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Kwadrat magiczny (matematyka) Quadrato magico Quadrat màgic Μαγικό τετράγωνο Magisches Quadrat Magic square Carré magique (mathématiques) Магический квадрат Persegi ajaib 魔方陣 Магічний квадрат Magisk kvadrat Karratu magiko Magisch vierkant Cuadrado mágico Magický čtverec Quadrado mágico 幻方 Magia kvadrato 마방진 وفق

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Магічний квадрат — це квадратна таблиця , заповнена числами таким чином, що сума чисел у кожному рядку, кожному стовпчику і на обох діагоналях однакова. Якщо в квадраті рівні суми чисел тільки в рядках і стовпцях, то він називається напівмагічним. Нормальним називається магічний квадрат, заповнений цілими числами від до . Магічний квадрат називається асоціативним або симетричним, якщо сума будь-яких двох чисел, розташованих симетрично щодо центру квадрата, дорівнює . Aisialdiko matematikan, karratu magikoa zenbaki multzo karratu bat da -normalean zenbaki osoak eta positiboak izanik- non bere lerro, zutabe eta diagonal nagusi bakoitzeko zenbakien baturak berdinak diren. Karratu magikoaren maila (orokorki jarrita deritzona) karratuaren alde batean dauden zenbaki osoen kopurua da; eta zenbakien batura konstanteari deritzo. Karratu magikoek historia luzea dute; lehenengo agerraldia K.a. 190. urtean izan zen Txinan. Bere historian zehar esanahi ezkutu edo mistikoa izan dute, artelanetan ere agerraldiak izanik. Een magisch vierkant of tovervierkant is een vierkant schema waarin getallen zodanig zijn ingevuld dat de kolommen, de rijen en de beide diagonalen alle dezelfde som opleveren. Deze som wordt de magische constante of het karakteristieke getal genoemd. Meestal eist men dat het vierkant de natuurlijke getallen van 1 tot en met n2 bevat. Het symbool n, dat de orde genoemd wordt, is hierin het aantal cellen in één zijde. Soms geldt die eis niet, maar dan eist men wel dat alle getallen verschillend zijn. Маги́ческий, или волше́бный квадра́т — квадратная таблица , заполненная различными числами таким образом, что сумма чисел в каждой строке, каждом столбце и на обеих диагоналях одинакова. Если в квадрате равны суммы чисел только в строках и столбцах, то он называется полумагическим. Нормальным называется магический квадрат, заполненный натуральными числами от до . Магический квадрат называется ассоциативным или симметричным, если сумма любых двух чисел, расположенных симметрично относительно центра квадрата, равна . 4+5+6 = 15 7+8+9+10 = 34 11+12+15+16+17 = 65 18+19+20+21+22+23 = 111 Un cuadrado mágico es una tabla de grado primario donde se dispone de una serie de números enteros en un cuadrado o matriz de forma tal que la suma de los números por columnas, filas y diagonales principales sea la misma. Usualmente los números empleados para rellenar las casillas son consecutivos, de 1 a n², siendo n el número de columnas y filas del cuadrado mágico.​ Ein magisches Quadrat ist ein schachbrettartiges Quadrat, auf dessen Feldern Zeichen, Zahlen oder Symbole auf eine spezielle Art arrangiert sind. In der Mathematik versteht man unter einem magischen Quadrat der Ordnung n ein Quadrat der Seitenlänge n, auf dessen Feldern n2 paarweise verschiedene natürliche Zahlen so platziert werden, dass jede Zeile und jede Spalte sowie die beiden Diagonalen die gleiche Summe ergeben. In recreational mathematics, a square array of numbers, usually positive integers, is called a magic square if the sums of the numbers in each row, each column, and both main diagonals are the same. The order of the magic square is the number of integers along one side (n), and the constant sum is called the magic constant. If the array includes just the positive integers , the magic square is said to be normal. Some authors take magic square to mean normal magic square. Magický čtverec je pojem zejména z rekreační matematiky, kde označuje o rozměrech , která je vyplněna přirozenými čísly od jedné až do tak, že součet čísel ve všech sloupcích i obou úhlopříčkách je stejný, rovný „magické konstantě“ rovné . Takový magický čtverec se někdy nazývá normální magický čtverec, aby se odlišil od variant splňujících podmínku stejného součtu, ale obsahující jiné sady čísel. Příklad magického čtverce řádu 3 في الرياضيات المسلية، الوَفْقُ أو المربع السحري هي مصفوفة مربعة ذات حيز ، مكونة من أعداد صحيحة، بحيث أن حاصل جمع رقم في كلّ من الصفوف والأعمدة والأقطار الرئيسية يأدي لنفس الحاصل.توجد مربعات سحرية مهما كان الحيز ، بإقصاء (أربع أعداد)، مع كون الحالة تعتبر أمرا بديهيا. يبين الشكل التالي مثالا لمربع سحري من لاحظ أن مجموع كل سطر وعمود وقطر رئيسي يساوي دائما 15. يسمى هذا المجموع وقيمته بصفة عامة: قيم الثوابت السحرية لمربعات سحرية عادية ذات حيز هي متتالية: (البقية). Un quadrat màgic és la disposició d'una sèrie de nombres enters en una taula quadrada o matriu de forma que la suma dels nombres per columnes, files i diagonals sigui la mateixa, la constant màgica. Usualment, els nombres emprats per a omplir les caselles són consecutius de l'1 a n², essent n el nombre de columnes i files del quadrat. Sigui la successió aritmètica 1, 2, 3, 4 ... 36 (quadrat d'ordre 6), disposats ordenadament en dues sèries en zig-zag: quantitat anomenada constant màgica, i que en aquest cas és n×(n² + 1)/2 = 6×(36 + 1)/2 = 111. En mathématiques, un carré magique d’ordre n est composé de n2 entiers strictement positifs, écrits sous la forme d’un tableau carré. Ces nombres sont disposés de sorte que leurs sommes sur chaque rangée, sur chaque colonne et sur chaque diagonale principale soient égales. On nomme alors constante magique (et parfois densité) la valeur de ces sommes. Un carré magique normal est un cas particulier de carré magique, constitué de tous les nombres entiers de 1 à n2, où n est l’ordre du carré. Persegi ajaib dalam matematika rekreasi dan adalah kotak persegi (n adalah jumlah kotak di setiap sisi) yang diisi dengan bilangan asli positif mulai dari , sampai semua kotak terisi dengan bilangan asli positif yang berbeda, kemudian bilangan asli positif di setiap baris, kolom dan diagonal jika dijumlahkan menghasilkan angka yang sama (15). Jumlahnya disebut atau jumlah ajaib dari persegi ajaib. Un quadrato magico è una disposizione di numeri interi in forma di tabella quadrata in cui siano rispettate due condizioni: i valori siano tutti distinti tra loro e la somma dei numeri presenti in ogni riga, in ogni colonna, e in entrambe le diagonali, dia sempre lo stesso risultato; tale intero è denominato "costante di magia" del quadrato (o "costante magica", o "somma magica"). In matematica, una tabella di questo tipo è detta matrice quadrata. In modo analogo a quanto avviene con queste ultime, il numero di righe (o di colonne) è detto "ordine" del quadrato magico. Se si moltiplica la costante magica per l'ordine, si ottiene la somma di tutti gli interi del quadrato. 幻方，有时又称魔术方阵（其简称“魔方”现一般指立方体的魔術方塊）或纵横图，由一组排放在正方形中的整数组成，其每行、每列以及每一条主对角线的和均相等。通常幻方由从到的连续整数组成，其中为正方形的行或列的数目。因此阶幻方有行列，并且所填充的数为从到。 