"In matematica, e pi\u00F9 precisamente in topologia, il mapping class group (letteralmente, gruppo delle classi di applicazioni) \u00E8 un importante invariante algebrico di uno spazio topologico. Detto brevemente, \u00E8 un di \"simmetrie\" dello spazio."@it . "In mathematics, in the subfield of geometric topology, the mapping class group is an important algebraic invariant of a topological space. Briefly, the mapping class group is a certain discrete group corresponding to symmetries of the space."@en . . . . . . . . . . . . . . . . "\uC704\uC0C1\uC218\uD559\uC5D0\uC11C \uC0AC\uC0C1\uB958\uAD70(\u5BEB\u50CF\u985E\u7FA4, \uC601\uC5B4: mapping class group)\uC740 \uC5B4\uB5A4 \uC704\uC0C1 \uACF5\uAC04\uC758 \uC790\uAE30 \uC704\uC0C1 \uB3D9\uD615\uB4E4\uC758 \uD638\uBAA8\uD1A0\uD53C\uB958\uB4E4\uB85C \uAD6C\uC131\uB41C \uAD70\uC774\uB2E4."@ko . . . . . . . . . . . . . "In mathematics, in the subfield of geometric topology, the mapping class group is an important algebraic invariant of a topological space. Briefly, the mapping class group is a certain discrete group corresponding to symmetries of the space."@en . . "En math\u00E9matiques, une diff\u00E9otopie est une classe d'\u00E9quivalence pour la relation d\u2019isotopie entre diff\u00E9omorphismes sur une vari\u00E9t\u00E9 diff\u00E9rentielle. Plus explicitement, \u00E9tant donn\u00E9s deux diff\u00E9omorphismes sur une telle vari\u00E9t\u00E9 M, c\u2019est-\u00E0-dire deux applications \u03C60, \u03C61 : M \u2192 M diff\u00E9rentiables et bijectives avec des r\u00E9ciproques diff\u00E9rentiables, on dit que ces diff\u00E9omorphismes sont isotopes s\u2019il existe une famille de diff\u00E9omorphismes \u03C6t pour t \u2208 ]0, 1[ telle que \u03A6 : (t, x) \u21A6 \u03C6t(x) d\u00E9finisse une application diff\u00E9rentiable sur [0, 1] \u00D7 M."@fr . . . . . . . . . . . . "Mapping class group"@it . . . . . . . . . . . . . . . "Mapping class group"@en . . . "Die Abbildungsklassengruppe eines Raumes ist die Gruppe der \u201ESymmetrien\u201C (Klassen von Abbildungen) dieses Raumes. Dabei werden Abbildungen, die sich stetig ineinander deformieren lassen, als jeweils eine Klasse von Abbildungen angesehen. , wobei die kompakt-offene Topologie tr\u00E4gt und die -te Homotopiemenge (also die Menge der Wegzusammenhangskomponenten) bezeichnet. Meist, insbesondere in gruppentheoretischem Kontext, sind Abbildungsklassengruppen von orientierbaren Fl\u00E4chen gemeint, wenn von \u201EAbbildungsklassengruppen\u201C die Rede ist."@de . . . . . . . . . . . . . . . "In matematica, e pi\u00F9 precisamente in topologia, il mapping class group (letteralmente, gruppo delle classi di applicazioni) \u00E8 un importante invariante algebrico di uno spazio topologico. Detto brevemente, \u00E8 un di \"simmetrie\" dello spazio."