénierie pour minimiser la surface de contact et donc par exemple les pertes d'énergie. Une question connexe est celle de la surface minimale pour un périmètre donné. Elle est traitée dans l'article « Isopérimétrie ».

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