幻方可以使用阶方阵来表示，方阵的每行、每列以及两条对角线的和都等于常数，如果填充数为，那么有 Το μαγικό τετράγωνο αποτελεί διάταξη αριθμών σε συστοιχία ίσου συνόλου γραμμών και στηλών, όπου η αριθμητική πράξη μεταξύ των αριθμών στην ίδια σειρά ή στήλη ή διαγώνιο του τετραγώνου επιστρέφει πάντα το ίδιο αποτέλεσμα. Το κοινό αποτέλεσμα ονομάζεται του μαγικού τετραγώνου. Η πλέον συνήθης αριθμητική πράξη στα μαγικά τετράγωνα είναι η πρόσθεση μεταξύ των αριθμών,ενώ υπάρχουν και άλλες εκδοχές τους όπως η τέλεση αφαίρεσης ή πολλαπλασιασμού, καθώς και είναι δυνατό να αναπαρασταθούν σε τρισδιάστατη μορφή ως μαγικοί κύβοι, ή να υπάρξουν τροποποιήσεις όπου αντί για αριθμούς χρησιμοποιούνται σχήματα. En magisk kvadrat av ordning n är en kvadrat bestående av n² rutor ifyllda med heltal på så sätt att varje kolumn, rad och diagonal bildar samma summa. Kvadrater ifyllda med bokstäver eller symboler kan också benämnas som magiska kvadrater och var också ursprunget till dagens siffervarianter. Summan för kvadratens kolumner, rader och diagonaler kallas för den magiska summan eller den magiska konstanten. Det finns magiska kvadrater av alla ordningar förutom 2x2. Den triviala magiska kvadraten av ordning 1 består av en enda ruta. Quadrado Mágico é uma tabela quadrada, com números, em que a soma de cada coluna, de cada linha e das duas diagonais são iguais. Veja o exemplo: Sua origem não é conhecida, mas há registros de sua existência em épocas anteriores à nossa era na China e na Índia. O quadrado de 9 casas (3 x 3) é encontrado pela primeira vez num manuscrito árabe, no fim do Século VIII, e atribuído a Apolônio de Tiana (I Século) por Marcellin Berthelot. Kwadrat magiczny – kwadratowa tablica (macierz), w której komórki wpisano liczby w ten sposób, że ich suma w każdym wierszu, w każdej kolumnie i w każdej przekątnej jest taka sama (tzw. suma magiczna). Czasem dodatkowo wymaga się, by elementy kwadratu magicznego nie powtarzały się i były dodatnimi liczbami naturalnymi. Kwadrat, w którym suma liczb w każdym wierszu i każdej kolumnie jest taka sama, ale sumy liczb w przekątnych są różne, nazywa się półmagicznym. Najpopularniejsze są kwadraty zbudowane z kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego: 1, 2, ... n². Suma magiczna takiego kwadratu wynosi 마방진(魔方陣, 영어: magic square) 또는 방진(方陣)은 n2개의 수를 가로, 세로, 대각선 방향의 수를 더하면 모두 같은 값(마방진 상수)이 나오도록 n × n 행렬에 배열한 것이다. 마법진(魔法陣) 중 하나이다. 일반적인 마방진(pure/normal magic square)의 각 칸에는 1부터 n2까지의 수가 한 개씩 들어간다. 마방진은 n이 2일 때를 제외하고 항상 존재한다. Magia kvadrato estas kvadrata tabelo , plenigita per diversaj nombroj tiel, ke la sumo de nombroj en ĉiu horizontalo, vertikalo kaj diagonalo estas sama. Magiaj kvadratoj ekzistas por ĉiuj ordoj krom . La kazo estas triviala, ĉar tiuokaze la kvadrato konsistas nur el unu nombro. 魔方陣（まほうじん、英：magic square）とは、n×n 個の正方形の方陣に数字を配置し、縦・横・対角線のいずれの列についても、その列の数字の合計が同じになるもののことである。特に1から方陣のマスの総数 n2 までの数字を1つずつ過不足なく使ったものを言う。 このときの一列の和は、 と計算できる。 魔方陣の歴史は古く、中国では紀元前190年前には存在していた。魔法や神話的な意味を獲得し、芸術作品の象徴として様々な場所で用いられてきた。現代では縦・横・対角線以外の形状の和や、数字の積などの単なる和以外の演算などにも一般化されている。

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MagicSquare

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幻方，有时又称魔术方阵（其简称“魔方”现一般指立方体的魔術方塊）或纵横图，由一组排放在正方形中的整数组成，其每行、每列以及每一条主对角线的和均相等。通常幻方由从到的连续整数组成，其中为正方形的行或列的数目。因此阶幻方有行列，并且所填充的数为从到。 幻方可以使用阶方阵来表示，方阵的每行、每列以及两条对角线的和都等于常数，如果填充数为，那么有 En magisk kvadrat av ordning n är en kvadrat bestående av n² rutor ifyllda med heltal på så sätt att varje kolumn, rad och diagonal bildar samma summa. Kvadrater ifyllda med bokstäver eller symboler kan också benämnas som magiska kvadrater och var också ursprunget till dagens siffervarianter. Summan för kvadratens kolumner, rader och diagonaler kallas för den magiska summan eller den magiska konstanten. Det finns magiska kvadrater av alla ordningar förutom 2x2. Den triviala magiska kvadraten av ordning 1 består av en enda ruta. Ein magisches Quadrat ist ein schachbrettartiges Quadrat, auf dessen Feldern Zeichen, Zahlen oder Symbole auf eine spezielle Art arrangiert sind. In der Mathematik versteht man unter einem magischen Quadrat der Ordnung n ein Quadrat der Seitenlänge n, auf dessen Feldern n2 paarweise verschiedene natürliche Zahlen so platziert