@it . . . . . . "1122520143"^^ . . . . . . . . . "En math\u00E9matiques, une diff\u00E9otopie est une classe d'\u00E9quivalence pour la relation d\u2019isotopie entre diff\u00E9omorphismes sur une vari\u00E9t\u00E9 diff\u00E9rentielle. Plus explicitement, \u00E9tant donn\u00E9s deux diff\u00E9omorphismes sur une telle vari\u00E9t\u00E9 M, c\u2019est-\u00E0-dire deux applications \u03C60, \u03C61 : M \u2192 M diff\u00E9rentiables et bijectives avec des r\u00E9ciproques diff\u00E9rentiables, on dit que ces diff\u00E9omorphismes sont isotopes s\u2019il existe une famille de diff\u00E9omorphismes \u03C6t pour t \u2208 ]0, 1[ telle que \u03A6 : (t, x) \u21A6 \u03C6t(x) d\u00E9finisse une application diff\u00E9rentiable sur [0, 1] \u00D7 M. L\u2019ensemble des diff\u00E9otopies (pr\u00E9servant le bord) sur une surface connexe compacte et orient\u00E9e est un groupe souvent appel\u00E9 sous sa d\u00E9nomination en anglais mapping class group. Pour une surface \u03A3 on trouve la notation avec un \u00AB\u202FM\u202F\u00BB gothique \U0001D510(\u03A3). \u00C0 l\u2019aide de la classification des surfaces compactes, il peut aussi \u00EAtre not\u00E9 \u0393g,n pour une surface de genre g avec n composantes de bord. Une hom\u00E9otopie est une classe d\u2019\u00E9quivalence pour la relation d\u2019isotopie entre hom\u00E9omorphismes. Cette notion est en g\u00E9n\u00E9ral plus large que celle de diff\u00E9otopie, mais co\u00EFncide dans le cas d\u2019une vari\u00E9t\u00E9 de dimension 2."@fr . . . "793295"^^ . . . . "Die Abbildungsklassengruppe eines Raumes ist die Gruppe der \u201ESymmetrien\u201C (Klassen von Abbildungen) dieses Raumes. Dabei werden Abbildungen, die sich stetig ineinander deformieren lassen, als jeweils eine Klasse von Abbildungen angesehen. Formaler betrachtet man alle Hom\u00F6omorphismen (stetige Selbstabbildungen, die eine stetige Umkehrabbildung besitzen) eines Raumes . Man sagt, dass zwei Hom\u00F6omorphismen zur selben Isotopieklasse geh\u00F6ren bzw. isotop sind, wenn es eine stetige Abbildung mit f\u00FCr alle und gibt. Diese Isotopieklassen von Hom\u00F6omorphismen bilden mit der (wohldefinierten) Verkn\u00FCpfung von Hom\u00F6omorphismen eine Gruppe und diese wird als Abbildungsgruppe oder bezeichnet. Im Kontext orientierbarer Mannigfaltigkeiten betrachtet man nur die Isotopieklassen orientierungserhaltender Hom\u00F6omorphismen. (Die Gruppe aller Isotopieklassen wird dann als erweiterte Abbildungsklassengruppe bezeichnet.) Im Fall von Mannigfaltigkeiten mit Rand betrachtet man nur diejenigen Hom\u00F6omorphismen, die den Rand punktweise fest lassen und erlaubt auch nur solche Isotopien. Man kann dann also formal definieren , wobei die kompakt-offene Topologie tr\u00E4gt und die -te Homotopiemenge (also die Menge der Wegzusammenhangskomponenten) bezeichnet. Meist, insbesondere in gruppentheoretischem Kontext, sind Abbildungsklassengruppen von orientierbaren Fl\u00E4chen gemeint, wenn von \u201EAbbildungsklassengruppen\u201C die Rede ist. Dieser Artikel behandelt im Weiteren ausschlie\u00DFlich Abbildungsklassengruppen von orientierbaren Fl\u00E4chen."@de . "\uC704\uC0C1\uC218\uD559\uC5D0\uC11C \uC0AC\uC0C1\uB958\uAD70(\u5BEB\u50CF\u985E\u7FA4, \uC601\uC5B4: mapping class group)\uC740 \uC5B4\uB5A4 \uC704\uC0C1 \uACF5\uAC04\uC758 \uC790\uAE30 \uC704\uC0C1 \uB3D9\uD615\uB4E4\uC758 \uD638\uBAA8\uD1A0\uD53C\uB958\uB4E4\uB85C \uAD6C\uC131\uB41C \uAD70\uC774\uB2E4."@ko . . . . . "17480"^^ . . . . . . . "Diff\u00E9otopie"@fr . . . . . . . . "Abbildungsklassengruppe"@de . . . "\uC0AC\uC0C1\uB958\uAD70"@ko . . . . . .