werden, dass jede Zeile und jede Spalte sowie die beiden Diagonalen die gleiche Summe ergeben. Kwadrat magiczny – kwadratowa tablica (macierz), w której komórki wpisano liczby w ten sposób, że ich suma w każdym wierszu, w każdej kolumnie i w każdej przekątnej jest taka sama (tzw. suma magiczna). Czasem dodatkowo wymaga się, by elementy kwadratu magicznego nie powtarzały się i były dodatnimi liczbami naturalnymi. Kwadrat, w którym suma liczb w każdym wierszu i każdej kolumnie jest taka sama, ale sumy liczb w przekątnych są różne, nazywa się półmagicznym. Kwadraty magiczne nie mają żadnego zastosowania naukowego, ich układanie jest rodzajem rozrywki matematycznej. Kwadratów magicznych jest nieskończenie wiele. Najpopularniejsze są kwadraty zbudowane z kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego: 1, 2, ... n². Suma magiczna takiego kwadratu wynosi Το μαγικό τετράγωνο αποτελεί διάταξη αριθμών σε συστοιχία ίσου συνόλου γραμμών και στηλών, όπου η αριθμητική πράξη μεταξύ των αριθμών στην ίδια σειρά ή στήλη ή διαγώνιο του τετραγώνου επιστρέφει πάντα το ίδιο αποτέλεσμα. Το κοινό αποτέλεσμα ονομάζεται του μαγικού τετραγώνου. Η πλέον συνήθης αριθμητική πράξη στα μαγικά τετράγωνα είναι η πρόσθεση μεταξύ των αριθμών,ενώ υπάρχουν και άλλες εκδοχές τους όπως η τέλεση αφαίρεσης ή πολλαπλασιασμού, καθώς και είναι δυνατό να αναπαρασταθούν σε τρισδιάστατη μορφή ως μαγικοί κύβοι, ή να υπάρξουν τροποποιήσεις όπου αντί για αριθμούς χρησιμοποιούνται σχήματα. Η πρώτη περιγραφή μαγικού τετραγώνου υπήρξε στην Κίνα από την 3η χιλιετία π.Χ., κατόπιν μεταφέρθηκε στους Ινδούς κατά την ύστερη αρχαιότητα και μετέπειτα στους Άραβες, και από εκεί αργότερα στους Βυζαντινούς από όπου μεταδόθηκε στην υπόλοιπη Ευρώπη. Κατά τον Μεσαίωνα τα μαγικά τετράγωνα ήταν ιδιαίτερα δημοφιλή ως φυλακτά και αποτροπαϊκά σύμβολα. Στην σύγχρονη εποχή αποτελούν συχνό πεδίο ενασχόλησης των ψυχαγωγικών μαθηματικών και των μαθηματικών κλάδων της συνδυαστικής και στατιστικής, καθώς επίσης της τέχνης και του μυστικισμού, και επίσης σε ότι αφορά τις πρακτικές εφαρμογές τους χρησιμοποιούνται για τους σκοπούς της κρυπτογράφησης ψηφιακών εικόνων, ενώ στην μηχανική ρευστών για τον υπολογισμό κατακράτησης υδάτων σε επιφάνειες. Un quadrat màgic és la disposició d'una sèrie de nombres enters en una taula quadrada o matriu de forma que la suma dels nombres per columnes, files i diagonals sigui la mateixa, la constant màgica. Usualment, els nombres emprats per a omplir les caselles són consecutius de l'1 a n², essent n el nombre de columnes i files del quadrat. Sigui la successió aritmètica 1, 2, 3, 4 ... 36 (quadrat d'ordre 6), disposats ordenadament en dues sèries en zig-zag: Resulta evident que qualsevol parell de nombres alineats verticalment suma el mateix, ja que a mesura que ens desplacem per les columnes en la fila superior s'hi afegeix una unitat mentre que en la inferior se n'hi resta una. La suma és, en tots els casos, la dels extrems: Si es disposen el conjunt de nombres en sis files (vegeu la taula a la dreta), fàcilment es pot apreciar que les sumes en les diferents columnes han de ser necessàriament iguals, ja que els nombres es troben agrupats per parelles tal com ho estaven en el primer cas (compareu les parelles de files 1a-6a, 2a-5a i 3a-4a amb la disposició original). Ara, tanmateix, per ser tres (n/2) les parelles de files, la suma resulta: quantitat anomenada constant màgica, i que en aquest cas és n×(n² + 1)/2 = 6×(36 + 1)/2 = 111. El quadrat anterior no és pas un quadrat màgic, ja que com s'han disposat les files en forma consecutiva, les sumes de cada fila són cada cop més grans. No obstant això, s'han trobat sis sèries de nombres compresos entre 1 i 36 de forma tal que, sense repetir-se'n cap, les sumes de les sèries són la constant màgica. Però, és més, la suma de les xifres de la diagonal principal en un quadrat així construït és també la constant màgica: els nombres de la diagonal principal es poden escriure de la forma (a-1)×n + a. Calculant la suma, sabent que les files a van d'1 a n: que és la constant màgica. Però això no és tot: qualsevol sèrie de valors on no hi hagi dos nombres de la mateixa fila o columna sumarà la constant màgica. Escrivint el terme i, j de la matriu com (i-1)×n + j, i prenent 6 termes qualssevol amb la condició que ni i, ni j es repeteixin i variïn d'1 a n, l'equació resultant obtinguda és exactament l'escrita per al cas anterior, que condueix de la mateixa manera cap a la constant màgica. Com es pot demostrar, la quantitat de sèries possibles de n nombres que compleixin la condició anterior és n!, 720 en quadrats d'ordre 6, i ni tan sols són totes les possibles, ja que abans s'havien obtingut sis sèries no incloses entre elles. En definitiva, sent possible construir (n²)! matrius en les que cap terme es repeteixi i existent almenys només n! (en realitat, moltes més) combinacions de nombres que sumin la constant màgica, s'intueix que podria ser impossible construir quadrats màgics. D'ordre 3, existeix un únic quadrat màgic (lògicament amb les seves variacions que es poden obtenir per rotació o reflexió). El 1693 Bernard Frenicle de Bessy va establir que hi ha 880 quadrats màgics d'ordre 4 [1]. Posteriorment s'ha trobat que existeixen 275.305.224 quadrats màgics d'ordre 5. El nombre de quadrats màgics d'ordre major, es desconeix amb exactitud, però segons estimacions de y realitzades el 1998 mitjançant mètodes de Monte Carlo i de mecànica estadística existeixen (1,7745 ± 0,0016) × 1019 quadrats d'ordre 6 i (3,7982 ± 0,0004) × 1034 quadrats d'ordre 7. Pel que fa a ordres inferiors, és evident que d'ordre 1 existeix un únic quadrat màgic, 1 , mentre que d'ordre 2, no n'existeix cap, cosa fàcilment demostrable considerant el quadrat màgic a, b, c, d de la figura i imposant les següents equacions (on M és la constant màgica, no fixada a priori), condició de quadrat màgic: resolent el sistema d'equacions es veu que el sistema tan sols té la solució trivial a = b = c = d = M/2, de manera que resulta impossible construir un quadrat màgic amb les seves xifres diferents. Persegi ajaib dalam matematika rekreasi dan adalah kotak persegi (n adalah jumlah kotak di setiap sisi) yang diisi dengan bilangan asli positif mulai dari , sampai semua kotak terisi dengan bilangan asli positif yang berbeda, kemudian bilangan asli positif di setiap baris, kolom dan diagonal jika dijumlahkan menghasilkan angka yang sama (15). Jumlahnya disebut atau jumlah ajaib dari persegi ajaib. Магічний квадрат — це квадратна таблиця , заповнена числами таким чином, що сума чисел у кожному рядку, кожному стовпчику і на обох діагоналях однакова. Якщо в квадраті рівні суми чисел тільки в рядках і стовпцях, то він називається напівмагічним. Нормальним називається магічний квадрат, заповнений цілими числами від до . Магічний квадрат називається асоціативним або симетричним, якщо сума будь-яких двох чисел, розташованих симетрично щодо центру квадрата, дорівнює . Нормальні магічні квадрати існують для всіх порядків ,за винятком , хоча випадок тривіальний — квадрат складається з одного числа. Мінімальний нетривіальний випадок показаний нижче, він має порядок 3. Сума чисел в кожному рядку, стовпчику і по діагоналях, називається , M. Магічна константа нормального магічного квадрата залежить тільки від n і визначається формулою: Перші значення магічних констант наведені в наступній таблиці (послідовність з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS): في الرياضيات المسلية، الوَفْقُ أو المربع السحري هي مصفوفة مربعة ذات حيز ، مكونة من أعداد صحيحة، بحيث أن حاصل جمع رقم في كلّ من الصفوف والأعمدة والأقطار الرئيسية يأدي لنفس الحاصل.توجد مربعات سحرية مهما كان الحيز ، بإقصاء (أربع أعداد)، مع كون الحالة تعتبر أمرا بديهيا. يبين الشكل التالي مثالا لمربع سحري من لاحظ أن مجموع كل سطر وعمود وقطر رئيسي يساوي دائما 15. يسمى هذا المجموع وقيمته بصفة عامة: قيم الثوابت السحرية لمربعات سحرية عادية ذات حيز هي متتالية: (البقية). Magický čtverec je pojem zejména z rekreační matematiky, kde označuje o rozměrech , která je vyplněna přirozenými čísly od jedné až do tak, že součet čísel ve všech sloupcích i obou úhlopříčkách je stejný, rovný „magické konstantě“ rovné . Takový magický čtverec se někdy nazývá normální magický čtverec, aby se odlišil od variant splňujících podmínku stejného součtu, ale obsahující jiné sady čísel. Příklad magického čtverce řádu 3 Normální magické čtverce existují pro všechna s výjimkou . Hodnoty magických konstant pro čtverce řádu 3, 4, 5, 6, 7, 8, … jsou 15, 34, 65, 111, 175, 260, … (posloupnost v On-line encyklopedii celočíselných posloupností). Quadrado Mágico é uma tabela quadrada, com números, em que a soma de cada coluna, de cada linha e das duas diagonais são iguais. Veja o exemplo: Sua origem não é conhecida, mas há registros de sua existência em épocas anteriores à nossa era na China e na Índia. O quadrado de 9 casas (3 x 3) é encontrado pela primeira vez num manuscrito árabe, no fim do Século VIII, e atribuído a Apolônio de Tiana (I Século) por Marcellin Berthelot. Na Idade Média os quadrados mágicos se tornaram muito populares pelo seu uso em Pantáculos e Talismãs, onde eram associados a Planetas que atribuíam a eles o poder de atrair proteção astral para seus detentores. En mathématiques, un carré magique d’ordre n est composé de n2 entiers strictement positifs, écrits sous la forme d’un tableau carré. Ces nombres sont disposés de sorte que leurs sommes sur chaque rangée, sur chaque colonne et sur chaque diagonale principale soient égales. On nomme alors constante magique (et parfois densité) la valeur de ces sommes. Un carré magique normal est un cas particulier de carré magique, constitué de tous les nombres entiers de 1 à n2, où n est l’ordre du carré. Aisialdiko matematikan, karratu magikoa zenbaki multzo karratu bat da -normalean zenbaki osoak eta positiboak izanik- non bere lerro, zutabe eta diagonal nagusi bakoitzeko zenbakien baturak berdinak diren. Karratu magikoaren maila (orokorki jarrita deritzona) karratuaren alde batean dauden zenbaki osoen kopurua da; eta zenbakien batura konstanteari deritzo. Karratu magikoek historia luzea dute; lehenengo agerraldia K.a. 190. urtean izan zen Txinan. Bere historian zehar esanahi ezkutu edo mistikoa izan dute, artelanetan ere agerraldiak izanik. Gaur egun, ez dago karratu magikoen ezaugarriez baliatzen den aplikazio tekniko ezagunik; beraz, dibertimenduari, jakin-minari eta pentsamendu matematikoari lotuta jarraitzen dute. Karratu magikoekin jolasteko web-orri bat da. Honetaz gain, eta, zehazkiago, magian nabarmentzen dira karratu magikoak. Ekialdeko teknika mota batzuetan ere garrantzi handia dute, esaterako, eta Feng Shui tekniketan, bai arrazoi filosofiko eta numerologikoengatik bai arrazoi praktikoengatik. 마방진(魔方陣, 영어: magic square) 또는 방진(方陣)은 n2개의 수를 가로, 세로, 대각선 방향의 수를 더하면 모두 같은 값(마방진 상수)이 나오도록 n × n 행렬에 배열한 것이다. 마법진(魔法陣) 중 하나이다. 일반적인 마방진(pure/normal magic square)의 각 칸에는 1부터 n2까지의 수가 한 개씩 들어간다. 마방진은 n이 2일 때를 제외하고 항상 존재한다. 魔方陣（まほうじん、英：magic square）とは、n×n 個の正方形の方陣に数字を配置し、縦・横・対角線のいずれの列についても、その列の数字の合計が同じになるもののことである。特に1から方陣のマスの総数 n2 までの数字を1つずつ過不足なく使ったものを言う。 このときの一列の和は、 と計算できる。 魔方陣の歴史は古く、中国では紀元前190年前には存在していた。魔法や神話的な意味を獲得し、芸術作品の象徴として様々な場所で用いられてきた。現代では縦・横・対角線以外の形状の和や、数字の積などの単なる和以外の演算などにも一般化されている。 Un quadrato magico è una disposizione di numeri interi in forma di tabella quadrata in cui siano rispettate due condizioni: i valori siano tutti distinti tra loro e la somma dei numeri presenti in ogni riga, in ogni colonna, e in entrambe le diagonali, dia sempre lo stesso risultato; tale intero è denominato "costante di magia" del quadrato (o "costante magica", o "somma magica"). In matematica, una tabella di questo tipo è detta matrice quadrata. In modo analogo a quanto avviene con queste ultime, il numero di righe (o di colonne) è detto "ordine" del quadrato magico. Se si moltiplica la costante magica per l'ordine, si ottiene la somma di tutti gli interi del quadrato. Per riempire un quadrato di ordine servono numeri interi distinti. Nel caso in cui questi ultimi coincidono con gli interi da 1 a , allora il quadrato è detto "perfetto", o "normale". In questo tipo particolare di quadrati, la costante magica, moltiplicata per il numero di righe (o di colonne), deve dare la somma degli interi da 1 a . Se ne deduce che, nel caso dei quadrati magici perfetti, essa è data dalla formula: I valori di formano una successione i cui primi 15 componenti sono: 1, 5, 15, 34, 65, 111, 175, 260, 369, 505, 671, 870, 1105, 1379, 1695 (sequenza dell'On-Line Encyclopedia of Integer Sequences). Magia kvadrato estas kvadrata tabelo , plenigita per diversaj nombroj tiel, ke la sumo de nombroj en ĉiu horizontalo, vertikalo kaj diagonalo estas sama. Magiaj kvadratoj ekzistas por ĉiuj ordoj krom . La kazo estas triviala, ĉar tiuokaze la kvadrato konsistas nur el unu nombro. Een magisch vierkant of tovervierkant is een vierkant schema waarin getallen zodanig zijn ingevuld dat de kolommen, de rijen en de beide diagonalen alle dezelfde som opleveren. Deze som wordt de magische constante of het karakteristieke getal genoemd. Meestal eist men dat het vierkant de natuurlijke getallen van 1 tot en met n2 bevat. Het symbool n, dat de orde genoemd wordt, is hierin het aantal cellen in één zijde. Soms geldt die eis niet, maar dan eist men wel dat alle getallen verschillend zijn. Vanaf 2001 heeft men erkend dat dergelijke numerieke vierkanten het beste kunnen worden gezien als een speciaal voorbeeld van een meer algemene structuur die bekendstaat als een geometrisch magisch vierkant. Deze erkenning is van weinig betekenis binnen het gebied van numerieke vierkanten maar is van kritisch belang in algemene zin, omdat de "magische" eigenschappen van geometrische magische vierkanten die van numerieke vierkanten verre overtreffen. Маги́ческий, или волше́бный квадра́т — квадратная таблица , заполненная различными числами таким образом, что сумма чисел в каждой строке, каждом столбце и на обеих диагоналях одинакова. Если в квадрате равны суммы чисел только в строках и столбцах, то он называется полумагическим. Нормальным называется магический квадрат, заполненный натуральными числами от до . Магический квадрат называется ассоциативным или симметричным, если сумма любых двух чисел, расположенных симметрично относительно центра квадрата, равна . Нормальные магические квадраты существуют для всех порядков , за исключением , хотя случай тривиален — квадрат состоит из одного числа. Минимальный нетривиальный случай показан ниже, он имеет порядок 3. Сумма чисел в каждой строке, столбце и на диагоналях называется магической константой, M. Магическая константа нормального волшебного квадрата зависит только от n и определяется формулой Первые значения магических констант приведены в следующей таблице (последовательность в OEIS): 4+5+6 = 15 7+8+9+10 = 34 11+12+15+16+17 = 65 18+19+20+21+22+23 = 111 24+25+26+27+28+29+30 = 175 Un cuadrado mágico es una tabla de grado primario donde se dispone de una serie de números enteros en un cuadrado o matriz de forma tal que la suma de los números por columnas, filas y diagonales principales sea la misma. Usualmente los números empleados para rellenar las casillas son consecutivos, de 1 a n², siendo n el número de columnas y filas del cuadrado mágico.​ Los cuadrados mágicos actualmente no tienen ninguna aplicación técnica conocida que se beneficie de estas características, por lo que siguen recluidos al divertimento, a la curiosidad y al pensamiento matemático. Aparte de esto, en las ciencias ocultas y más concretamente en la magia tienen un lugar destacado. En algunos tipos de técnicas orientales, como en el caso del Ba Gua y del Feng Shui, los cuadrados mágicos tienen gran importancia, tanto por razones filosóficas y numerológicas como prácticas, por ejemplo, al momento de determinar orientaciones y espacios específicos.​ In recreational mathematics, a square array of numbers, usually positive integers, is called a magic square if the sums of the numbers in each row, each column, and both main diagonals are the same. The order of the magic square is the number of integers along one side (n), and the constant sum is called the magic constant. If the array includes just the positive integers , the magic square is said to be normal. Some authors take magic square to mean normal magic square. Magic squares that include repeated entries do not fall under this definition and are referred to as trivial. Some well-known examples, including the Sagrada Família magic square and the Parker square are trivial in this sense. When all the rows and columns but not both diagonals sum to the magic constant we have semimagic squares (sometimes called orthomagic squares). The mathematical study of magic squares typically deals with their construction, classification, and enumeration. Although completely general methods for producing all the magic squares of all orders do not exist, historically three general techniques have been discovered: by bordering method, by making composite magic squares, and by adding two preliminary squares. There are also more specific strategies like the continuous enumeration method that reproduces specific patterns. Magic squares are generally classified according to their order n as: odd if n is odd, evenly even (also referred to as "doubly even") if n is a multiple of 4, oddly even (also known as "singly even") if n is any other even number. This classification is based on different techniques required to construct odd, evenly even, and oddly even squares. Beside this, depending on further properties, magic squares are also classified as associative magic squares, pandiagonal magic squares, most-perfect magic squares, and so on. More challengingly, attempts have also been made to classify all the magic squares of a given order as transformations of a smaller set of squares. Except for n ≤ 5, the enumeration of higher order magic squares is still an open challenge. The enumeration of most-perfect magic squares of any order was only accomplished in the late 20th century. Magic squares have a long history, dating back to at least 190 BCE in China. At various times they have acquired occult or mythical significance, and have appeared as symbols in works of art. In modern times they have been generalized a number of ways, including using extra or different constraints, multiplying instead of adding cells, using alternate shapes or more than two dimensions, and replacing numbers with shapes and addition with geometric operations.

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